專題能力訓(xùn)練6函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用一、能力突破訓(xùn)練1.(2019北京海淀一模,2)若x0是函數(shù)f(x)=log 2x-1x的零點(diǎn),則()A.-1<x0<0B.0<x0<1C.1<x0<2D.2<x0<42.函數(shù)f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x>0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.33.(2019遼寧沈陽(yáng)東北育才中學(xué)檢測(cè),10)已知函數(shù)f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=sin x+x的零點(diǎn)依次為x1,x2,x3,則下列結(jié)論正確的是()A.x1<x2<x3B.x1<x3<x2C.x3<x1<x2D.x2<x3<x14.已知函數(shù)f(x)=kx+2,x0,lnx,x>0(kR).若函數(shù)y=|f(x)|+k有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.2,+)B.(-1,0)C.-2,1)D.(-,-25.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=ln x+x-2的零點(diǎn)為b,則f(a),f(1),f(b)的大小關(guān)系為. 6.已知函數(shù)f(x)=x3,xa,x2,x>a.若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是. 7.一個(gè)放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì),每經(jīng)過(guò)一年就有34的質(zhì)量發(fā)生衰變.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過(guò)原有的1%,則至少需要年.(填正整數(shù)) 8.已知關(guān)于x的方程x3+ax+b=0,其中a,b均為實(shí)數(shù).下列條件中,使得該方程僅有一個(gè)實(shí)根的是.(寫出所有正確條件的編號(hào)) a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b>2;a=0,b=2;a=1,b=2.9.已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=12|x|+2.(1)求函數(shù)g(x)的值域;(2)求滿足方程f(x)-g(x)=0的x的值.10.如圖,一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向做勻速移動(dòng),速度為v(v>0),雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(cR).E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:P或P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與|v-c|×S成正比,比例系數(shù)為110;其他面的淋雨量之和,其值為12.記y為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量.當(dāng)移動(dòng)距離d=100,面積S=32時(shí),(1)寫出y的解析式;(2)設(shè)0<v10,0<c5,試根據(jù)c的不同取值范圍,確定移動(dòng)速度v,使總淋雨量y最少.二、思維提升訓(xùn)練11.(2019陜西咸陽(yáng)模擬,11)已知函數(shù)f(x)=ex+2(x<0)與g(x)=ln(x+a)+2的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),則a的取值范圍是()A.-,1eB.(-,e)C.-1e,eD.-e,1e12.已知函數(shù)f(x)=ln x-12x-1+a有唯一的零點(diǎn)x0,且x0(2,3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 13.(2018全國(guó),文21)已知函數(shù)f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).14.甲方是一農(nóng)場(chǎng),乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入,在乙方不賠付的情況下,乙方的年利潤(rùn)x(單位:元)與年產(chǎn)量q(單位:t)滿足函數(shù)關(guān)系:x=2 000q.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價(jià)格).(1)將乙方的年利潤(rùn)w(單位:元)表示為年產(chǎn)量q(單位:噸)的函數(shù),并求出乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量;(2)在乙方年產(chǎn)量為q(單位:噸)時(shí),甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.002q2(單位:元),在乙方按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少?專題能力訓(xùn)練6函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用一、能力突破訓(xùn)練1.C解析因?yàn)閒(x)的圖象在區(qū)間(1,2)內(nèi)連續(xù),且f(1)=-1,f(2)=12,即f(1)f(2)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn),即1<x0<2.2.C解析當(dāng)x0時(shí),令x2+2x-3=0,解得x=-3;當(dāng)x>0時(shí),令-2+lnx=0,解得x=e2.所以函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).故選C.3.B解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=3x,y=log3x,y=sinx與y=-x的圖象,如圖所示,可知x1<0,x2>0,x3=0,則x1<x3<x2.4.D解析由y=|f(x)|+k=0,得|f(x)|=-k0,所以k0,作出函數(shù)y=|f(x)|的圖象,要使直線y=-k與函數(shù)y=|f(x)|的圖象有三個(gè)交點(diǎn),則有-k2,即k-2.故選D.5.f(a)<f(1)<f(b)解析由題意,知f'(x)=ex+1>0恒成立,則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).因?yàn)閒(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)a(0,1).由題意,知g'(x)=1x+1>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù).又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)b(1,2).綜上,可得0<a<1<b<2.因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù),所以f(a)<f(1)<f(b).6.(-,0)(1,+)解析要使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),應(yīng)使f(x)圖象與直線y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn).當(dāng)0a1時(shí),由f(x)的圖象(圖略)知f(x)在定義域R上單調(diào)遞增,它與直線y=b不可能有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a<0時(shí),由f(x)的圖象(如圖)知,f(x)在區(qū)間(-,a上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,且a3<0,a2>0,所以,當(dāng)0<b<a2時(shí),f(x)圖象與y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn).圖圖當(dāng)a>1時(shí),由f(x)的圖象(如圖)知,f(x)在區(qū)間(-,a上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+)內(nèi)單調(diào)遞增,但a3>a2,所以當(dāng)a2<ba3時(shí),f(x)圖象與y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn).綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<0或a>1.7.4解析設(shè)這種放射性物質(zhì)最初的質(zhì)量為1,經(jīng)過(guò)x(xN)年后,剩留量是y,則y=14x.依題意,得14x1100,整理得22x100,解得x4.所以至少需要4年.8.解析方程僅有一個(gè)實(shí)根,則函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)a=-3時(shí),f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在x=-1處取極大值,在x=1處取極小值.當(dāng)b=-3時(shí),f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,滿足題意,故正確;當(dāng)b=2時(shí),f(-1)=4>0,f(1)=0,圖象與x軸有2個(gè)公共點(diǎn),不滿足題意,故不正確;當(dāng)b>2時(shí),f(-1)=2+b>4,f(1)=-2+b>0,滿足題意,故正確;當(dāng)a=0和a=1時(shí),f'(x)=3x2+a0,f(x)在R上為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),故也滿足題意.9.解(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2.因?yàn)閨x|0,所以0<12|x|1,即2<g(x)3,故g(x)的值域是(2,3.(2)由f(x)-g(x)=0,得2x-12|x|-2=0.當(dāng)x0時(shí),顯然不滿足方程,當(dāng)x>0時(shí),由2x-12x-2=0,得(2x)2-2×2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±2.因?yàn)?x>0,所以2x=1+2,即x=log2(1+2).10.解(1)由題意知,E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為320|v-c|+12,故y=100v320|v-c|+12=5v(3|v-c|+10)(v>0).(2)由(1)知,當(dāng)0<vc時(shí),y=5v(3c-3v+10)=5(3c+10)v-15;當(dāng)c<v10時(shí),y=5v(3v-3c+10)=5(10-3c)v+15.故y=5(3c+10)v-15,0<vc,5(10-3c)v+15,c<v10.當(dāng)0<c103時(shí),y是關(guān)于v的減函數(shù).故當(dāng)v=10時(shí),ymin=20-3c2.當(dāng)103<c5時(shí),在區(qū)間(0,c上,y是關(guān)于v的減函數(shù);在區(qū)間(c,5上,y是關(guān)于v的增函數(shù).故當(dāng)v=c時(shí),ymin=50c.二、思維提升訓(xùn)練11.B解析由題意,得方程f-x-gx=0在區(qū)間(0,+)內(nèi)有解,即e-x+2-ln(x+a)-2=0在區(qū)間(0,+)內(nèi)有解,即函數(shù)y=e-x的圖象與y=ln(x+a)的圖象在區(qū)間(0,+)內(nèi)有交點(diǎn),把點(diǎn)(0,1)代入y=ln(x+a),得1=lna,解得a=e,故a<e.12.14-ln3,12-ln2解析令f(x)=0,得lnx=12x-1-a.在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出y=lnx與y=12x-1-a的圖象知,y=lnx為增函數(shù),而y=12x-1-a為減函數(shù).要使兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)落在區(qū)間(2,3)內(nèi),必須有l(wèi)n2<122-1-a,ln3>123-1-a,解得14-ln3<a<12-ln2.13.(1)解當(dāng)a=3時(shí),f(x)=13x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.令f'(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.當(dāng)x(-,3-23)(3+23,+)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x(3-23,3+23)時(shí),f'(x)<0.故f(x)在區(qū)間(-,3-23),(3+23,+)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(3-23,3+23)內(nèi)單調(diào)遞減.(2)證明因?yàn)閤2+x+1>0,所以f(x)=0等價(jià)于x3x2+x+1-3a=0.設(shè)g(x)=x3x2+x+1-3a,則g'(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,僅當(dāng)x=0時(shí)g'(x)=0,所以g(x)在區(qū)間(-,+)內(nèi)單調(diào)遞增,故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-16<0,f(3a+1)=13>0,故f(x)有一個(gè)零點(diǎn).綜上,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).14.解(1)因?yàn)橘r付價(jià)格為s元/噸,所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為w=2000q-sq(q0).因?yàn)閣=2000q-sq=-sq-1000s2+10002s,所以當(dāng)q=1000s2時(shí),w取得最大值.所以乙方取得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量q=1000s2噸.(2)設(shè)甲方凈收入為v元,則v=sq-0.002q2,將q=1000s2代入上式,得到甲方凈收入v與賠付價(jià)格s之間的函數(shù)關(guān)系式:v=10002s-2×10003s4.又v'=-10002s2+8×10003s5=10002(8000-s3)s5,令v'=0得s=20.當(dāng)s<20時(shí),v'>0;當(dāng)s>20時(shí),v'<0.所以當(dāng)s=20時(shí),v取得最大值.因此當(dāng)甲方向乙方要求賠付價(jià)格s為20元/噸時(shí),獲得最大凈收入.9