規(guī)范解答集訓(xùn)(六)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式(建議用時：40分鐘)1已知函數(shù)f(x)ax1xln x的圖象在點(1，f(1) )處的切線與直線xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若對于x1，x2(0，)，m(x1x2)，求實數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)ax1xln x的導(dǎo)數(shù)為f(x)a1ln x，可得yf(x)的圖象在點(1，f(1) )處的切線斜率為a1，由切線與直線xy0平行，可得a11，即a2，f(x)2x1xln x，f(x)1ln x，當(dāng)0<x<e時f(x)>0，當(dāng)x>e時，f(x)0，所以f(x)在(0，e)上遞增，在(e，)上遞減，可得f(x)在xe處取得極大值為f(e)e1，無極小值(2)設(shè)x1>x2>0，若m(x1x2)，可得f(x1)f(x2)mxmx，即f(x1)mxf(x2)mx，設(shè)g(x)f(x)mx2在(0，)上為增函數(shù)，即g(x)1ln x2mx0在(0，)上恒成立，可得2m在(0，)上恒成立，設(shè)h(x)，所以h(x)，h(x)在(0，e2)上遞減，在(e2，)上遞增，h(x)在xe2處取得極小值為h(e2)，所以m.2(2019·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)aexsin x，其中aR，e為自然對數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)a1時，證明：對x0，)，f(x)1；(2)若函數(shù)f(x)在上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)exsin x，于是，f(x)excos x.又因為當(dāng)x(0，)時，ex>1且cos x1.故當(dāng)x(0，)時，excos x>0，即f(x)>0. 所以，函數(shù)f(x)exsin x為(0，)上的增函數(shù)，于是，f(x)f(0)1.因此，對x0，)，f(x)1.(2)法一：由題意f(x)在上存在極值，則f(x)aexcos x在上存在零點，當(dāng)a(0,1)時，f(x)aexcos x為上的增函數(shù)，注意到f(0)a1<0，fa·e>0，所以，存在唯一實數(shù)x0，使得f(x0)0成立. 于是，當(dāng)x(0，x0)時，f(x)<0，f(x)為(0，x0)上的減函數(shù)；當(dāng)x時，f(x)>0，f(x)為上的增函數(shù)；所以x0為函數(shù)f(x)的極小值點； 當(dāng)a1時，f(x)aexcos xexcos x>0在x上成立，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以f(x)在上沒有極值；當(dāng)a0時，f(x)aexcos x<0在x上成立，所以f(x)在上單調(diào)遞減，所以f(x)在上沒有極值， 綜上所述，使f(x)在上存在極值的a的取值范圍是(0,1)法二：由題意，函數(shù)f(x)在上存在極值，則f(x)aexcos x在上存在零點即a在上存在零點. 設(shè)g(x) ，x，則由單調(diào)性的性質(zhì)可得g(x)為上的減函數(shù)即g(x)的值域為(0,1)，所以，當(dāng)實數(shù)a(0,1)時，f(x)aexcos x在上存在零點下面證明，當(dāng)a(0,1)時，函數(shù)f(x)在上存在極值事實上，當(dāng)a(0,1)時，f(x)aexcos x為上的增函數(shù)，注意到f(0)a1<0，fa·e>0，所以，存在唯一實數(shù)x0，使得f(x0)0成立于是，當(dāng)x(0，x0)時，f(x)<0，f(x)為(0，x0)上的減函數(shù)；當(dāng)x時，f(x)>0，f(x)為上的增函數(shù)；即x0為函數(shù)f(x)的極小值點綜上所述，當(dāng)a(0,1)時，函數(shù)f(x)在上存在極值3(2019·日照二模)已知函數(shù)f(x)kex(x1)x2，kR.(1)當(dāng)k1時，求f(x)的最大值；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求k的取值范圍解(1)當(dāng)k1時，f(x)ex(x1)x2，f(x)exxxx(ex1)，當(dāng)x0時，f(x)0，當(dāng)x0時，f(x)0，所以f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減，所以f(x)在x0時取到最大值，最大值為f(0)1.(2)f(x)kexxxx(kex1)，當(dāng)k0時，f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減，又因為f(0)k0，f(1)0，f(2k1)ke2k1(2k2)(2k1)2k(2k2)(2k1)20，所以f(x)有兩個零點；當(dāng)k0時，f(x)x2，所以此時f(x)只有一個零點；當(dāng)k1時，f(x)exxxx(ex1)0，f(x)在(，)上單調(diào)遞增，f(x)不存在兩個零點；當(dāng)0k1時，ln ln k0，f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，在(0，ln k)上單調(diào)遞減，在(ln k，)上單調(diào)遞增，且f(0)k0，f(x)不存在兩個零點；當(dāng)k1時，ln ln k0，f(x)在(，ln k)上單調(diào)遞增，在(ln k,0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增，且f(ln k)0，f(x)不存在兩個零點綜上，當(dāng)f(x)有兩個零點時，k的取值范圍是(，0)4已知函數(shù)f(x)xln(ax1)(a0)(1)若f(x)0，求a的值；(2)已知某班共有n人，記這n人生日至少有兩人相同的概率為P(n)，n365，將一年看作365天求P(n)的表達(dá)式；估計P(60)的近似值(精確到0.01)參考數(shù)值：e0.007 83，e0.034 87，e0.118 01.解(1)由題得，當(dāng)a0時，f(x)的定義域為.當(dāng)a0時，f(x)的定義域為，又f(0)0，且f(x)0，所以x0是f(x)的極小值點，故f(0)0.而f(x)1，于是1a0，解得a1.下面證明當(dāng)a1時，f(x)0.當(dāng)a1時，f(x)xln(x1)，f(x)1，x1，所以當(dāng)x0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1x0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)f(0)0，即a1符合題意綜上，a1.(2)由于n人生日都不相同的概率為，故n人生日至少有兩人相同的概率為P(n)1.由(1)可得當(dāng) x1時，xln(x1)0，即ln(1x)x，當(dāng)且僅當(dāng)x0時取等號，由得P(60)1××××1.記t，則ln tlnlnln，即te.由參考數(shù)值得te0.007 9，于是P(60)1t10.007 90.992 1，故P(60)0.99.- 5 -