第2講三角恒等變換與解三角形A組夯基保分專練一、選擇題1已知sin()，<<，則cos 2的值為()ABCD解析：選C.因?yàn)閟in()，<<，<<，所以cos()<0，可得cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin ，cos 212sin21，故選C.2(2019·高考全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin Absin B4csin C，cos A，則()A6B5C4D3解析：選A.由題意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos A，得6.故選A.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，則sin B為()ABCD解析：選A.由bsin Basin Aasin C，且c2a，得ba，因?yàn)閏os B，所以sin B .4(一題多解)在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，則BC邊上的高等于()A1BCD2解析：選A.法一：因?yàn)閠anBAC3，所以sinBAC，cosBAC.由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC522×××9，所以BC3，所以SABCAB·AC·sinBAC×××，所以BC邊上的高h(yuǎn)1，故選A.法二：因?yàn)閠anBAC3，所以cosBAC<0，則BAC為鈍角，因此BC邊上的高小于，故選A.5.如圖，在ABC中，C，BC4，點(diǎn)D在邊AC上，ADDB，DEAB，E為垂足若DE2，則cos A等于()ABCD解析：選C.依題意得，BDAD，BDCABDA2A.在BCD中，×，即，由此解得cos A.6(多選)下列命題中，正確的是()A在ABC中，若A>B，則sin A>sin BB在銳角三角形ABC中，不等式sin A>cos B恒成立C在ABC中，若acos Abcos B0，則ABC必是等腰直角三角形D在ABC中，若B60°，b2ac，則ABC必是等邊三角形解析：選ABD.對于A，在ABC中，由正弦定理可得，所以sin A>sin Ba>bA>B，故A正確；對于B，在銳角三角形ABC中，A，B，且AB>，則>A>B>0，所以sin A>sincos B，故B正確；對于C，在ABC中，由acos Abcos B，利用正弦定理可得sin 2Asin 2B，得到2A2B或2A2B，故AB或AB，即ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對于D，在ABC中，若B60°，b2ac，由余弦定理可得，b2a2c22accos B，所以aca2c2ac，即(ac)20，解得ac.又B60°，所以ABC必是等邊三角形，故D正確故選ABD.二、填空題7(2019·濟(jì)南聯(lián)考改編)若tan(2)2，tan 3，則tan()_，tan _解析：因?yàn)閠an(2)2，tan 3，所以tan()tan(2)1.tan tan().答案：18已知a，b，c是ABC中角A，B，C的對邊，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，則c的取值范圍為_解析：由，得，所以c8cos A，因?yàn)?6b2c22bccos A，所以16b264cos2A16bcos2A，又b4，所以cos2A，所以c264cos2A64×164b.因?yàn)閎(4，6)，所以32<c2<40，所以4<c<2.答案：(4，2)9(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)檢測)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c成等比數(shù)列，cos(AC)cos B，延長BC至點(diǎn)D，若BD2，則ACD面積的最大值為_解析：法一：由題意知b2ac，由正弦定理得sin2Bsin Asin C，又由已知，得cos(AC)cos(AC)，可得cos Acos C，得sin2Bcos B，所以cos2Bcos B0，解得cos B或cos B(舍去)，所以B60°，再由題得cos(AC)1，則AC0，即AC，則ac，所以ABC為正三角形，則ACD120°，ACb，CD2b，故SACD×b×(2b)×，當(dāng)且僅當(dāng)b2b，即b1時(shí)取等號(hào)故填.法二：由題意知b2ac，且cos(AC)cos(AC)，即cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C，即cos Acos C，由余弦定理得·，整理得b4(a2c2)2b4，所以a2c20，即ac，又b2ac，所以abc，即ABC為正三角形，所以SACDSABDSABC×2×c×c2(c1)2，當(dāng)c1時(shí)取等號(hào)，故填.答案：三、解答題10(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2c2b2abcos Aa2cos B.(1)求角B；(2)若b2，tan C，求ABC的面積解：(1)因?yàn)閍2c2b2abcos Aa2cos B，所以由余弦定理，得2accos Babcos Aa2cos B，又a0，所以2ccos Bbcos Aacos B，由正弦定理，得2sin Ccos Bsin Bcos Asin Acos Bsin(AB)sin C，又C(0，)，sin C>0，所以cos B.因?yàn)锽(0，)，所以B.(2)由tan C，C(0，)，得sin C，cos C，所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C××.由正弦定理，得a6，所以ABC的面積為absin C×6×2×6.11(2019·武漢模擬)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A2B，cos B.(1)求sin C的值；(2)若角A的平分線AD的長為，求b的值解：(1)由cos B及0<B<，得sin B，又A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B2××，cos Acos 2B2cos2B1.故sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B××.(2)由題意得，ADCBBACBAC(如圖)，所以sinADC.在ADC中，即，AC，故b.12(2019·高考天津卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bc2a，3csin B4asin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B，又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.又因?yàn)閎c2a，得到ba，ca.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)可得sin B，從而sin 2B2sin Bcos B，cos 2Bcos2Bsin2B，故sinsin 2Bcoscos 2Bsin ××.B組大題增分專練1(2019·江西七校第一次聯(lián)考)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)(1)求角C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解：(1)由a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)及正弦定理，得a(ab)(cb)(cb)，即a2b2c2ab.所以cos C，又C(0，)，所以C.(2)由(1)知a2b2c2ab，所以(ab)23abc27，又Sabsin Cab，所以ab6，所以(ab)273ab25，ab5.所以ABC的周長為abc5.2(一題多解)(2019·福州模擬)如圖，在ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，cosBAM，cosAMC.(1)求B的大?。?2)若AM，求AMC的面積解：(1)由cosBAM，得sinBAM，由cosAMC，得sinAMC.又AMCBAMB，所以cosBcos(AMCBAM)cosAMCcosBAMsinAMCsinBAM××，又B(0，)，所以B.(2)法一：由(1)知B，在ABM中，由正弦定理，得BM.因?yàn)镸是邊BC的中點(diǎn)，所以MC.故SAMCAM·MC·sinAMC×××.法二：由(1)知B，在ABM中，由正弦定理，得BM.因?yàn)镸是邊BC的中點(diǎn)，所以SAMCSABM，所以SAMCSABMAM·BM·sinBMA×××.3(2019·昆明市質(zhì)量檢測)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2(cacos B)b.(1)求角A；(2)若a2，求ABC面積的取值范圍解：(1)由2(cacos B)b及正弦定理得2(sin Csin Acos B)sin B，所以2sin(AB)2sin Acos Bsin B，即2cos Asin Bsin B，因?yàn)閟in B0，所以cos A，又0<A<，所以A.(2)因?yàn)閍2，由正弦定理得b4sin B，c4sin C，所以SABCbcsin Abc，所以SABC4sin Bsin C，因?yàn)镃(AB)B，所以sin Csin，所以SABC4sin Bsin4sin B，即SABC2sin Bcos B2sin2Bsin 2Bcos 2B2sin.因?yàn)?<B<，所以<2B<，所以<sin1，所以0<SABC2.即ABC面積的取值范圍為(0，24已知在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，AB邊上的高h(yuǎn)c.(1)若ABC為銳角三角形，且cos A，求角C的正弦值；(2)若C，M，求M的值解：(1)作CDAB，垂足為D，因?yàn)锳BC為銳角三角形，且cos A，所以sin A，tan A，所以AD，BDABAD，所以BC，由正弦定理得sinACB.(2)因?yàn)镾ABCc×cabsinACBab，所以c2ab，又a2b2c22abcosACBab，所以a2b2abc2，所以a2b2c2abc2ab×ab2ab，所以M2. - 9 -