5立體幾何1幾何體的三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正(主)視圖下面，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖右面，“長對正，高平齊，寬相等”由幾何體的三視圖確定幾何體時，要注意以下幾點(diǎn)：(1)還原后的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺、球的組合體(2)注意圖中實(shí)、虛線，實(shí)際是原幾何體中的可視線與被遮擋線(3)想象原形，并畫出草圖后進(jìn)行三視圖還原，把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系，與所給三視圖比較，通過調(diào)整準(zhǔn)確畫出原幾何體問題1如圖，若一個幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖均為面積等于2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為_答案2空間幾何體表面積和體積的求法幾何體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，求幾何體的體積常用公式法、割補(bǔ)法、等積變換法問題2如圖所示，一個空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形，側(cè)(左)視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為()A4 B3 C2 D.答案D3空間平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系平行問題的核心是線線平行，證明線線平行的常用方法有：三角形的中位線、平行線分線段成比例(三角形相似)、平行四邊形等問題3判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“”號，錯誤的畫“”號(1)如果a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面()(2)如果直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行()(3)如果直線a，b和平面滿足a，b，那么ab.()(4)如果直線a，b和平面滿足ab，a，b，那么b.()答案(1)(2)(3)(4)4空間垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系垂直問題的核心是線線垂直，證明線線垂直的常用方法有：等腰三角形底邊上的中線、勾股定理、平面幾何方法等問題4已知兩個平面垂直，下列命題一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線；一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面；過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面其中正確命題的個數(shù)是()A3 B2C1 D0答案C5多面體與球接、切問題的求解策略(1)涉及球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，則4R2a2b2c2求解問題5一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是，那么這個三棱柱的體積是()A96 B16C24 D48答案D解析如圖，設(shè)球的半徑為R，由R3，得R2.所以正三棱柱的高h(yuǎn)4.設(shè)其底面邊長為a，則a2，所以a4，所以V(4)2448.6求平面的法向量的方法(1)性質(zhì)法：根據(jù)線面垂直的判定找出與平面垂直的直線，則此直線的方向向量就是平面的法向量(2)賦值法：在平面內(nèi)取兩個不共線向量，設(shè)出平面的法向量建立方程組，通過賦值求出其中的一個法向量7“轉(zhuǎn)化法”求空間角(1)設(shè)兩條異面直線a，b所成的角為，兩條直線的方向向量分別為a，b.因?yàn)?0，故有cos |cosa，b|.(2)設(shè)直線l和平面所成的角為，l是斜線l的方向向量，n是平面的法向量，則sin |cosl，n|.(3)設(shè)二面角l的大小為，n1，n2是二面角l的兩個半平面的法向量，則|cos |cosn1，n2|，兩個角之間的關(guān)系需要根據(jù)二面角的取值范圍來確定問題6在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCPA，點(diǎn)O，D分別是AC，PC的中點(diǎn)，OP底面ABC，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值解OP平面ABC，OAOC，ABBC，OAOB，OAOP，OBOP.以O(shè)為原點(diǎn)，射線OP為z軸正方向，OA為x軸正方向，OB為y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)設(shè)ABa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，設(shè)OPh，則P(0,0，h)，由PAAB，則PA2a，則P(0,0, a)，( a,0， a)可求得平面PBC的一個法向量為n(1，1，)，cos，n，設(shè)PA與平面PBC所成的角為，則sin |cos，n|.8求點(diǎn)到平面的距離的方法(1)“等積法”：求解點(diǎn)到面的距離常轉(zhuǎn)化為錐體的高，利用三棱錐體積公式求點(diǎn)到平面的距離(2)“向量法”：如圖，設(shè)P在平面外，n為平面的法向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)Q，則點(diǎn)P到平面的距離d.問題7正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為_答案解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O.設(shè)平面ABC1D1的法向量為n(x，y，z)，則令z1，得n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距離d.易錯點(diǎn)1三視圖識圖不準(zhǔn)例1如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為_易錯分析解本題易出現(xiàn)的錯誤有：(1)還原空間幾何體的形狀時出錯，不能正確判斷其對應(yīng)的幾何體；(2)計(jì)算時不能準(zhǔn)確把三視圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)幾何體中的線段長度，尤其側(cè)視圖中的數(shù)據(jù)處理很容易出錯解析該幾何體為一個四棱錐，如圖所示CD底面PAD，BA底面PAD，PAAD，PAADCD2，AB1.PC2，PB，BC.SPBC2.該幾何體的表面積S21222262.答案62易錯點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)體辨識不清例2如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積易錯分析注意這里是旋轉(zhuǎn)圖中的陰影部分，不是旋轉(zhuǎn)梯形ABCD.在旋轉(zhuǎn)的時候邊界形成一個圓臺，并在上面挖去了一個“半球”，其體積應(yīng)是圓臺的體積減去半球的體積解本題易出現(xiàn)的錯誤是誤以為旋轉(zhuǎn)的是梯形ABCD，在計(jì)算時沒有減掉半球的體積解由題圖中數(shù)據(jù)，根據(jù)圓臺和球的體積公式，得V圓臺(222552)452(cm3)，V半球23(cm3)所以旋轉(zhuǎn)體的體積為V圓臺V半球52(cm3)易錯點(diǎn)3線面關(guān)系把握不準(zhǔn)例3設(shè)a，b為兩條直線，為兩個平面，且a，a，則下列結(jié)論中不成立的是()A若b，ab，則aB若a，則aC若ab，b，則aD若，a，ba，則b易錯分析本題易出現(xiàn)的問題就是對空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)，考慮問題不全面，不能準(zhǔn)確把握題中的前提a，a，對空間中的平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理中的條件把握不準(zhǔn)導(dǎo)致判斷失誤如A項(xiàng)中忽視已知條件中的a，誤以為該項(xiàng)錯誤等解析對于選項(xiàng)A，若有b，ab，且已知a，所以根據(jù)線面平行的判定定理可得a，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，若a，則根據(jù)空間線面位置關(guān)系可知a或a，而由已知可知a，所以有a，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，若ab，b，所以a或a，而由已知可得a，所以a，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，由a，ba可得b，又因?yàn)?，所以b或b，故不能得到b，所以選項(xiàng)D錯，故選D.答案D易錯點(diǎn)4線面關(guān)系論證不嚴(yán)謹(jǐn)例4在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)(1)求證：EF平面ABC1D1；(2)求證：EFB1C.易錯分析利用空間線面關(guān)系的判定或性質(zhì)定理證題時，推理論證一定要嚴(yán)格按照定理中的條件進(jìn)行，否則出現(xiàn)證明過程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}證明(1)連接BD1，如圖所示在DD1B中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)，則EF平面ABC1D1.(2)ABCDA1B1C1D1為正方體AB平面BCC1B1EFB1C.易錯點(diǎn)5混淆空間角與向量夾角例5如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)(1)求證：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值易錯分析本題易錯點(diǎn)在于認(rèn)為兩個平面法向量的夾角等于所求二面角的大小根據(jù)向量計(jì)算出二面角的余弦值的絕對值后，其大小還要通過二面角的取值范圍確定(1)證明由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系易得B(0,0,0)，A(0，1，)，D(，1,0)，C(0,2,0)，因而E(0，)，F(xiàn)(，0)，所以(，0，)，(0,2,0)，因此0.從而，所以EFBC.(2)解在圖中，平面BFC的一個法向量為n1(0,0,1)設(shè)平面BEF的法向量為n2(x，y，z)又(，0)，(0，)，由得其中一個法向量n2(1，1)設(shè)二面角EBFC的大小為，且由題意知為銳角，則cos |cosn1，n2|.因此sin ，即所求二面角的正弦值為.1已知m，n為空間中兩條不同的直線，為空間中兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A若m，m，則B若m，mn，則nC若m，mn，則nD若m，m，則答案D解析對于選項(xiàng)A，若m，m，則可能，相交，或者，所以選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B，若m，mn，則可能n，或n，所以選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C，若m，mn，則n，或n，所以選項(xiàng)C不正確；對于選項(xiàng)D，若m，m，則由線面平行可得在平面內(nèi)存在一條直線l，使得ml，然后由m可得l，進(jìn)而得出，故應(yīng)選D.2(2015浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A8 cm3 B12 cm3 C. cm3 D. cm3答案C解析該幾何體是棱長為2 cm的正方體與一底面邊長為2 cm的正方形、高為2 cm的正四棱錐組成的組合體，V222222 cm3.故選C.3如圖，已知ABC為直角三角形，其中ACB90，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPB>PCBPAPB<PCCPAPBPCDPAPBPC答案C解析M為AB的中點(diǎn)，ACB為直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.4如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論正確的是()APBADB平面PAB平面PBCC直線BC平面PAED直線PD與平面ABC所成的角為45答案D解析若PBAD，則ADAB，但AD與AB成60角，A錯誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C錯誤；直線PD與平面ABC所成角為PDA，在RtPAD中，ADPA，所以PDA45，D正確5.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個結(jié)論：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C與PM相交；NC與PM異面其中不正確的結(jié)論是()A BC D答案B解析作出過M，N，P，Q四點(diǎn)的截面交C1D1于點(diǎn)S，交AB于點(diǎn)R，如圖中的六邊形MNSPQR，顯然點(diǎn)A1，C分別位于這個平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論不正確6.如圖，在空間四邊形ABCD中，MAB，NAD，若，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是_答案平行解析由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.7球O內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的全面積為24，則球O的體積是_答案4解析由于正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則正方體的對角線即為球的直徑正方體的全面積為24，則設(shè)正方體的邊長為a，即有6a224，解得a2，設(shè)球的半徑為R，則2R2，解得，R，則有球的體積為VR334.8如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M為線段BB1上的一動點(diǎn)，則過A、M、C1三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為_答案3解析由圖形可知，當(dāng)AMMC1最小時，所得截面的周長最小，如圖所示把平面A1ABB1與平面C1CBB1展開成一個平面AA1C1C，則AMMC1最短為AC13，所以截面的最小周長為33.9(2015山東改編)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_答案解析過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為VV圓柱V圓錐AB2BCCE2DE122121.10如圖，四棱錐PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB與PAD都是等邊三角形(1)證明：PBCD；(2)求二面角APDB的余弦值(1)證明如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則ADEB為正方形，過P作PO平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OE，OD，則由PAB和PAD都是等邊三角形可知PAPBPD，OAOBOD，即點(diǎn)O為正方形ADEB對角線的交點(diǎn)，故OEBD，從而OE平面PBD，OEPB，O是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，OECD，因此PBCD.(2)解由(1)可知，OE，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OE方向?yàn)閤軸正方向，OB方向?yàn)閥軸正方向，OP方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)AB2，則A(，0,0)，D(0，0)，P(0,0，)，(，0)，(，0，)，設(shè)平面PAD的法向量n(x，y，z)，nxy0，nxz0，取x1，得y1，z1，得n(1,1，1)，OE平面PBD，設(shè)平面PBD的法向量為m，取m(1,0,0)，由圖象可知二面角APDB的大小為銳角，二面角APDB的余弦值為cos 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