考點規(guī)范練41直線的傾斜角與斜率、直線的方程一、基礎鞏固1.經過兩點A(4,2y+1),B(2,-3)的直線的傾斜角為34,則y=()A.-1B.-3C.0D.2答案B解析tan34=2y+1-(-3)4-2=2y+42=y+2,因此y+2=-1,y=-3.2.已知直線l:ax+y-2+a=0在x軸和y軸上的截距相等,則a的值是()A.1B.-1C.2或1D.-2或1答案C解析當a=0時,直線方程為y=2,顯然不符合題意,當a0時,令y=0,得到直線在x軸上的截距是2-aa,令x=0時,得到直線在y軸上的截距為2-a,根據(jù)題意得2-aa=2-a,解得a=2或a=1,故選C.3.已知直線l的斜率為k(k0),它在x軸、y軸上的截距分別為k和2k,則直線l的方程為()A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0C.2x+y-4=0D.2x+y+4=0答案D解析依題意得直線l過點(k,0)和(0,2k),所以其斜率k=2k-00-k=-2,由點斜式得直線l的方程為y=-2(x+2),化為一般式是2x+y+4=0.4.直線l經過點A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率的取值范圍是()A.-1,15B.-,12(1,+)C.(-,1)15,+D.(-,-1)12,+答案D解析設直線的斜率為k,如圖,過定點A的直線經過點B時,直線l在x軸上的截距為3,此時k=-1;過定點A的直線經過點C時,直線l在x軸上的截距為-3,此時k=12,滿足條件的直線l的斜率范圍是(-,-1)12,+.5.一次函數(shù)y=-mnx+1n的圖象同時經過第一、第二、第四象限的必要不充分條件是()A.m>1,且n>1B.mn>0C.m>0,且n<0D.m>0,且n>0答案B解析因為y=-mnx+1n經過第一、二、四象限,所以-mn<0,1n>0,即m>0,n>0,但此為充要條件,因此,其必要不充分條件為mn>0,故選B.6.設A,B是x軸上的兩點,點P的橫坐標為2,且|PA|=|PB|,若直線PA的方程為x-y+1=0,則直線PB的方程是()A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0D.2x+y-7=0答案A解析易知A(-1,0).|PA|=|PB|,P在AB的中垂線即x=2上.B(5,0).PA,PB關于直線x=2對稱,kPB=-1.lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.7.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三點共線,則ab的最小值為. 答案16解析根據(jù)A(a,0),B(0,b)確定直線的方程為xa+yb=1,又C(-2,-2)在該直線上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根據(jù)基本不等式ab=-2(a+b)4ab,從而ab0(舍去)或ab4,故ab16,當且僅當a=b=-4時取等號.即ab的最小值為16.8.一條直線經過點A(2,-3),并且它的傾斜角等于直線y=13x的傾斜角的2倍,則這條直線的一般式方程是. 答案3x-y-33=0解析因為直線y=13x的傾斜角為30°,所以所求直線的傾斜角為60°,即斜率k=tan60°=3.又該直線過點A(2,-3),故所求直線為y-(-3)=3(x-2),即3x-y-33=0.9.設直線l的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根據(jù)下列條件分別求m的值.(1)直線l經過定點P(2,-1);(2)直線l在y軸上的截距為6;(3)直線l與y軸平行;(4)直線l與y軸垂直.解(1)由于點P在直線l上,即點P的坐標(2,-1)適合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把點P的坐標(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=17.(2)令x=0,得y=2m-62m2+m-1,根據(jù)題意可知2m-62m2+m-1=6,解得m=-13或m=0.(3)直線與y軸平行,則有m2-2m-30,2m2+m-1=0,解得m=12.(4)直線與y軸垂直,則有m2-2m-3=0,2m2+m-10,解得m=3.10.已知直線l過點P(0,1),且與直線l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分別交于點A,B(如圖).若線段AB被點P平分,求直線l的方程.解點B在直線l2:2x+y-8=0上,可設點B的坐標為(a,8-2a).點P(0,1)是線段AB的中點,點A的坐標為(-a,2a-6).又點A在直線l1:x-3y+10=0上,將A(-a,2a-6)代入直線l1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.點B的坐標是(4,0).因此,過P(0,1),B(4,0)的直線l的方程為x4+y1=1,即x+4y-4=0.二、能力提升11.若直線ax+by=ab(a>0,b>0)過點(1,1),則該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為()A.1B.2C.4D.8答案C解析直線ax+by=ab(a>0,b>0)過點(1,1),a+b=ab,即1a+1b=1,直線在x軸、y軸上的截距之和a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab2+2ba·ab=4,當且僅當a=b=2時等號成立.該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為4.12.已知直線l過點P(3,2),且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,當AOB的面積取最小值時,直線l的方程為. 答案2x+3y-12=0解析方法1:易知直線l的斜率k存在且k<0,則直線l的方程為y-2=k(x-3)(k<0),則A3-2k,0,B(0,2-3k),所以SAOB=12(2-3k)3-2k=1212+(-9k)+4-k1212+2(-9k)·4-k=12×(12+2×6)=12,當且僅當-9k=4-k,即k=-23時等號成立.所以當k=-23時,AOB的面積最小,此時直線l的方程為y-2=-23(x-3),即2x+3y-12=0.方法2:設直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0),將點P(3,2)代入得3a+2b=126ab,即ab24,當且僅當3a=2b,即a=6,b=4時等號成立,又SAOB=12ab,所以當a=6,b=4時,AOB的面積最小,此時直線l的方程為x6+y4=1,即2x+3y-12=0.13.已知直線l過點M(1,1),且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A,B兩點,O為坐標原點.當|MA|2+|MB|2取得最小值時,求直線l的方程.解設直線l的斜率為k,則k<0,直線l的方程為y-1=k(x-1),則A1-1k,0,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=1-1+1k2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+1k22+2k2·1k2=4,當且僅當k2=1k2,即k=-1時,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此時直線l的方程為x+y-2=0.三、高考預測14.過點A(1,4)引一條直線l,它與x軸、y軸的正半軸的交點分別為(a,0)和(0,b),當a+b取得最小值時,求直線l的方程.解(方法一)由題意,設直線l:y-4=k(x-1),且k<0,則a=1-4k,b=4-k.故a+b=5+-4k-k5+4=9,當且僅當k=-2時等號成立.此時直線l的方程為y=-2x+6.(方法二)設l:xa+yb=1(a>0,b>0).由于l經過點A(1,4),故1a+4b=1,則a+b=(a+b)·1a+4b=5+4ab+ba9,當且僅當4ab=ba,即b=2a時等號成立,此時a=3,b=6.故所求直線l的方程為x3+y6=1,即y=-2x+6.7