《（課標(biāo)通用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 5 第五節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（一）精練 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)通用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 5 第五節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（一）精練 理（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(一)
A組 基礎(chǔ)題組
1.(2018廣東廣州一模,12)設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'(x),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)+f(-x)=2x2,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)+1<2x,若f(a+1)≤f(-a)+2a+1,則實(shí)數(shù)a的最小值為( )
A.-12 B.-1 C.-32 D.-2
答案 A 設(shè)g(x)=f(x)-x2(x∈R),則g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-2x2=0,∴g(x)是奇函數(shù).當(dāng)x<0時(shí),g'(x)=f'(x)-2x<-1,∴g(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),∴g(x)在R上是減函
2、數(shù).
∵f(a+1)≤f(-a)+2a+1,∴f(a+1)-a2-2a-1≤f(-a)-(-a)2,即f(a+1)-(a+1)2≤f(-a)-(-a)2,即g(a+1)≤g(-a),∴a+1≥-a,即a≥-12.故選A.
2.已知a,b∈R,直線y=ax+b+π2與函數(shù)f(x)=tanx的圖象在x=-π4處相切,設(shè)g(x)=ex+bx2+a,若在區(qū)間[1,2]上,不等式m≤g(x)≤m2-2恒成立,則實(shí)數(shù)m( )
A.有最小值-e B.有最小值e
C.有最大值e D.有最大值e+1
答案 D ∵f(x)=tanx=sinxcosx,
∴f'(x)=cos2x-sinx(-sinx
3、)cos2x=1cos2x,∴a=f'-π4=2,又點(diǎn)-π4,-1在直線y=ax+b+π2上,∴-1=2×-π4+b+π2,得b=-1,∴g(x)=ex-x2+2,g'(x)=ex-2x,令h(x)=ex-2x,則h'(x)=ex-2,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),h'(x)≥h'(1)=e-2>0,∴g'(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,∴g'(x)≥g'(1)=e-2>0,∴g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,∴m≤g(x)min=g(1)=e+1,m2-2≥g(x)max=g(2)=e2-2,解得m≤-e或e≤m≤e+1,∴m的最大值為e+1,無(wú)最小值,故選D.
3.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文,21,12分
4、)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.
(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)a≥1e時(shí),f(x)≥0.
解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f'(x)=aex-1x.由題設(shè)知,f'(2)=0,所以a=12e2.
從而f(x)=12e2ex-lnx-1,f'(x)=12e2ex-1x.
當(dāng)02時(shí),f'(x)>0.
所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)證明:當(dāng)a≥1e時(shí),f(x)≥exe-lnx-1.
設(shè)g(x)=exe-lnx-1,則g'(x)=exe-1
5、x.
當(dāng)01時(shí),g'(x)>0.
所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn).
故當(dāng)x>0時(shí),g(x)≥g(1)=0.
因此,當(dāng)a≥1e時(shí),f(x)≥0.
4.(2018貴州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)=ax-ex(a∈R),g(x)=lnxx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)?x0∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-ex成立,求a的取值范圍.
解析 (1)f'(x)=a-ex,x∈R.
當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,f(x)在R上單調(diào)遞減;
當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0得x=lna.
由f'(x)>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞
6、,lna);
由f'(x)<0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(lna,+∞).
(2)?x0∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-ex,
則ax≤lnxx,即a≤lnxx2.
設(shè)h(x)=lnxx2,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤lnxx2max,
由h'(x)=1-2lnxx3,令h'(x)=0,則x=e.
當(dāng)x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)變化時(shí),h'(x),h(x)的變化情況如下表:
x
(0,e)
e
(e,+∞)
h'(x)
+
0
-
h(x)
單調(diào)遞增
極大值12e
單調(diào)遞減
由上表可知,當(dāng)x=e時(shí),函數(shù)h(x)有極大值,也為最大值,最大值為12e.所以a≤12e
7、.
B組 提升題組
1.已知函數(shù)f(x)=exx.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P2,e22處的切線方程;
(2)證明:f(x)>2(x-lnx).
解析 (1)因?yàn)閒(x)=exx,
所以f'(x)=ex·x-exx2=ex(x-1)x2,f'(2)=e24,
又切點(diǎn)為2,e22,所以切線方程為y-e22=e24(x-2),
即e2x-4y=0.
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-2(x-lnx)=exx-2x+2lnx,x∈(0,+∞),
則g'(x)=ex(x-1)x2-2+2x=(ex-2x)(x-1)x2,x∈(0,+∞).
設(shè)h(x)=ex-2x,x∈(0,+∞
8、),
則h'(x)=ex-2,令h'(x)=0,則x=ln2.
當(dāng)x∈(0,ln2)時(shí),h'(x)<0;
當(dāng)x∈(ln2,+∞)時(shí),h'(x)>0.
所以h(x)min=h(ln2)=2-2ln2>0,故h(x)=ex-2x>0.
令g'(x)=(ex-2x)(x-1)x2=0,則x=1.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)<0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)>0.
所以g(x)min=g(1)=e-2>0,故g(x)=f(x)-2(x-lnx)>0,從而有f(x)>2(x-lnx).
2.(2019河南開封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+b.
(1)討論函數(shù)f(sinx
9、)在-π2,π2內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,有極值時(shí)求出極值;
(2)記f0(x)=x2-a0x+b0,求函數(shù)|f(sinx)-f0(sinx)|在-π2,π2上的最大值D;
(3)在(2)中,取a0=b0=0,求z=b-a24滿足條件D≤1時(shí)的最大值.
解析 (1)f(sinx)=sin2x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b,
-π20,-2<2sinx<2.
①a≤-2,b∈R時(shí),函數(shù)f(sinx)單調(diào)遞增,無(wú)極值.
②a≥2,b∈R時(shí),函數(shù)f(
10、sinx)單調(diào)遞減,無(wú)極值.
③對(duì)于-2
（課標(biāo)通用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 5 第五節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（一）精練 理
