小題分類練(六)數(shù)學(xué)文化類一、選擇題1我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜求積術(shù)”設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積術(shù)”為S.若c2sin A4sin C，B，則用“三斜求積術(shù)”求得ABC的面積為()A.B. C.D.2(2019·懷化模擬)鏡花緣是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長(zhǎng)篇小說(shuō)，書(shū)中有這樣一個(gè)情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個(gè)小燈，另一種是大燈下綴4個(gè)小燈，大燈共360個(gè)，小燈共1 200個(gè)若在這座樓閣的燈球中，隨機(jī)選取1個(gè)燈球，則這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為()A.B. C.D.3素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù)，法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森是研究素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位，因此后人將“2n1”形式(n是素?cái)?shù))的素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù)已知第20個(gè)梅森素?cái)?shù)為P24 4231，第19個(gè)梅森素?cái)?shù)為Q24 2531，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為()(參考數(shù)據(jù)，lg 20.3)A1045B1051 C1056D10594由國(guó)家公安部提出，國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局發(fā)布的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)(GB/T195222010)于2011年7月1日正式實(shí)施車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見(jiàn)表經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，一般情況下，某人喝1瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如圖所示，且該圖表示的函數(shù)模型為f(x)則該人喝1瓶啤酒后至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才可以駕車(時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算)？(參考數(shù)據(jù)：ln 152.71，ln 303.40)()車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值駕駛行為類型閾值(mg/100 mL)飲酒后駕車20，<80醉酒后駕車80A5 hB6 hC7 hD8 h5(2019·漳州質(zhì)檢)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“諸葛亮領(lǐng)八員將，每將又分八個(gè)營(yíng)，每營(yíng)里面排八陣，每陣先鋒有八人，每人旗頭俱八個(gè)，每個(gè)旗頭八隊(duì)成，每隊(duì)更該八個(gè)甲，每個(gè)甲頭八個(gè)兵”則該問(wèn)題中將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共有()A.(878)人B.(898)人C.人D.人6九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等問(wèn)各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問(wèn)五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種質(zhì)量單位)在這個(gè)問(wèn)題中，戊所得為()A.錢B.錢C.錢D.錢7.洛書(shū)，古稱龜書(shū)，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)，其各行各列及對(duì)角線點(diǎn)數(shù)之和皆為15.如圖，若從4個(gè)陰數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)，則能使這兩數(shù)與居中陽(yáng)數(shù)之和等于15的概率是()A.B.C.D.8(2019·合肥質(zhì)量檢測(cè))我國(guó)古代名著張丘建算經(jīng)中記載：今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭，令上方六尺，問(wèn)亭方幾何？大致意思：有一個(gè)正四棱錐下底邊長(zhǎng)為二丈，高三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺(tái)狀方亭，且正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為六尺，則該正四棱臺(tái)的體積是(注：1丈10尺)()A1 946立方尺B3 892立方尺C7 784立方尺D11 676立方尺9(2019·鄭州模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，垂心是三角形三條高線的交點(diǎn))依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線已知ABC的頂點(diǎn)B(1，0)，C(0，2)，ABAC，則ABC的歐拉線方程為()A2x4y30B2x4y30C4x2y30D2x4y3010據(jù)孫子算經(jīng)中記載，中國(guó)古代諸侯的等級(jí)從低到高分為男、子、伯、侯、公共五級(jí)現(xiàn)有每個(gè)級(jí)別的諸侯各一人，共五人要把80個(gè)橘子分完且每人都要分到橘子，級(jí)別每高一級(jí)就多分m個(gè)(m為正整數(shù))，若按這種方法分橘子，“公”恰好分得30個(gè)橘子的概率是()A.B.C.D.11(多選)(2019·四川資陽(yáng)模擬)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：AQI指數(shù)值05051100101150151200201300300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染如圖是某市10月1日20日AQI指數(shù)變化趨勢(shì)：下列敘述正確的是()A這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占C該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好D總體來(lái)說(shuō)，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好12(多選)(2019·湖北八校聯(lián)考)太極圖是一種優(yōu)美的對(duì)稱圖形如果一個(gè)函數(shù)的圖象能夠?qū)A的面積和周長(zhǎng)分成兩個(gè)相等的部分，我們稱這樣的函數(shù)為圓的“太極函數(shù)”下列命題中錯(cuò)誤的命題為()A對(duì)于任意一個(gè)圓，其對(duì)應(yīng)的“太極函數(shù)”不唯一B如果一個(gè)函數(shù)是兩個(gè)圓的“太極函數(shù)”，那么這兩個(gè)圓為同心圓C圓(x1)2(y1)24的一個(gè)“太極函數(shù)”為f(x)x33x23xD圓的“太極函數(shù)”的圖象均是中心對(duì)稱圖形13(多選)如圖1，直線EF將矩形紙ABCD分為兩個(gè)直角梯形ABFE和CDEF，將梯形CDEF沿邊EF翻折，如圖2，在翻折的過(guò)程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面說(shuō)法不正確的是()A存在某一位置，使得CD平面ABFEB存在某一位置，使得DE平面ABFEC在翻折的過(guò)程中，BF平面ADE恒成立D在翻折的過(guò)程中，BF平面CDEF恒成立二、填空題14某輛汽車每次加油都把油箱加滿，表中記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況加油時(shí)間加油量(升)加油時(shí)累計(jì)里程(千米)2018年10月1日1235 0002018年10月15日6035 600(注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程)在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為_(kāi)升15魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為4.若正方體的棱長(zhǎng)為2，則“牟合方蓋”的體積為_(kāi)16小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量f(x)與時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系f(x)某同學(xué)根據(jù)小菲擬合后的信息得到以下結(jié)論：隨著時(shí)間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低；9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%；26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%.其中正確結(jié)論的序號(hào)有_(注：請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))17.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗第八卷“商功”第五章撰述：“芻蕘(chú ráo)：倍下長(zhǎng)，加上長(zhǎng)，以廣乘之，又以高乘，用六歸之如屋脊：上斜下平”劉徽注曰：止斬方亭兩邊，合之即“芻甍”之形也即將方臺(tái)的兩邊切下來(lái)合在一起就是“芻甍”，是一種五面體(如圖)：矩形ABCD，棱EFAB，AB4，EF2，ADE和BCF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則此幾何體的表面積為_(kāi)，體積為_(kāi) 小題分類練(六)數(shù)學(xué)文化類1解析：選A.根據(jù)正弦定理，由c2sin A4sin C，可得ac4.結(jié)合B，可得a2c2b24，則SABC，故選A.2解析：選B.設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈有x個(gè)，大燈下綴4個(gè)小燈有y個(gè)，根據(jù)題意可得解得x120，y240，則燈球的總數(shù)為xy360，故這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為，故選B.3解析：選B.由題知2170，令2170k，則lg 2170lg k所以170lg 2lg k又lg 20.3，所以51lg k，即k1051，所以與最接近的數(shù)為1051.故選B.4解析：選B.由題意可知當(dāng)酒精含量閾值低于20時(shí)才可以開(kāi)車，結(jié)合分段函數(shù)建立不等式90e0.5x14<20，解得x>5.42，取整數(shù)，故為6個(gè)小時(shí)，故選B.5解析：選D.由題意可得將官、營(yíng)、陣、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵依次成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為8，公比也是8，所以將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共8848586878888(8984)(人)，故選D.6解析：選B.依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得分別為(a2d)錢，(ad)錢，a錢，(ad)錢，(a2d)錢由甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等，得a2dadaada2d，即a6d.又五人分五錢，則a2dadaada2d5a5，所以a1，則a2da2×().故選B.7解析：選D.從4個(gè)陰數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)，共有6種取法，其中滿足題意的取法有兩種；4，6和2，8，所以能使這2個(gè)數(shù)與居中陽(yáng)數(shù)之和等于15的概率P.故選D.8解析：選B.由題意可知正四棱錐的高為30，所截得正四棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為20，上底面邊長(zhǎng)為6.設(shè)棱臺(tái)的高OO1h，由PA1O1PAO可得，解得h21，可得正四棱臺(tái)體積V×21×(622026×20)3 892(立方尺)，故選B.9解析：選D.因?yàn)锽(1，0)，C(0，2)，所以線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，線段BC所在直線的斜率kBC2，則線段BC的垂直平分線的方程為y1×(x)，即2x4y30，因?yàn)锳BAC，所以ABC的外心、重心、垂心都在線段BC的垂直平分線上，所以ABC的歐拉線方程為2x4y30.故選D.10解析：選B.由題意可知等級(jí)從低到高的5個(gè)諸侯所分的橘子個(gè)數(shù)組成公差為m的等差數(shù)列，設(shè)“男”分得的橘子個(gè)數(shù)為a1，其前n項(xiàng)和為Sn，則S55a1m80，即a12m16，且a1，m均為正整數(shù)，若a12，則m7，此時(shí)a530，若a14，m6，此時(shí)a528，若a16，m5，此時(shí)a526，若a18，m4，此時(shí)a524，若a110，m3，此時(shí)a522，若a112，m2，此時(shí)a520，若a114，m1，此時(shí)a518，所以“公”恰好分得30個(gè)橘子的概率為.故選B.11解析：選ABD.對(duì)于A，20天中AQI指數(shù)值有10個(gè)低于100，10個(gè)高于100，其中位數(shù)略高于100，正確；對(duì)于B，20天中AQI指數(shù)值高于150的天數(shù)為5，即占總天數(shù)的，正確；對(duì)于C，該市10月的前4天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好，從第5天到第15天，空氣質(zhì)量越來(lái)越差，錯(cuò)誤；對(duì)于D，總體來(lái)說(shuō)，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量要好些，D正確12解析：選BD.對(duì)于A，圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條，因此它對(duì)應(yīng)的“太極函數(shù)”也有無(wú)數(shù)個(gè)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)兩圓的圓心在同一條直線上時(shí)，該直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為這兩個(gè)圓的“太極函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閒(x)x33x23x(x1)31，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)成中心對(duì)稱，又圓(x1)2(y1)24關(guān)于點(diǎn)(1，1)成中心對(duì)稱，故函數(shù)f(x)x33x23x是圓(x1)2(y1)24的一個(gè)“太極函數(shù)”，故C正確；對(duì)于D，如圖，過(guò)圓心C的“太極函數(shù)”的圖象不是中心對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤13解析：選ABD.在A中，因?yàn)樗倪呅蜠EFC是梯形，DECF，所以CD與EF相交，所以CD與平面ABFE相交，故A錯(cuò)誤；在B中，因?yàn)樗倪呅蜠EFC是梯形，DECD，所以DE與EF不垂直，所以不存在某一位置，使得DE平面ABFE，故B錯(cuò)誤；在C中，因?yàn)樗倪呅蜛BFE是梯形，AEBF，BF平面ADE，AE平面ADE，所以在翻折的過(guò)程中，BF平面ADE恒成立，故C正確；在D中，因?yàn)樗倪呅蜛BFE是梯形，ABBF，所以BF與FE不垂直，在翻折的過(guò)程中，BF平面CDEF不成立，故D錯(cuò)誤14解析：因?yàn)榈诙渭訚M油箱時(shí)加油量為60升，所以從第一次加油到第二次加油共用油60升，行駛了600千米，所以在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為10(升)答案：1015解析：若正方體的棱長(zhǎng)為2，則內(nèi)切球的半徑r1，所以正方體的內(nèi)切球的體積V球×13.又已知，所以V牟合方蓋×.答案：16解析：由函數(shù)解析式可知f(x)隨著x的增加而減少，故正確；當(dāng)1<x30時(shí)，f(x)x，則f(9)×90.35，即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故正確；f(26)×26>，故錯(cuò)誤答案：17解析：由題意知該五面體的表面積SS矩形ABCD2SADE2S梯形ABFE2×42××2×2××(24)×88.過(guò)F作FO平面ABCD，垂足為O，取BC的中點(diǎn)P，連接PF，過(guò)F作FQAB，垂足為Q，連接OQ.因?yàn)锳DE和BCF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)P(ABEF)1，PF，OQBC1，所以O(shè)F，采用分割的方法，分別過(guò)點(diǎn)F，E作與平面ABCD垂直的平面，這兩個(gè)平面把幾何體分割成三部分，如圖，包含一個(gè)三棱柱EMN­FQH，兩個(gè)全等的四棱錐：E­AMND，F(xiàn)­QBCH，所以這個(gè)幾何體的體積VVEMN­FQH2VF­QBCHSQFH×MQ2×S矩形QBCH×FO×2××22××1×2×.答案：88- 9 -