惠南中學2016年春季期末考試高二數(shù)學（理科）試卷考試時間：120分鐘 滿分：150分 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，Z，則( )A. B. C. D. 2.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位， 則( )A. B. C. D. 3.學校對2016屆高三學生進行考前心理輔導，在高三甲班50名學生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列說法：（1） 男生抽到的概率比女生抽到的概率大； （2）一定不是系統(tǒng)抽樣； （3） 不是分層抽樣； （4）每個學生被抽取的概率相同.則以上說法正確的是（ ）A（1）（2） B（2）（3） C（3）（4） D（2）（4）4.向量，若，則（ ）A B C D5.若隨機變量服從正態(tài)分布, 且, 則( ) A. B. C. D. 6過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點， 若，則（ ）A B C D7. 已知某工程在很大程度上受當?shù)啬杲邓康挠绊?，施工期間的年降水量X（單位：mm）對工期延誤天數(shù)Y的影響及相應的概率如下表所示：降水量X工期延誤天數(shù)Y051530概率P在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率為( )A. B. C. D. 8. 如圖所示程序框圖，若時，則輸出的數(shù)等于（ ） A B C D9.不等式組的解集記為, 若, 則的最小值是( )A. B. C. D. 10. 使N展開式中含有常數(shù)項的的最小值是( )A. B. C. D. 11.如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為, 粗實線畫出的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是 ( )A. B. C. D.12. 已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的值為（ ）A B C D二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)13. 曲線在點處的切線方程為 . 14. 已知平面向量與的夾角為，則 .15. 已知中心在坐標原點的橢圓的右焦點為，點關于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的方程為 .16. 一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運算 定義為： 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定 等于 三、解答題：（本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題12分） 設是數(shù)列的前項和, 已知, N. () 求數(shù)列的通項公式；() 令，求數(shù)列的前項和.18.（本小題12分） 班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班名女同學，名男同學中隨機抽取一個容量為的樣本進行分析.()如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（注：本小題最后答案只要求寫出算式，不必計算出結果）()如果隨機抽取的名同學的數(shù)學，物理成績(單位：分)對應如下表：學生序號1234567數(shù)學成績60657075858790物理成績70778085908693 若規(guī)定分以上（包括分）為優(yōu)秀，從這名同學中抽取名同學，記名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.19.（本小題12分）如圖，在三棱錐中，側面與側面均為等邊三角形，為中點（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值20.（本小題12分） 已知點，點是直線上的動點，過作直線，線段的垂直平分線與交于點.()求點的軌跡的方程；()若點是直線上兩個不同的點, 且的內(nèi)切圓方程為，直 線的斜率為，求的取值范圍.21.（本小題12分） 已知函數(shù) (xR)() 當時，求函數(shù)的最小值；() 若時,求實數(shù)的取值范圍；22.（本小題10分）已知都是實數(shù)，.(I)若，求實數(shù)的取值范圍；(II)若對滿足條件的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍惠南中學2016年春季期末考試高二數(shù)學（理科）試卷 解析第卷一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的。（1）已知集合，Z，則( )(A) (B) (C) (D) 答案：C解析：解一元二次不等式：2，得：，又，所以，N，所以，.（2）已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位， 則( )(A) (B) (C) (D) 答案：B解析：因為z，所以，1(3)學校對2016屆高三學生進行考前心理輔導，在高三甲班50名學生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列說法：（2） 男生抽到的概率比女生抽到的概率大；（2）一定不是系統(tǒng)抽樣；（4） 不是分層抽樣； （4）每個學生被抽取的概率相同.以上說法正確的是（ ）A（1）（2） B（2）（3） C（3）（4） D（2）（4）【命題意圖】本題主要考查抽樣的有關知識，考查學生的概念掌握和數(shù)據(jù)處理能力.【答案】C 【解析】由抽樣的概念可知，此抽樣方法不是分層抽樣，不管用哪種抽樣，每個學生被抽取到的概率相同，故（3），（4）正確.（4）向量，若，則（ ）A B C D【答案】C 【解析】，因為，所以，解得，故選C.（5）已知隨機變量服從正態(tài)分布, 且, 則( ) (A) (B) (C) (D) 答案：B 解析：由于隨機變量服從正態(tài)分布，又，所以，10.320.68（6） 過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，如果，則（ ）A B C D【答案】B 【解析】拋物線的焦點，準線方程為根據(jù)拋物線的定義可得：，故選B(7) 已知某工程在很大程度上受當?shù)啬杲邓康挠绊?，施工期間的年降水量X（單位：mm）對工期延誤天數(shù)Y的影響及相應的概率如下表所示：降水量X工期延誤天數(shù)Y051530概率P在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率為( )A. B. C. D. 【答案】D 【解析】條件概型 (8)如圖所示程序框圖，若時，則輸出的數(shù)等于（ ）A B C D【答案】D 【解析】模擬程序框圖的運行過程，如下：輸入，；，是，；，是，；，是，；，是，；，否，輸出故選D 考點：程序框圖.（9）不等式組的解集記為, 若, 則的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 答案：A 解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖三角形ABC為所示，當過A（2,0）時取得最上值為4（10）使N展開式中含有常數(shù)項的的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 答案：C 解析：，令0，得，所以的最小值是5（11）如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為, 粗實線畫出的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是( )(A) (B) (C) (D) 答案：B解析：該幾何體是一個放倒的半圓柱上面加一個四棱錐的組合體，（12）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的值為（ ）A B C D【答案】D第卷二. 填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）曲線在點處的切線方程為 . 答案：解析：（14）已知平面向量與的夾角為，則 .答案：2解析： （15）已知中心在坐標原點的橢圓的右焦點為，點關于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的方程為 .答案：解析：由于兩個焦點為（1,0），（1,0）所以，（16）一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第 位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運算 定義為： 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定 等于 【答案】三. 解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分分） 設是數(shù)列的前項和, 已知, N. () 求數(shù)列的通項公式； () 令，求數(shù)列的前項和.解析：() 解: 當時, 由, 得,1分 兩式相減, 得, 2分 . . 3分 當時,，, 則.4分 數(shù)列是以為首項, 公比為的等比數(shù)列. 5分 . 6分 () 解法1: 由()得. , 7分 , 8分 -得9分 10分 . 11分 .12分（18）（本小題滿分分） 班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班名女同學，名男同學中隨機抽取一個容量為的樣本進行分析.()如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式，不必計算出結果）()如果隨機抽取的名同學的數(shù)學，物理成績(單位：分)對應如下表：學生序號1234567數(shù)學成績60657075858790物理成績70778085908693 若規(guī)定分以上（包括分）為優(yōu)秀，從這名同學中抽取名同學，記名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；解析：()解：依據(jù)分層抽樣的方法，名女同學中應抽取的人數(shù)為名， 2分 名男同學中應抽取的人數(shù)為名， 4分 故不同的樣本的個數(shù)為. 6分()解: 名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為名, 的取值為.7分 , , , . 9分 的分布列為 10分 . 12分（19）（本小題滿分分）如圖，在三棱錐中，側面與側面均為等邊三角形，為中點（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由題設，連結，為等腰直角三角形，所以，且，2分又為等腰三角形，且，得4分所以為直角三角形，5分又所以平面6分（2）解法一：取中點，連結，由（1）知，得為二面角的平面角8分由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值為 12分（20）（本小題滿分分）已知點，點是直線上的動點，過作直線，線段的垂直平分線與交于點.()求點的軌跡的方程；()若點是直線上兩個不同的點, 且的內(nèi)切圓方程為，直 線的斜率為，求的取值范圍.解析： ()解:依題意,點到點的距離等于它到直線的距離, 1分 點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線. 2分 曲線的方程為. 3分()解法1：設點，點，點，直線方程為：， 4分化簡得，.的內(nèi)切圓方程為，圓心到直線的距離為，即. 5分故.易知，上式化簡得，.6分同理，有. 7分是關于的方程的兩根. ， . 8分 .9分 ， . 直線的斜率，則. . 10分 函數(shù)在上單調(diào)遞增， . . . 11分 . 的取值范圍為. 12分解法2：設點，點，點，直線的方程為，即，4分 直線與圓相切， . . 5分 直線的方程為. 點在直線上, .易知，上式化簡得，. 6分同理，有. 7分是關于的方程的兩根.， . 8分. 9分， .直線的斜率，則. . 10分函數(shù)在上單調(diào)遞增，. . . 11分. 的取值范圍為. 12分解法3：設點，直線的方程為，即，令,得, . 4分 直線與圓相切， .化簡得,. 5分同理,設直線的方程為，則點,且. 6分 ,是關于的方程的兩根. , . 7分依題意,. 8分 . 9分 直線的斜率，則. . 10分 函數(shù)在上單調(diào)遞增， . . . 11分 . 的取值范圍為. 12分解法4：設點，如圖，設直線，與圓相切的切點分別為， 依據(jù)平面幾何性質，得， 4分 由， 5分 得， 得. 6分得.7分故. 8分 依題意,. . 9分 直線的斜率，則. .10分 函數(shù)在上單調(diào)遞增，. . . 11分 . 的取值范圍為. 12分（21）（本小題滿分分） 已知函數(shù) (xR) () 當時，求函數(shù)的最小值；() 若時,求實數(shù)的取值范圍；解析：()解:當時，,則. 1分 令，得.2分 當時, ; 當時, . 3分 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增. 4分 當時,函數(shù)取得最小值,其值為. 5分 ()解:若時,即.(*)令,則.6分 若,由()知,即,故. .7分 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. (*)式成立. 8分 若,令, 則. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 由于,.9分故,使得. 10分則當時,即. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. ,即(*)式不恒成立. 11分 綜上所述,實數(shù)的取值范圍是. 12分（22）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知都是實數(shù)，.(I)若，求實數(shù)的取值范圍；(II)若對滿足條件的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍解：(I)由得或， 解得或.故所求實數(shù)的取值范圍為.5分（II）由且得 ，又， 7分，的解集為， 的解集為，所求實數(shù)的取值范圍為.10分