第2講空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系做真題1(2019·高考全國(guó)卷)設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是()A內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行B內(nèi)有兩條相交直線與平行C，平行于同一條直線D，垂直于同一平面解析：選B.對(duì)于A，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線互相平行時(shí)，與可能相交，所以A不正確；對(duì)于B，根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確；對(duì)于C，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對(duì)于D，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，如長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面，但它們是相交的，所以D不正確綜上可知選B.2(2019·高考全國(guó)卷)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()ABMEN，且直線BM，EN是相交直線BBMEN，且直線BM，EN是相交直線CBMEN，且直線BM，EN是異面直線DBMEN，且直線BM，EN是異面直線解析：選B.取CD的中點(diǎn)O，連接ON，EO，因?yàn)镋CD為正三角形，所以EOCD，又平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，所以EO平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則EO，ON1，所以EN2EO2ON24，得EN2.過(guò)M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP，CP，所以BM2MP2BP2()2()2227，得BM，所以BMEN.連接BD，BE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以N為BD的中點(diǎn)，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線，選B.3(2018·高考全國(guó)卷)在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()ABCD解析：選C.如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1OM，則MOD為異面直線AD1與DB1所成角因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以O(shè)MAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C.4(2019·高考全國(guó)卷)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn). (1)證明：MN平面C1DE；(2)求二面角A­MA1­N的正弦值解：(1)證明：連接B1C，ME.因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以MEB1C，且MEB1C.又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以NDA1D.由題設(shè)知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，MNED.又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，2)，N(1，0，2)，(0，0，4)，(1，2)，(1，0，2)，(0，3，0)設(shè)m(x，y，z)為平面A1MA的法向量，則所以可取m(，1，0)設(shè)n(p，q，r)為平面A1MN的法向量，則所以可取n(2，0，1)于是cosm，n，所以二面角A­MA1­N的正弦值為.山東省學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見(jiàn)1點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系借助長(zhǎng)方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理(四個(gè)公理、一個(gè)定理)2空間位置的判定與說(shuō)明以立體幾何的上述定義，公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定(四個(gè)判定定理、四個(gè)性質(zhì)定理)能運(yùn)用定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題空間線面位置關(guān)系的判定考法全練1(多選)下列命題正確的是()A梯形一定是平面圖形B若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行C兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面D若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合解析：選AC.對(duì)于A，由于兩條平行直線確定一個(gè)平面，所以梯形可以確定一個(gè)平面，故A正確；對(duì)于B，兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行或異面或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面，故C正確；對(duì)于D，若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交或重合，故D錯(cuò)誤2(2019·江西七校第一次聯(lián)考)設(shè)m，n是空間中兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是()A若mn，n，則mB若m，n，則mnC若，m，則mD若m，n，m，n，則解析：選C.若mn，n，則m或m，所以選項(xiàng)A不正確；若m，n，則mn或m與n異面，所以選項(xiàng)B不正確；由面面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)及判定知選項(xiàng)C是正確的；若m，n，m，n，則或與相交，所以選項(xiàng)D不正確故選C.3(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)已知兩個(gè)平面相互垂直，下列命題中，一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面；過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面其中正確的命題是()ABCD解析：選C.構(gòu)造正方體ABCD­A1B1C1D1，如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，BD平面ABCD，但A1D與BD不垂直，故錯(cuò)；，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，l是平面ADD1A1內(nèi)的任意一條直線，l與平面ABCD內(nèi)同AB平行的所有直線垂直，故正確；，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，但A1D與平面ABCD不垂直，故錯(cuò)；，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，且平面ADD1A1平面ABCDAD，過(guò)交線AD上的點(diǎn)作交線的垂線l，則l可能與另一平面垂直，也可能與另一平面不垂直，故錯(cuò)故選C.4.(2019·福建省質(zhì)量檢查)如圖，AB是圓錐SO的底面圓O的直徑，D是圓O上異于A，B的任意一點(diǎn)，以AO為直徑的圓與AD的另一個(gè)交點(diǎn)為C，P為SD的中點(diǎn)現(xiàn)給出以下結(jié)論：SAC為直角三角形；平面SAD平面SBD；平面PAB必與圓錐SO的某條母線平行其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3解析：選C.如圖，連接OC，因?yàn)锳O為圓的直徑，所以ACOC，因?yàn)镾O垂直于底面圓O，AC底面圓O，所以ACSO，因?yàn)镾OOCO，所以AC平面SOC.又SC平面SOC，所以ACSC，所以SAC為直角三角形，故正確由于點(diǎn)D是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，所以平面SAD不能總垂直于平面SBD，故錯(cuò)誤，連接DO并延長(zhǎng)交圓O于E，連接SE，PO，因?yàn)镻為SD的中點(diǎn)，O為DE的中點(diǎn)，所以O(shè)PSE.又OP平面PAB，SE平面PAB，所以SE平面PAB，故正確，故選C.5(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知兩條不同的直線m，n，兩個(gè)不重合的平面，給出下面五個(gè)命題：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；m，m；，mn，mn.其中正確命題的序號(hào)是_解析：命題，顯然正確；命題，m，n可能異面，故為假命題；命題，可能n，故為假命題；命題，由線面垂直、線面平行的性質(zhì)以及面面垂直的判定知為真命題；命題，由mn，m，得n，又，所以n，故為真命題綜上，正確的命題為.答案：判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的3種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷(2)借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷(3)借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定 空間中平行、垂直關(guān)系的證明典型例題 由四棱柱ABCD­A1B1C1D1截去三棱錐C1­B1CD1后得到的幾何體如圖所示四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD.(1)證明：A1O平面B1CD1；(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD1.【證明】(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1，由于ABCD­A1B1C1D1為四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因?yàn)锳CBD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)，所以EMBD.又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD.因?yàn)锽1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1.又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM.又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過(guò)判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖，在四棱錐P­ABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，PAAB，CDAD，BCCDAD，E為AD的中點(diǎn)(1)求證：PACD.(2)求證：平面PBD平面PAB.證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，又因?yàn)镻AAB，所以PA平面ABCD，所以PACD.(2)由已知，BCED，且BCED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，又CDAD，BCCD，所以四邊形BCDE是正方形，連接CE(圖略)，所以BDCE，又因?yàn)锽CAE，BCAE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以CEAB，則BDAB.由(1)知PA平面ABCD，所以PABD，又因?yàn)镻AABA，則BD平面PAB，且BD平面PBD，所以平面PBD平面PAB.2.如圖，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)(1)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值解：(1)如圖，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)1，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)在A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)D1BC1.又因?yàn)镺D1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.所以當(dāng)1時(shí)，BC1平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O.因此BC1D1O，同理AD1DC1.因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以1，即1.平面圖形的折疊問(wèn)題典型例題 如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，ABBC.把BAC沿AC折起到PAC的位置，使得P點(diǎn)在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱PC，CD的中點(diǎn)(1)求證：平面OEF平面PAD；(2)求證：CD平面POF；(3)若AD3，CD4，AB5，求三棱錐E­CFO的體積【解】(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，所以PO平面ADC，所以POAC.由題意知O是AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)EPA，又OE平面PAD，PA平面PAD，所以O(shè)E平面PAD.同理，OF平面PAD.又OEOFO，OE，OF平面OEF，所以平面OEF平面PAD.(2)證明：因?yàn)镺FAD，ADCD，所以O(shè)FCD.又PO平面ADC，CD平面ADC，所以POCD.又OFPOO，所以CD平面POF.(3)因?yàn)锳DC90°，AD3，CD4，所以SACD×3×46，而點(diǎn)O，F(xiàn)分別是AC，CD的中點(diǎn)，所以SCFOSACD，由題意可知ACP是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，所以O(shè)P，即點(diǎn)P到平面ACD的距離為，又E為PC的中點(diǎn)，所以E到平面CFO的距離為，故VE­CFO××.平面圖形折疊問(wèn)題的求解方法(1)解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口(2)在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)，將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1­BCDE.(1)證明：CD平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí)，四棱錐A1­BCDE的體積為36，求a的值解：(1)證明：在題圖1中，因?yàn)锳BBCADa，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以BEAC.即在題圖2中，BEA1O，BEOC，從而B(niǎo)E平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱錐A1­BCDE的高由題圖1知，A1OABa，平行四邊形BCDE的面積SBE·OCa2.從而四棱錐A1­BCDE的體積為V×S×A1O×a2×aa3，由a336，得a6.一、選擇題1(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測(cè))平面外有兩條直線a，b，它們?cè)谄矫鎯?nèi)的投影分別是直線m，n，則下列命題正確的是()A若ab，則mnB若mn，則abC若mn，則abD若m與n相交，則a與b相交或異面解析：選D.對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)直線a，b相交，且所在平面與平面垂直時(shí)，直線m，n重合，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，不妨在正方體ABCD­A1B1C1D1中考慮，取面對(duì)角線AB1，AD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，AD，記為m，n，此時(shí)mn，但a與b不垂直，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，不妨在正方體ABCD­A1B1C1D1中考慮，取面對(duì)角線AB1，CD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，CD，記為m，n，此時(shí)mn，但a與b不平行，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若m與n相交，則a與b不可能平行，只能是相交或異面，故D正確，選D.2(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，直線A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為()A1BCD解析：選D.由題意畫(huà)出圖形如圖所示，取AD1的中點(diǎn)為O，連接OC1，OA1，易知OA1平面ABC1D1，所以A1C1O是直線A1C1與平面ABC1D1所成的角，在RtOA1C1 中，A1C12OA1，所以sinA1C1O.故選D.3如圖，在三棱錐D­ABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：選C.因?yàn)锳BCB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故選C.4(2019·江西省五校協(xié)作體試題)如圖，圓錐的底面直徑AB4，高OC2，D為底面圓周上的一點(diǎn)，且AOD，則直線AD與BC所成的角為()ABCD解析：選B.如圖，過(guò)點(diǎn)O作OEAB交底面圓于E，分別以O(shè)E，OB，OC所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳OD，所以BOD，則D(，1，0)，A(0，2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，(，3，0)，(0，2，2)，所以cos，則直線AD與BC所成的角為，故選B.5.如圖，在矩形ABCD中，AB，BC1，將ACD沿AC折起，使得D折起后的位置為D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面體D1ABC的四個(gè)面中，有n對(duì)平面相互垂直，則n等于()A2B3C4D5解析：選B.如圖，設(shè)D1在平面ABC上的射影為E，連接D1E，則D1E平面ABC，因?yàn)镈1E平面ABD1，所以平面ABD1平面ABC.因?yàn)镈1E平面ABC，BC平面ABC，所以D1EBC，又ABBC，D1EABE，所以BC平面ABD1，又BC平面BCD1，所以平面BCD1平面ABD1，因?yàn)锽C平面ABD1，AD1平面ABD1，所以BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，所以AD1平面BCD1，又AD1平面ACD1，所以平面ACD1平面BCD1.所以共有3對(duì)平面互相垂直故選B.6(多選)如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是()A平面PB1D平面ACD1BA1P平面ACD1C異面直線A1P與AD1所成角的范圍是D三棱錐D1­APC的體積不變解析：選ABD.對(duì)于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)，有DB1平面ACD1，又DB1平面PB1D，則平面PB1D平面ACD1，故A正確；對(duì)于B，連接A1B，A1C1，易證明平面BA1C1平面ACD1，又A1P平面BA1C1，所以A1P平面ACD1，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)P與線段BC1的兩端點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最小值，當(dāng)P與線段BC1的中點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最大值，故A1P與AD1所成角的范圍是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，V三棱錐D1­APCV三棱錐C­AD1P，因?yàn)辄c(diǎn)C到平面AD1P的距離不變，且AD1P的面積不變，所以三棱錐C­AD1P的體積不變，故D正確故選ABD.二、填空題7(2019·沈陽(yáng)市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，下面結(jié)論中正確的是_(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；異面直線AC與A1B成60°角；AC1與底面ABCD所成角的正切值是.解析：對(duì)于，BDB1D1，BD平面CB1D1，B1D1平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，正確；對(duì)于，因?yàn)锳A1平面A1B1C1D1，所以AA1B1D1，連接A1C1，又A1C1B1D1，所以B1D1平面AA1C1，所以B1D1AC1，同理B1CAC1，所以AC1平面CB1D1，正確；對(duì)于，易知ACA1C1，異面直線AC與A1B所成角為BA1C1，連接BC1，又A1C1B為等邊三角形，所以BA1C160°，異面直線AC與A1B成60°角，正確；對(duì)于，AC1與底面ABCD所成角的正切值是，故不正確故正確的結(jié)論為.答案：8(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)A關(guān)于平面BDC1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，則M到平面A1B1C1D1的距離為_(kāi)解析：法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，正方體的棱長(zhǎng)為1，在正方體ABCD­A1B1C1D1下面補(bǔ)一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A2B2C2D2，連接A2C2，B2D2，AC2，設(shè)B2D2A2C2E，連接CE交AC2于M(即A關(guān)于平面BDC1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn))，易得M，所以點(diǎn)M到平面A1B1C1D1的距離為1.法二：依題意，點(diǎn)M在平面ACC1A1上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由已知得A，C1，直線OC1的方程為yx，其斜率為，因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于直線OC1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，設(shè)M(a，b)，所以，解得，所以點(diǎn)M到直線A1C1的距離為1，所以點(diǎn)A關(guān)于平面BDC1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M到平面A1B1C1D1的距離為.答案：9在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，ABAD4，AA12.過(guò)點(diǎn)A1作平面與AB，AD分別交于M，N兩點(diǎn)，若AA1與平面所成的角為45°，則截面A1MN面積的最小值是_，此時(shí)AM_解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEMN，連接A1E，因?yàn)锳1A平面ABCD，所以A1AMN，所以MN平面A1AE，所以A1EMN，平面A1AE平面A1MN，所以AA1E為AA1與平面A1MN所成的角，所以AA1E45°，在RtA1AE中，因?yàn)锳A12，所以AE2，A1E2，在RtMAN中，由射影定理得ME·ENAE24，由基本不等式得MNMEEN24，當(dāng)且僅當(dāng)MEEN，即E為MN的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以截面A1MN面積的最小值為×4×24.因?yàn)锳M2AN2MN2，所以AM2.答案：42三、解答題10.如圖，在三棱錐A­BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD、BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明：(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以EFAB.又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD且BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又因?yàn)锳BAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC.11.如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)求證：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.證明：(1)如圖，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，BG.因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，所以GFDE且GFDE.因?yàn)锳B平面ACD，DE平面ACD，所以ABDE，所以GFAB.又因?yàn)锳BDE，所以GFAB.所以四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG.因?yàn)锳F平面BCE，BG平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因?yàn)锳CD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，所以AFCD.因?yàn)镈E平面ACD，AF平面ACD，所以DEAF.又CDDED，所以AF平面CDE.因?yàn)锽GAF，所以BG平面CDE.又因?yàn)锽G平面BCE，所以平面BCE平面CDE.12如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體(1)求證：AB平面ADC；(2)若AD1，AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角的正切值為，求點(diǎn)B到平面ADE的距離解：(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又DCBD，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因?yàn)锳B平面ABD，所以DCAB.又因?yàn)檎郫B前后均有ADAB，且DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知DC平面ABD，所以AC在平面ABD內(nèi)的正投影為AD，即CAD為AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成的角依題意知tan CAD，因?yàn)锳D1，所以DC.設(shè)ABx(x0)，則BD，易知ABDDCB，所以，即，解得x，故AB，BD，BC3.由于AB平面ADC，所以ABAC，又E為BC的中點(diǎn)，所以由平面幾何知識(shí)得AE，同理DE，所以SADE×1× .因?yàn)镈C平面ABD，所以VA­BCDCD·SABD.設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d，則d·SADEVB­ADEVA­BDEVA­BCD，所以d，即點(diǎn)B到平面ADE的距離為. - 19 -