《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材7 概率與統(tǒng)計(jì)練習(xí) 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材7 概率與統(tǒng)計(jì)練習(xí) 文（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

7.概率與統(tǒng)計(jì) 1．隨機(jī)抽樣方法 簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)是抽樣過程中每個個體被抽取的機(jī)會相等，且是不放回抽樣． [問題1]　某社區(qū)現(xiàn)有480個住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭．在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為________． 答案　24 解析　由抽樣比例可知＝，則x＝24. 2．對于統(tǒng)計(jì)圖表問題，求解時(shí)，最重要的就是認(rèn)真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)．對于頻率分布直方圖，應(yīng)注意的是圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率．莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直觀、清晰了． [問題2]　(2015湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示： 若將運(yùn)動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動員人數(shù)是________． 答案　4 解析　由題意知，將1～35號分成7組，每組5名運(yùn)動員，落在區(qū)間[139,151]的運(yùn)動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名． 3．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)． [問題3]　某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶滿意度的評分制成頻率分布直方圖(如下)，則該地區(qū)滿意度評分的平均值為________． 答案　77.5 解析　由直方圖估計(jì)評分的平均值為550.05＋650.2＋750.35＋850.25＋950.15＝77.5. 4．變量間的相關(guān)關(guān)系 假設(shè)我們有如下一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．線性回歸方程＝x＋， 其中 [問題4]　回歸直線＝x＋必經(jīng)過點(diǎn)________． 答案　(，) 5．互斥事件的概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B) (1)公式適合范圍：事件A與B互斥． (2)P()＝1－P(A)． [問題5]　拋擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率之和為________． 答案　 6．古典概型 P(A)＝(其中，n為一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，m為事件A在試驗(yàn)中包含的基本事件個數(shù))． [問題6]　(2015廣東)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 答案　B 解析　5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種．恰有一件次品的結(jié)果有6種，則其概率為p＝＝0.6. 7．幾何概型 一般地，在幾何區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為P(A)＝.此處D的度量不為0，其中“度量”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的度量分別為長度、面積和體積等． 即P(A)＝. [問題7]　在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D．1－ 答案　B 解析　記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為A， P(A)＝＝1－. 易錯點(diǎn)1　抽樣方法理解不準(zhǔn) 例1　一個總體中100個個體的編號為0,1,2,3，…，99，并依次按其分為10個小組，組號為0,1,2，…，9.要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果第0組(號碼0～9)隨機(jī)抽取的號碼為l，那么依次錯位地抽取后面各組的號碼，即第k組中抽取的號碼的個位數(shù)為l＋k或l＋k－10(如果l＋k≥10)．若l＝6，則所抽取的第5組的號碼是________． 易錯分析　本題易錯點(diǎn)有兩個：一是忽視題中對組號的描述，誤以為第一個號碼6為第一組的號碼導(dǎo)致錯誤；二是忽視系統(tǒng)抽樣號碼抽樣法則的制定，誤以為組距為10，所以每組抽取號碼的個位數(shù)都為6.所以解決此類問題，一定要根據(jù)題中的條件準(zhǔn)確進(jìn)行編號與抽樣． 答案　51 解析　由題意，第0組抽取的號碼為6，則第一組抽取的號碼的個位數(shù)為6＋1＝7，所以選17. 因?yàn)?＋1＝8，第二組抽取號碼的個位數(shù)為8，故選28. 因?yàn)?＋1＝9，第三組抽取號碼的個位數(shù)為9，故選39. 因?yàn)?＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四組抽取號碼的個位數(shù)為0，故選40. 因?yàn)?＋1＝1，第五組抽取號碼的個位數(shù)為1，故選51. 易錯點(diǎn)2　統(tǒng)計(jì)圖表識圖不清 例2　如圖所示是某公司(共有員工300人)2016年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的共有______人． 易錯分析　解本題容易出現(xiàn)的錯誤是審題不細(xì)，對所給圖形觀察不細(xì)心，認(rèn)為員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為1－(0.02＋0.08＋0.10)2＝0.60，從而得到員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的共有300[1－(0.02＋0.08＋0.10)2]＝180(人)的錯誤答案． 解析　由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)2＝0.24，所以員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的共有3000.24＝72(人) 答案　72 易錯點(diǎn)3　誤解基本事件的等可能性 例3　若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為________． 易錯分析　解本題時(shí)易出現(xiàn)的錯誤在于對等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，錯誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11(點(diǎn)數(shù)和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯誤地計(jì)算為(1,3)(2,2)兩種，從而導(dǎo)致出錯． 解析　將先后擲2次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個數(shù)為66＝36，而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3個，故先后擲2次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率P＝＝.故填. 答案　 易錯點(diǎn)4　幾何概型中“測度”確定不準(zhǔn) 例4　在等腰直角三角形ABC中，直角頂點(diǎn)為C. (1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM＜AC的概率； (2)在∠ACB的內(nèi)部，以C為端點(diǎn)任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM＜AC的概率． 易錯分析　本題易出現(xiàn)的問題是混淆幾何概型中對事件的度量方式，不注意題中兩問中點(diǎn)M生成方式的差異，誤以為該題兩問中的幾何概型都是用線段的長度來度量造成錯解． 解　(1)如圖所示，AB＝AC. 由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的，所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB. 所以P(AM＜AC)＝＝. (2)由于在∠ABC內(nèi)作射線CM，等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示)，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是∠ACB，所以P(AM＜AC)＝＝＝. 易錯點(diǎn)5　互斥事件概念不清 例5　對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互為互斥事件的是________；互為對立事件的是________． 易錯分析　對事件互斥意義不明確，對事件的互斥與對立之間的關(guān)系不清楚，就會出現(xiàn)錯誤的判斷．對立事件和互斥事件都不可能同時(shí)發(fā)生，但對立事件必有一個要發(fā)生，而互斥事件可能都不發(fā)生．所以兩個事件對立，則兩個事件必是互斥事件；反之，兩事件是互斥事件，但未必是對立事件． 解析　因?yàn)锳∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝Ω，故B與D互為對立事件． 答案　A與B，A與C，B與C，B與D　B與D 1．某學(xué)校利用系統(tǒng)抽樣的方法，從學(xué)校高三年級全體1 000名學(xué)生中抽50名學(xué)生做學(xué)習(xí)狀況問卷調(diào)查．現(xiàn)將1000名學(xué)生從1到1000進(jìn)行編號，共分50組．在第一組中隨機(jī)抽取一個號，如果抽到的是17號，則第8組中應(yīng)取的號碼是(　　) A．177 B．157 C．417 D．367 答案　B 解析　根據(jù)系統(tǒng)抽樣法的特點(diǎn)，可知抽取出的編號成首項(xiàng)為17，公差為20的等差數(shù)列，所以第8組的編號是17＋(8－1)20＝157. 2．如圖是2016年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為(　　) A．85,84 B．84,85 C．86,84 D．84,86 答案　A 解析　由圖可知，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為84,84,84,86,87. ∴平均數(shù)為＝85，眾數(shù)為84. 3．從正六邊形的6個頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖所示， 從正六邊形ABCDEF的6個頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個頂點(diǎn)，可以看作隨機(jī)選2個頂點(diǎn)，剩下的4個頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種．若要構(gòu)成矩形，只要選相對頂點(diǎn)即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，故其概率為＝. 4．(2015福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由圖形知C(1,2)，D(－2,2)，∴S四邊形ABCD＝6，S陰＝31＝.∴P＝＝. 5．某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某時(shí)段內(nèi)，有1 000輛汽車通過該站，現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的200輛汽車進(jìn)行車速分析，分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖，則估計(jì)在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有________輛．(注：分析時(shí)車速均取整數(shù)) 答案　300 解析　由圖可知，車速大于等于90 km/h的車輛未標(biāo)出頻率，而小于90 km/h的都標(biāo)出了，故考慮對立事件．由題圖知車速小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為(0.01＋0.02＋0.04)10＝0.7，所以車速不小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為1－0.7＝0.3.因此在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的車速不小于90 km/h的汽車有1 0000.3＝300(輛)． 6．春節(jié)期間，某銷售公司每天銷售某種取暖產(chǎn)品的銷售額y(單位：萬元)與當(dāng)天的平均氣溫x(單位：℃)有關(guān)．現(xiàn)收集了春節(jié)期間這個銷售公司4天的x與y的數(shù)據(jù)列于下表： 平均氣溫(℃) －2 －3 －5 －6 銷售額(萬元) 20 23 27 30 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得y與x之間的線性回歸方程＝x＋的系數(shù)＝－，則＝________. 答案　 解析　由表中數(shù)據(jù)可得＝－4，＝25，所以線性回歸方程＝－x＋過點(diǎn)(－4,25)，代入方程得25＝－(－4)＋，解得＝. 7．如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩位同學(xué)在期末考試中的六科成績，已知甲同學(xué)的平均成績?yōu)?5，乙同學(xué)的六科成績的眾數(shù)為84，則x，y的值分別為________，________. 答案　6　4 解析　甲＝＝85， 解得x＝6，由題圖可知y＝4. 8．從2男3女共5名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會均等)，這2名都是男生或都是女生的概率為______． 答案　 解析　設(shè)2名男生為A，B,3名女生為a，b，c，則從5名同學(xué)中任取2名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，…，(b，c)，共10種，而這2名同學(xué)剛好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6種， 故所求概率為1－＝. 9．已知直線l的方程為ax＋2y－3＝0，且a∈[－5,4]，則直線l的斜率不小于1的概率為________． 答案　 解析　直線l的斜率k＝－，由－≥1，可得a≤－2. 因?yàn)閍∈[－5,4]，所以a∈[－5，－2]． 由幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為 P＝＝＝. 10．甲、乙兩名騎手騎術(shù)相當(dāng)，他們各自挑選3匹馬備用，甲挑選的三匹馬分別記為A，B，C，乙挑選的三匹馬分別記為A′，B′，C′.已知6匹馬按奔跑速度從快到慢的排列順序依次為：A，A′，B，B′，C′，C.比賽前甲、乙均不知道這個順序．規(guī)定：每人只能騎自己挑選的馬進(jìn)行比賽，且率先到達(dá)終點(diǎn)者獲勝． (1)若甲、乙二人進(jìn)行一次比賽，求乙獲勝的概率； (2)若甲、乙二人進(jìn)行三次比賽，且不能重復(fù)使用馬匹，求乙獲勝次數(shù)多于甲的概率． 解　(1)甲、乙二人選取的馬匹共有9種搭配方式，勝負(fù)情況如下表所示： 勝負(fù)情況 甲A 甲B 甲C 乙A′ 甲勝 乙勝 乙勝 乙B′ 甲勝 甲勝 乙勝 乙C′ 甲勝 甲勝 乙勝 所以乙獲勝的概率P＝. (2)根據(jù)題意乙分別騎A′，B′，C′時(shí)，甲騎手的馬共有6種排列情況與之對應(yīng)，如下表所示： ① ② ③ 甲 A B C 甲 A C B 甲 B A C 乙 A′ B′ C′ 乙 A′ B′ C′ 乙 A′ B′ C′ 乙的勝負(fù) 負(fù) 負(fù) 勝 乙的勝負(fù) 負(fù) 勝 負(fù) 乙的勝負(fù) 勝 負(fù) 勝 ④ ⑤ ⑥ 甲 B C A 甲 C A B 甲 C B A 乙 A′ B′ C′ 乙 A′ B′ C′ 乙 A′ B′ C′ 乙的勝負(fù) 勝 勝 負(fù) 乙的勝負(fù) 勝 負(fù) 負(fù) 乙的勝負(fù) 勝 負(fù) 負(fù) 以上6種情況，只有③④兩種情況乙獲勝次數(shù)多于甲． 故乙獲勝次數(shù)多于甲的概率P＝＝.