單元檢測(cè)七數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)第卷(選擇題共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，若S2163，則a7a11a15等于()A6B9C12D15答案B解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，則由S2163，得21a1210d63，即a110d3，所以a7a11a153a130d3(a110d)9，故選B.2已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足(a1a2a3a4a5)0，且a6，則數(shù)列an的前9項(xiàng)和為()A7B8C7D8答案C解析由(a1a2a3a4a5)0，得a1a2a3a4a5a1，所以a31.又a6，所以公比q，a14，故S94·7，故選C.3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN*)時(shí)，第一步驗(yàn)證n1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A1B12C123D1234答案D解析當(dāng)n1時(shí)，左邊應(yīng)為12(13)，即1234，故選D.4等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S2018>0，S2019<0，且對(duì)任意正整數(shù)n都有|an|ak|，則正整數(shù)k的值為()A1008B1009C1010D1011答案C解析由S2019<0，得a1010<0，由S2018>0，得a1009a1010>0，a1009>a1010|a1010|.又d<0，n>1010時(shí)，|an|>|a1010|，n<1010時(shí)，|an|a1009|>|a1010|，k1010.5用數(shù)學(xué)歸納法證明“(nN*)”時(shí)，由nk到nk1時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是()A.B.C.D.答案C解析分別代入nk，nk1，兩式作差可得左邊應(yīng)添加項(xiàng)當(dāng)nk時(shí)，左邊為，當(dāng)nk1時(shí)，左邊為，所以增加項(xiàng)為兩式作差得，故選C.6設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11,2Snan11，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan3nBan3n1Can2nDan2n1答案B解析因?yàn)?Snan11，所以2a1a21，又a11，所以a23.由題知當(dāng)n2時(shí)，2Sn1an1，所以2anan1an，易知an0，所以3(n2)，當(dāng)n1時(shí)，也符合此式，所以an是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an3n1(nN*)，故選B.7已知數(shù)列an中，a1，且對(duì)任意的nN*，都有an1成立，則a2020的值為()A1B.C.D.答案C解析由題得a1；a2；a3；a4，數(shù)列an為周期數(shù)列，且a1a3a5a2n1(nN*)，a2a4a6a2n(nN*)，所以a2020，故選C.8設(shè)數(shù)列an滿足a1，且對(duì)任意的nN*，都有an2an3n，an4an10×3n，則a2021等于()A.B.2C.D.2答案A解析因?yàn)閷?duì)任意的nN*，滿足an2an3n，an4an10×3n，所以10×3n(an4an2)(an2an)3n23n10×3n，所以an4an10×3n.因?yàn)閍2021(a2021a2017)(a2017a2013)(a5a1)a110×(32017320133)10×.9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a10，常數(shù)>0，且a1anS1Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()A.B.C.D.答案A解析令n1，則a2S12a1，即a1(a12)0，因?yàn)閍10，所以a1，所以2anSn，當(dāng)n2時(shí)，2an1Sn1，得2an2an1an，即an2an1(n2)，所以an是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an×2n1(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，也符合此式，故選A.10記f(n)為最接近(nN*)的整數(shù)，如：f(1)1，f(2)1，f(3)2，f(4)2，f(5)2，.若4038，則正整數(shù)m的值為()A2018×2019B20192C2019×2020D2020×2021答案C解析設(shè)x，nN*，f(x)n，則n<<n，所以n2n<x<n2n，則n2n1xn2n，故滿足f(x)n的x的值共有2n個(gè)，分別為n2n1，n2n2，n2n，且2n×2.因?yàn)?0382×2019，所以m2019220192019×2020，故選C.第卷(非選擇題共110分)二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分把答案填在題中橫線上)11已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a310，S450，則公差d_，若Sn取到最大值，則n_.答案54或5解析由已知條件可得S4a32da3da3a3d4a32d50，又a310，所以d5.方法一可得a45，a50，a65，故當(dāng)n4或5時(shí)，Sn取到最大值方法二可知a120，an5n25，Sn2，根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)可得，當(dāng)n4或5時(shí)，Sn取到最大值12已知數(shù)列an滿足a12，且an2(n2)，則an的通項(xiàng)公式為_(kāi)答案ann1解析因?yàn)閍n2(n2)，所以an12(n2)，得(an12)(an2)an1an(n2)，整理得(n2)，又a12，且a22，所以a23，則·····×××××，整理得，所以ann1(nN*)(經(jīng)檢驗(yàn)n1也符合)13已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a11，an·an12×6n(nN*)，則a5_，S2019_.答案36解析因?yàn)閍11，an·an12×6n(nN*)，所以當(dāng)n1時(shí)，a212，當(dāng)n2(nN*)時(shí)，an·an12×6n1，除以得6，所以數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成以6為公比的等比數(shù)列，所以a5a1×6236，S2019.14如圖是一個(gè)類似“楊輝三角”的圖形，記an,1，an,2，an，n分別表示第n行的第1個(gè)數(shù)，第2個(gè)數(shù)第n個(gè)數(shù)，則an,2_.(n2且nN*)答案解析把第n行(n2)的第2個(gè)數(shù)記為an，則由題意可知a22，a34，a47，a511，a3a22，a4a33，a5a44，anan1n1，所有等式兩邊同時(shí)相加得ana2，整理得an，n2，即an,2，n2.15已知等差數(shù)列an滿足a31，a4a1212，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_；若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn>的最大正整數(shù)n為_(kāi)答案2n5解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知可得解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.Sna1，.得a111，所以Sn，由Sn>，得0<n5且nN*，故最大正整數(shù)n為5.16已知在首項(xiàng)都為2的數(shù)列an，bn中，a2b24,2an1anan2，bn1bn<2n，bn2bn>3×2n1，且bnZ，則bn_，數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)答案2n2n1解析由2an1anan2，知數(shù)列an是等差數(shù)列，因?yàn)閍12，a24，所以an的公差為2，所以an2n.由bn1bn<2n，得bn2bn1<2n1，所以bn2bn<3×2n1，又bn2bn>3×2n1，且bnZ，所以bn2bn3×2n，又b12，b24，當(dāng)n2k1(k2)時(shí)，bn(bnbn2)(bn2bn4)(b3b1)b13×(2n22n4232)23×222k12n，n1時(shí)也成立；當(dāng)n2k(k2)時(shí)，bn(bnbn2)(b4b2)b23×(2n22n4244)44k2n，n2時(shí)也成立所以bn2n.所以2n1，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為2n1.17若正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足(a6a5a4)(a3a2a1)49，則a9a8a7的最小值為_(kāi)答案196解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q，則(q31)(a3a2a1)49，顯然q31>0，所以a3a2a1，a9a8a74949×4196，當(dāng)且僅當(dāng)q31，即q32時(shí)等號(hào)成立，故a9a8a7的最小值為196.三、解答題(本大題共5小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)18(14分)(2019·杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足3Sn4an2(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)3Sn4an2，當(dāng)n2時(shí)，3Sn14an12，得3an4(anan1)，所以an4an1，即4.又3S14a12，所以a12，所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以an2×4n122n1(nN*)(2)因?yàn)閎nan22n112n，所以，所以Tn(nN*)19(15分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Snn2an(nN*)(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnn·(an1)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.(1)證明當(dāng)n1時(shí)，2a1S11，則a11.由題意得2anSnn,2an1Sn1(n1)，兩式相減得2an12anan11，即an12an1.于是an112(an1)，又a112，所以數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以an12·2n12n，即an2n1，nN*.(2)解由(1)知，bnn·2n，所以Tn1·22·22n·2n，2Tn1·222·23n·2n1，兩式相減得Tn222232nn·2n1n·2n1(1n)·2n12，所以Tn(n1)·2n12.20(15分)已知等比數(shù)列an的公比為q(0<q<1)，且a2a5，a3a4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnan·(log2an)，求bn的前n項(xiàng)和Tn；(3)設(shè)該等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，正整數(shù)m，n滿足<，求出所有符合條件的m，n的值解(1)方法一由已知得解得ann2，nN*.方法二由等比數(shù)列的性質(zhì)，知a2a5a3a4，a2a5，a2，a5是x2x0的兩個(gè)根，0<q<1，a2>a5，a21，a5，又a5a2q3，q，ana2×qn21×n2n2，nN*.(2)由(1)可得，bn(2n)·，Tn1×0×(1)×(2n)·，Tn1×0×(3n)·(2n)·，兩式相減得Tn2(n2)·2(n2)·，Tn，nN*.(3)Sn4，由<，得2<2n(4m)<6，2n(4m)為偶數(shù)，只能取2n(4m)4，有或故或綜上所述，m2，n1或m3，n2.21(15分)(2018·衢州檢測(cè))已知數(shù)列an滿足a11，Sn2an1，其中Sn為an的前n項(xiàng)和(nN*)(1)求S1，S2及數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn，且bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：當(dāng)n2時(shí)，|Tn|.(1)解數(shù)列an滿足Sn2an1，則Sn2an12(Sn1Sn)，即3Sn2Sn1，所以，所以S1a11，S2，即數(shù)列Sn是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以Snn1(nN*)(2)證明在數(shù)列bn中，bn1×，bn的前n項(xiàng)和的絕對(duì)值|Tn|，而當(dāng)n2時(shí)，1，即|Tn|.22(15分)(2018·金華十校模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an1·an(nN*)(1)證明：；(2)證明：2(1)n.證明(1)an1·an，an2·an1，而a11，易得an>0，由÷，得，.(2)由(1)得(n1)an2nan，.令bnnan，則bn·bn1nan·(n1)an1n1，當(dāng)n2時(shí)，bn1·bnn，由b1a11，b22，易得bn>0，由，得bn1bn1(n2)b1<b3<<b2n1，b2<b4<<b2n，得bn1.根據(jù)bn·bn1n1得bn1n1，1bnn，(b3b1)(b4b2)(bnbn2)(bn1bn1)bnbn1b1b2bnbn12.一方面，bnbn12222(1)，當(dāng)且僅當(dāng)bnbn1時(shí)取等號(hào)，另一方面，由1bnn可知bnbn12bn2maxn.故2(1)n.12