單科標(biāo)準(zhǔn)練(二)(滿分：150分時間：120分鐘)第卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合M1,0,1，Nx|x2a，aM，則集合MN()A1,0,1B2,0,2C0D2，1,0,1,2D集合M1,0,1，Nx|x2a，aM2,0,2，集合MN2，1,0,1,2故選D.2已知a，bR，ai，則abi的共軛復(fù)數(shù)為()A2iB2iC2iD2iA因為ai(b2i)i2bi，所以a2，b1，因此abi2i的共軛復(fù)數(shù)為2i.故選A.3高三第一學(xué)期甲、乙兩名同學(xué)5次月考的地理學(xué)科得分的莖葉圖如圖所示，其中兩豎線之間是得分的十位數(shù)，兩邊分別是甲、乙得分的個位數(shù)則下列結(jié)論正確的是()A甲得分的中位數(shù)是78B甲得分的平均數(shù)等于乙得分的平均數(shù)C乙得分的平均數(shù)和眾數(shù)都是75D乙得分的方差大于甲得分的方差C由甲、乙兩名同學(xué)5次月考的地理學(xué)科得分的莖葉圖，得：在A中，甲得分的中位數(shù)是76，故A錯誤；在B中，甲得分的平均數(shù)(5664767886)72，乙得分的平均數(shù)2(6275758182)75，甲得分的平均數(shù)不等于乙得分的平均數(shù)，故B錯誤；在C中，乙得分的眾數(shù)是75，平均數(shù)是75，故C正確；在D中，由莖葉圖的甲得分的分布相對分散，乙得分的方差小于甲得分的方差，故D錯誤故選C.4已知Sn為等比數(shù)列an的前n項和，a23，S313，則a6()A243或B81或C243 D.Aa23，S313，33q13，解得q3或q，a6a2q4243或，故選A.5.如圖，在ABC中，D，E，F(xiàn)分別為線段BC，AD，BE的中點，則()A.B.C.D.D()××()，故選D.6高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xR，用x表示不超過x的最大整數(shù)，則yx稱為高斯函數(shù)例如：2.13，3.13，已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)yf(x)的值域為()A.B(0,2C0,1,2D0,1,2,3C因為f(x)，所以f(x)×，又12x1(1，)，所以f(x)，由高斯函數(shù)的定義可得：函數(shù)yf(x)的值域為0,1,2，故選C.7.如圖，用與底面成45°角的平面截圓柱得一橢圓截線，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.A設(shè)圓柱底面圓的方程為x2y2R2，與底面成45°角的平面截圓柱，橢圓的半長軸長是R，半短軸長是R，cR，e.故選A.8埃及數(shù)學(xué)中有一個獨特現(xiàn)象：除用一個單獨的符號表示以外，其他分?jǐn)?shù)都要寫成若干個單位分?jǐn)?shù)和的形式，例如.可以這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，若每人分得一個面包的，不夠，若每人分得一個面包的，還余，再將這分成5份，每人分得，這樣每人分得.形如(n5,7,9,11，)的分?jǐn)?shù)的分解：，按此規(guī)律，()A.B.C.D.A根據(jù)分面包原理知，等式右邊第一個數(shù)的分母應(yīng)是等式左邊數(shù)的分母加1的一半，第二個數(shù)的分母是第一個數(shù)的分母與等式左邊數(shù)的分母的乘積，兩個數(shù)的原始分子都是1，即.故選A.9甲、乙二人約定7：10在某處會面，甲在7：007：20內(nèi)某一時刻隨機(jī)到達(dá)，乙在7：057：20內(nèi)某一時刻隨機(jī)到達(dá)，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是()A. B.C. D.C由題意知本題是一個幾何概型，設(shè)甲和乙到達(dá)的分別為7時x分、7時y分，則10x20,5y20，甲至少需等待乙5分鐘，即yx5，則試驗包含的所有區(qū)域是(x，y)|0x20,5y20，甲至少需等待乙5分鐘所表示的區(qū)域為A(x，y)|0x20,5y20，yx5，如圖：正方形的面積為20×15300，陰影部分的面積為×15×15，甲至少需等待乙5分鐘的概率是，故選C.10已知函數(shù)f(x)x32ax2a2x的極小值點是x1，則a()A0或1B3或1C1D3D函數(shù)f(x)x32ax2a2x，f(x)3x24axa2，f(x)極小值點是x1，f(1)34aa20，解得a3或a1，當(dāng)a1時，f(x)x32x2x，f(x)3x24x1，由f(x)0，得x1或x，由f(x)0，得1x，f(x)增區(qū)間為(，1)，減區(qū)間為，x1是f(x)的極大值點當(dāng)a3時，f(x)x36x29x，f(x)3x212x9，由f(x)0，得x3或x1，由f(x)0，得3x1，f(x)增區(qū)間為(，3)，(1，)，減區(qū)間為(3，1)，x1是f(x)的極小值點綜上，函數(shù)f(x)x32ax2a2x的極小值點是x1，則a3.故選D.11已知函數(shù)f(x)sin(0)，x0，的值域為，則的取值范圍是()A. B.C.D(0，)C函數(shù)f(x)sin(0)，x0，則x，函數(shù)f(x)sin(0)的值域為，所以x，解得，故選C.12已知正三棱錐P­ABC(頂點在底面的射影是底面正三角形的中心)的側(cè)面是頂角為30°腰長為2的等腰三角形，若過A的截面與棱PB，PC分別交于點D和點E，則截面ADE周長的最小值是()A.B2C.D2D此正三棱錐的側(cè)面展開圖如圖所示則ADE的周長為ADDEEA1，由于兩點之間線段最短，當(dāng)D、E處于如圖位置時，截面ADE的周長最小，即為AA1的長；又APB30°，則APA190°，在等腰三角形PAB中，PAPB2，PAPA12，APA190°，截面ADE周長的最小值是：AA12.故選D.第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第1321題為必考題，每個試題考生都必須作答，第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13設(shè)實數(shù)x、y滿足約束條件則z2xy的最小值和最大值的和為_14作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示由z2xy得y2xz.平移直線y2xz，由圖象可知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點A(3,4)時，直線y2xz的截距最大，z10.直線y2xz經(jīng)過點B(1,2)時，直線y2xz的截距最小，此時z最小即z2xy的最小值為：z4.則z2xy的最小值和最大值的和為14. 14以拋物線y28x的焦點為圓心，且與直線yx相切的圓的方程為_(x2)2y22依題意可知拋物線y28x的焦點為(2,0)，到直線yx的距離即圓的半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y22.15分別標(biāo)有1,2,3,4的4張卡片，放入分別標(biāo)號為1,2,3,4的4個盒中，每盒不空，且3號卡片不能放入3號盒中，則有_種不同的方法18根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：3號卡片不能放入3號盒中，則3號卡片可以放入1、2、4號盒子中，有3種放法；將剩下的3張卡片全排列，放入剩下的3個盒子中，有A6種放法；故有3×618種不同的放法16. Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0,4Sn(an3)(an1)，(nN*)，則an的首項a1_，通項公式an_.32n1由4Sn(an3)(an1)a2an3，可知4Sn1a2an13，兩式相減得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)，an0，an1an2，又a2a14a13，a11(舍)或a13 ，數(shù)列an是首項為3，公差d2的等差數(shù)列，數(shù)列an的通項公式an32(n1)2n1.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分12分)已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，1.(1)求A的大??；(2)若a4，c12.求ABC的面積S.解(1)因為1，所以由正弦定理得1整理得b2c2a2bc，所以cos A，因為0A，所以A.(2)因為a4，c12，A.所以由余弦定理a2b2c22bccos A，得208b21442×12bcos ，解得b4或b16(舍)所以Sbcsin A×12×4×sin 12.18. (本小題滿分12分)如圖，等腰直角ABC中，B90°，平面ABEF平面ABC,2AFABBE，F(xiàn)AB60°，AFBE.(1)求證：BCBF；(2)求二面角F­CE­B的正弦值解(1)證明：在等腰直角ABC中，B90°，BCAB，平面ABEF平面ABC，平面ABEF平面ABCAB，BC平面ABEF，BF平面ABEF，BCBF.(2)由(1)知BC平面ABEF，故以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B­xyz，設(shè)2AFABBE2，F(xiàn)AB60°，AFBE.B(0,0,0)，C(0,2,0)，F(xiàn)，E(1,0，)，(1,2，)，(0,2,0)，設(shè)平面CEF的一個法向量n(x，y，z)，則即令x，得n(，2，5)，設(shè)平面BCE的一個法向量m(x，y，z)，則即取x，得m(，0,1)，設(shè)二面角F­CE­B的平面角為.則|cos |，sin ，二面角F­CE­B的正弦值為.19(本小題滿分12分)已知拋物線C：x24y，過點(2,3)的直線l交C于A、 B兩點，拋物線C在點A、B處的切線交于點P.(1)當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為4時，求點P的坐標(biāo)；(2)若Q是拋物線C上的動點，當(dāng)|PQ|取最小值時，求點Q的坐標(biāo)及直線l的方程解(1)點A的橫坐標(biāo)為4，A(4,4)，易知此時直線l的方程為yx2 ，聯(lián)立解得或B(2,1)由y得y，所以kPA2，所以直線PA的方程為y2x4, 同理可得直線PB的方程為yx1, 聯(lián)立可得故點P的坐標(biāo)為(1，2). (2)設(shè)A，B，由y得y，所以kPA，所以直線PA的方程為y(xx1)，即yx，同理PB的方程為yx，聯(lián)立解得P，依題意直線l的斜率存在，不妨設(shè)直線l的方程為y3k(x2)，由得x24kx8k120, 易知0，因此x1x24k，x1x28k12，P(2k,2k3)，點P在直線xy30上，當(dāng)|PQ|取得最小值時，即拋物線C：x24y上的點Q到直線xy30的距離最小. 設(shè)Q，Q到直線xy30的距離d，所以當(dāng)x02時，d取最小值，此時Q(2,1), 易知過點Q且垂直于xy30的直線方程為yx3, 由解得P(3,0)，k，所以直線l的方程為yx，綜上，點Q的坐標(biāo)為(2,1)，直線l的方程為yx.20(本小題滿分12分)某醫(yī)藥公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的保健產(chǎn)品，從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200盒作為樣本，測量產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，該指標(biāo)值越高越好由測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：(1)求a，并試估計這200盒產(chǎn)品的該項指標(biāo)值的平均值；(2)由樣本估計總體，結(jié)合頻率分布直方圖認(rèn)為該產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布N(，102)，計算該批產(chǎn)品該項指標(biāo)值落在(180,220上的概率；國家有關(guān)部門規(guī)定每盒產(chǎn)品該項指標(biāo)值不低于150均為合格，且按該項指標(biāo)值從低到高依次分為：合格、優(yōu)良、優(yōu)秀三個等級，其中(180,220為優(yōu)良，不高于180為合格，高于220為優(yōu)秀，在在條件下，設(shè)該公司生產(chǎn)該產(chǎn)品的1萬盒的成本為15萬元，市場上各等級每盒該產(chǎn)品的售價(單位：元)如表，求該公司每萬盒的平均利潤等級合格優(yōu)良優(yōu)秀售價102030附：若N(，2)，則P()0.682 7，P(22)0.954 5.解(1)由10×(2×0.0020.0080.0090.0220.024a)1，解得a0.033，則平均值10×0.002×17010×0.009×18010×0.022×19010×0.033×20010×0.024×21010×0.008×22010×0.002×230200，即這200盒產(chǎn)品的該項指標(biāo)值的平均值約為200.(2)由題意可得200，10，則P(22)P(180220)0.954 5，則該批產(chǎn)品指標(biāo)值落在(180,220上的概率為0.954 5.設(shè)每盒該產(chǎn)品的售價為X元，由可得X的分布列為X102030P0.022 750.954 50.022 75則每盒該產(chǎn)品的平均售價為E(X)10×0.022 7520×0.954 530×0.022 7520，故每萬盒的平均利潤為20155(萬元)21(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)(x2a)ekx，e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)(1)若k1，aR，判斷函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)性；(2)令a0，k1，若0m2e，求證：方程f(x)m(x1)ln x0無實根解(1)由已知k1，所以f(x)(x2a)ex，所以f(x).若a1，在R上恒有u(x)(x1)21a0，所以f(x)0，所以f(x)在(0，)上為單調(diào)遞減，若a1，u(x)(x1)21a圖象與x軸有兩個不同交點設(shè)u(x)(x1)21a0的兩根分別為x11，x21.()若0a1,0x11，x21，所以當(dāng)0xx1時，u(x)0；當(dāng)x1xx2時，u(x)0；當(dāng)xx2時，u(x)0.所以，此時f(x)在(0，x1)上和(x2，)上分別單調(diào)遞減；在(x1，x2)上單調(diào)遞增；()若a0，x110，x212.所以，x(0，x2)上總有u(x)0；在當(dāng)xx2上，u(x)0，所以此時f(x)在(0，x2)上單調(diào)遞增，在(x2，)上單調(diào)遞減綜上：若a1，f(x)在(0，)上為單調(diào)遞減；若0a1，f(x)在(0,1)上和(1，)上分別單調(diào)遞減，在(1，1)上單調(diào)遞增；若a0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減(2)證明：由題知a0，k1，所以f(x)x2ex，令g(x)ex(x1)，對任意實數(shù)x0，g(x)ex10恒成立，所以g(x)ex(x1)g(0)0，即exx10，則x2exm(x1)ln xx2(x1)m(x1)ln x(x1)(x2mln x)令h(x)x2mln x，所以h(x)(x2mln x)2x.因為0m2e，所以h(x).所以x時，h(x)0，h0；x時，h(x)0，所以h(x)x2mln x在(0，)上有最小值，所以hmln因為0e，所以ln 1，所以1ln 0，所以0，即0m2e時，對任意x0，h(x)x2mln x0.所以x2exm(x1)ln x0，所以方程f(x)m(x1)ln x0無實根請考生在第22、23兩題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題記分22(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知平面直角坐標(biāo)系xOy，直角l過點P(0，)，且傾斜角為，以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為24cos10.(1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l與圓C交于M、N兩點，若|PM|PN|，求直線l的傾斜角的值解(1)因為直線l過點P(0，)，且傾斜角為，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))因為圓C的極坐標(biāo)方程為24cos10，所以22cos 2sin 10，所以圓C的普通方程為：x2y22x2y10，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x1)2(y)25.(2)直線l的參數(shù)方程為代入圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程得(tcos 1)2(tsin )25，整理得t22tcos 40.設(shè)M、N兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則t1t22cos ，所以|PM|PN|t1t2|2cos |，即cos ±.因為0，所以或.23(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|ax|xb|c.(1)當(dāng)abc2時，求不等式f(x)8的解集；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為1，證明：a2b2c2.解(1)當(dāng)abc2時，f(x)|x2|x2|2，所以f(x)8或或所以不等式的解集為x|3x3(2)因為a0，b0，c0，所以f(x)|ax|xb|c|axxb|c|ab|cabc.因為f(x)的最小值為1，所以abc1.所以(abc)2a2b2c22ab2ac2bc1，因為2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2，所以1a2b2c22ab2ac2bc3(a2b2c2)，所以a2b2c2.- 13 -