《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯(cuò)分析7 概率與統(tǒng)計(jì)練習(xí) 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯(cuò)分析7 概率與統(tǒng)計(jì)練習(xí) 理（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

7．概率與統(tǒng)計(jì) 1．隨機(jī)抽樣方法 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)是抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等，且是不放回抽樣． [問(wèn)題1]　某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭．在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為_(kāi)_______． 答案　24 解析　由抽樣比例可知＝，則x＝24. 2．對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表問(wèn)題，求解時(shí)，最重要的就是認(rèn)真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)．對(duì)于頻率分布直方圖，應(yīng)注意的是圖中的每一個(gè)小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率．莖葉圖沒(méi)有原始數(shù)據(jù)信息的損失，但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直觀、清晰了． [問(wèn)題2]　(2015湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示： 若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________． 答案　4 解析　由題意知，將1～35號(hào)分成7組，每組5名運(yùn)動(dòng)員，落在區(qū)間[139,151]的運(yùn)動(dòng)員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名． 3．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)． [問(wèn)題3]　某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶滿意度的評(píng)分制成頻率分布直方圖(如下)，則該地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值為_(kāi)_______． 答案　77.5 解析　由直方圖估計(jì)評(píng)分的平均值為550.05＋650.2＋750.35＋850.25＋950.15＝77.5. 4．變量間的相關(guān)關(guān)系 假設(shè)我們有如下一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．線性回歸方程＝x＋， 其中 [問(wèn)題4]　回歸直線＝x＋必經(jīng)過(guò)點(diǎn)________． 答案　(，) 5．互斥事件的概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B) (1)公式適合范圍：事件A與B互斥． (2)P()＝1－P(A)． [問(wèn)題5]　拋擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率之和為_(kāi)_______． 答案　 6．古典概型 P(A)＝(其中，n為一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，m為事件A在試驗(yàn)中包含的基本事件個(gè)數(shù))． [問(wèn)題6]　(2015廣東)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 答案　B 解析　5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種．恰有一件次品的結(jié)果有6種，則其概率為p＝＝0.6. 7．幾何概型 一般地，在幾何區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為P(A)＝.此處D的度量不為0，其中“度量”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的度量分別為長(zhǎng)度、面積和體積等． 即P(A)＝. [問(wèn)題7]　在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D．1－ 答案　B 解析　記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為A， P(A)＝＝1－. 8．解排列組合問(wèn)題的常用策略 相鄰問(wèn)題捆綁法；相間隔問(wèn)題插空法；定位問(wèn)題優(yōu)先法；多元問(wèn)題分類法；至多至少問(wèn)題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果． [問(wèn)題8]　4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)盒中，則恰有1個(gè)空盒的放法共有________種． 答案　144 解析　把4個(gè)球分成3組，每組至少1個(gè)，即分的小球個(gè)數(shù)分別為2,1,1的3組，有種．最后將三組球放入4個(gè)盒中的3個(gè)，有分配方法數(shù)A種，因此，放法共有A＝144(種)． 9．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對(duì)稱性：C＝C(k＝0,1,2，…，n)． (2)系數(shù)和：C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. (3)最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第(＋1)項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為；n為奇數(shù)時(shí)，(n＋1)為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大為第項(xiàng)及第＋1項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為 [問(wèn)題9]　已知(＋)n展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列． (1)求n； (2)求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及該項(xiàng)的系數(shù)． 解　(1)前三項(xiàng)系數(shù)為1，C，C，成等差數(shù)列， 所以2C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0，得n＝1(舍)或n＝8. (2)由n＝8可知其通項(xiàng)公式為 Tk＋1＝C()8－k()k 所以第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝28， 第三項(xiàng)系數(shù)為()2C＝7. 10．條件概率 P(A|B)＝. [問(wèn)題10]　設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率為，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為，則事件A發(fā)生的概率為_(kāi)_______． 答案　 11．離散型隨機(jī)變量的均值、方差 (1)離散型隨機(jī)變量的均值、方差：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值，D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差． (2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差． ①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [問(wèn)題11]　若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的值為_(kāi)_______. ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 答案　 解析　根據(jù)概率之和為1，求出x＝， 則E(ξ)＝02x＋13x＋…＋5x＝40x＝. 12．一般地，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)a4)＝0.2， 由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2， P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6. ∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3. 易錯(cuò)點(diǎn)1　抽樣方法理解不準(zhǔn) 例1　一個(gè)總體中100個(gè)個(gè)體的編號(hào)為0,1,2,3，…，99，并依次按其分為10個(gè)小組，組號(hào)為0,1,2，…，9.要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果第0組(號(hào)碼0～9)隨機(jī)抽取的號(hào)碼為l，那么依次錯(cuò)位地抽取后面各組的號(hào)碼，即第k組中抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為l＋k或l＋k－10(如果l＋k≥10)．若l＝6，則所抽取的第5組的號(hào)碼是________． 易錯(cuò)分析　本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：一是忽視題中對(duì)組號(hào)的描述，誤以為第一個(gè)號(hào)碼6為第一組的號(hào)碼導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是忽視系統(tǒng)抽樣號(hào)碼抽樣法則的制定，誤以為組距為10，所以每組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)都為6.所以解決此類問(wèn)題，一定要根據(jù)題中的條件準(zhǔn)確進(jìn)行編號(hào)與抽樣． 解析　由題意，第0組抽取的號(hào)碼為6，則第一組抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為6＋1＝7，所以選17. 因?yàn)?＋1＝8，第二組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為8，故選28. 因?yàn)?＋1＝9，第三組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為9，故選39. 因?yàn)?＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為0，故選40. 因?yàn)?＋1＝1，第五組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為1，故選51. 答案　51 易錯(cuò)點(diǎn)2　誤解基本事件的等可能性 例2　若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為_(kāi)_______． 易錯(cuò)分析　解本題時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于對(duì)等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，錯(cuò)誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11(點(diǎn)數(shù)和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯(cuò)誤地計(jì)算為(1,3)(2,2)兩種，從而導(dǎo)致出錯(cuò)． 解析　將先后擲2次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為66＝36，而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3個(gè)，故先后擲2次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率P＝＝.故填. 答案　 易錯(cuò)點(diǎn)3　幾何概型中“測(cè)度”確定不準(zhǔn) 例3　在等腰直角三角形ABC中，直角頂點(diǎn)為C. (1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM＜AC的概率； (2)在∠ACB的內(nèi)部，以C為端點(diǎn)任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM＜AC的概率． 易錯(cuò)分析　本題易出現(xiàn)的問(wèn)題是混淆幾何概型中對(duì)事件的度量方式，不注意題中兩問(wèn)中點(diǎn)M生成方式的差異，誤以為該題兩問(wèn)中的幾何概型都是用線段的長(zhǎng)度來(lái)度量造成錯(cuò)解． 解　(1)如圖所示，AB＝AC. 由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的，所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB. 所以P(AM＜AC)＝＝. (2)由于在∠ABC內(nèi)作射線CM，等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示)，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是∠ACB，所以P(AM＜AC)＝＝＝. 易錯(cuò)點(diǎn)4　互斥事件概念不清 例4　對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互為互斥事件的是________；互為對(duì)立事件的是________． 易錯(cuò)分析　對(duì)事件互斥意義不明確，對(duì)事件的互斥與對(duì)立之間的關(guān)系不清楚，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的判斷．對(duì)立事件和互斥事件都不可能同時(shí)發(fā)生，但對(duì)立事件必有一個(gè)要發(fā)生，而互斥事件可能都不發(fā)生．所以兩個(gè)事件對(duì)立，則兩個(gè)事件必是互斥事件；反之，兩事件是互斥事件，但未必是對(duì)立事件． 解析　因?yàn)锳∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而B(niǎo)∩D＝?，B∪D＝Ω，故B與D互為對(duì)立事件． 答案　A與B，A與C，B與C，B與D　B與D 易錯(cuò)點(diǎn)5　排列、組合問(wèn)題混淆 例5　如圖所示，A，B，C，D是海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)島連接起來(lái)，不同的建橋方案共有多少種？ 易錯(cuò)分析　搞不清幾個(gè)元素之間有無(wú)順序，混淆排列與組合的區(qū)別． 解　由題意可能有兩種結(jié)構(gòu)，如圖： 第一種：，第二種： 對(duì)于第一種結(jié)構(gòu)，連接方式只需考慮中心位置的情況，共有C種方法． 對(duì)于第二種結(jié)構(gòu)，有CA種方法． ∴總共有C＋CA＝16(種)． 易錯(cuò)點(diǎn)6　概率計(jì)算時(shí)是否有序理解不清 例6　袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)白球的概率為p.從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止． (1)求恰好摸5次停止的概率； (2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列． 易錯(cuò)分析　注意題中的摸球是“有放回地”，另外條件“有3次摸到紅球即停止”在解題中要充分考慮． 解　(1)C()2()2＝. (2)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2,3. 由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k， 得P(ξ＝0)＝C(1－)5＝， P(ξ＝1)＝C(1－)4＝， P(ξ＝2)＝C()2(1－)3＝， P(ξ＝3)＝1－＝. 隨機(jī)變量的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 1．某學(xué)校利用系統(tǒng)抽樣的方法，從學(xué)校高三年級(jí)全體1 000名學(xué)生中抽50名學(xué)生做學(xué)習(xí)狀況問(wèn)卷調(diào)查．現(xiàn)將1000名學(xué)生從1到1000進(jìn)行編號(hào)，共分50組．在第一組中隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)，如果抽到的是17號(hào)，則第8組中應(yīng)取的號(hào)碼是(　　) A．177 B．157 C．417 D．367 答案　B 解析　根據(jù)系統(tǒng)抽樣法的特點(diǎn)，可知抽取出的編號(hào)成首項(xiàng)為17，公差為20的等差數(shù)列，所以第8組的編號(hào)是17＋(8－1)20＝157. 2．如圖是2016年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評(píng)委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為(　　) A．85,84 B．84,85 C．86,84 D．84,86 答案　A 解析　由圖可知，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為84,84,84,86,87. ∴平均數(shù)為＝85，眾數(shù)為84. 3．從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖所示， 從正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn)，可以看作隨機(jī)選2個(gè)頂點(diǎn)，剩下的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種．若要構(gòu)成矩形，只要選相對(duì)頂點(diǎn)即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，故其概率為＝. 4．(2015福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由圖形知C(1,2)，D(－2,2)，∴S四邊形ABCD＝6，S陰＝31＝.∴P＝＝. 5．某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某時(shí)段內(nèi)，有1 000輛汽車通過(guò)該站，現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的200輛汽車進(jìn)行車速分析，分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖，則估計(jì)在這一時(shí)段內(nèi)通過(guò)該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有________輛．(注：分析時(shí)車速均取整數(shù)) 答案　300 解析　由圖可知，車速大于等于90 km/h的車輛未標(biāo)出頻率，而小于90 km/h的都標(biāo)出了，故考慮對(duì)立事件．由題圖知車速小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為(0.01＋0.02＋0.04)10＝0.7，所以車速不小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為1－0.7＝0.3.因此在這一時(shí)段內(nèi)通過(guò)該站的車速不小于90 km/h的汽車有1 0000.3＝300(輛)． 6．春節(jié)期間，某銷售公司每天銷售某種取暖產(chǎn)品的銷售額y(單位：萬(wàn)元)與當(dāng)天的平均氣溫x(單位：℃)有關(guān)．現(xiàn)收集了春節(jié)期間這個(gè)銷售公司4天的x與y的數(shù)據(jù)列于下表： 平均氣溫(℃) －2 －3 －5 －6 銷售額(萬(wàn)元) 20 23 27 30 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得y與x之間的線性回歸方程＝x＋的系數(shù)＝－，則＝________. 答案　 解析　由表中數(shù)據(jù)可得＝－4，＝25，所以線性回歸方程＝－x＋過(guò)點(diǎn)(－4,25)，代入方程得25＝－(－4)＋，解得＝. 7．如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩位同學(xué)在期末考試中的六科成績(jī)，已知甲同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5，乙同學(xué)的六科成績(jī)的眾數(shù)為84，則x，y的值分別為_(kāi)_______，________. 答案　6　4 解析　甲＝＝85， 解得x＝6，由題圖可知y＝4. 8．從2男3女共5名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會(huì)均等)，這2名都是男生或都是女生的概率為_(kāi)_____． 答案　 解析　設(shè)2名男生為A，B,3名女生為a，b，c，則從5名同學(xué)中任取2名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，…，(b，c)，共10種，而這2名同學(xué)剛好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6種， 故所求概率為1－＝. 9．已知某人投籃的命中率為，則此人投籃4次，至少命中3次的概率是________． 答案　 解析　該人投籃4次，命中3次的概率為 P1＝C3＝； 該人投籃4次，命中4次的概率為P2＝C4＝， 故至少命中3次的概率是P＝＋＝. 10．某校校慶，各屆校友紛至沓來(lái)，某班共來(lái)了n位校友(n>8，且n∈N*)，其中女校友6位，組委會(huì)對(duì)這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”． (1)若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于，求n的最大值； (2)當(dāng)n＝12時(shí)，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X)． 解　(1)由題意可知，所選2人為“最佳組合”的概率為 ＝， 則≥. 化簡(jiǎn)得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16， 故n的最大值為16. (2)由題意可得，X的可能取值為0,1,2. 則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， X的分布列為 X 0 1 2 P ∴E(X)＝0＋1＋2＝1.