第四節(jié)直接證明與間接證明A組基礎(chǔ)題組1.用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為()A.a,b,c都是奇數(shù)B.a,b,c都是偶數(shù)C.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)答案D對(duì)結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù).故選D.2.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證b2-ac<3a”,則索的因應(yīng)是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-c)(a-b)>0D.(a-b)(a-c)<0答案Cb2-ac<3ab2-ac<3a2(a+c)2-ac<3a2a2+2ac+c2-ac-3a2<0-2a2+ac+c2<02a2-ac-c2>0(a-c)·(2a+c)>0(a-c)(a-b)>0.3.若P=a+6+a+7,Q=a+8+a+5(a0),則P,Q的大小關(guān)系是()A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值確定答案A假設(shè)P>Q,要證P>Q,只需證P2>Q2,只需證:2a+13+2(a+6)(a+7)>2a+13+2(a+8)(a+5),只需證a2+13a+42>a2+13a+40,即證42>40,42>40顯然成立,所以P>Q成立.4.已知函數(shù)f(x)=12x,a,b是正實(shí)數(shù),A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,則A,B,C的大小關(guān)系為()A.ABCB.ACBC.BCAD.CBA答案A因?yàn)閍+b2ab2aba+b,又f(x)=12x在R上是減函數(shù),所以fa+b2f(ab)f2aba+b.5.設(shè)x,y,z>0,則三個(gè)數(shù)yx+yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一個(gè)大于2C.至少有一個(gè)不小于2D.至少有一個(gè)不大于2答案C假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于2,則yx+yz+zx+zy+xz+xy<6,由于yx+yz+zx+zy+xz+xy=yx+xy+zx+xz+yz+zy2+2+2=6.所以假設(shè)不成立,所以yx+yz,zx+zy,xz+xy中至少有一個(gè)不小于2.故選C.6.設(shè)a>b>0,m=a-b,n=a-b,則m,n的大小關(guān)系是. 答案m<n解析若a-b<a-b,則b+a-b>a,即a<b+2b·a-b+a-b,所以2b·a-b>0,顯然成立,故m<n.7.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=x2+1圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中nN*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為. 答案cn>cn+1解析由題意知,an=n2+1,bn=n,cn=n2+1-n=1n2+1+n.顯然,cn隨著n的增大而減小,cn>cn+1.8.關(guān)于x的方程ax+a-1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案12,1解析當(dāng)a=0時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)a0時(shí),令f(x)=ax+a-1,則f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)函數(shù),依題意得f(0)·f(1)<0,所以(a-1)(2a-1)<0,所以12<a<1.9.已知非零向量a,b,且ab,求證:|a|+|b|a+b|2.證明aba·b=0,要證|a|+|b|a+b|2.只需證|a|+|b|2|a+b|,只需證|a|2+2|a|b|+|b|22(a2+2a·b+b2),只需證|a|2+|b|2-2|a|b|0,即(|a|-|b|)20,上式顯然成立,故原不等式得證.10.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2-n2,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)證明:對(duì)任意的n>1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.解析(1)由Sn=3n2-n2,得a1=S1=1,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n-2,當(dāng)n=1時(shí)也適合.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n-2.(2)證明:要使a1,an,am成等比數(shù)列,只需要an2=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此時(shí)mN*,且m>n,所以對(duì)任意的n>1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.B組提升題組1.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí), f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+ f(x2)的值()A.恒為負(fù)值B.恒等于零C.恒為正值D.無(wú)法確定正負(fù)答案A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí), f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0,可知x1>-x2,則f(x1)< f(-x2)=-f(x2),則f(x1)+f(x2)<0,故選A.2.若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間-1,1內(nèi)至少存在一個(gè)數(shù)c,使f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是. 答案-3,32解析由題意可得只需f(-1)>0或f(1)>0即可,由f(1)>0,得2p2+3p-9<0,即-3<p<32;由f(-1)>0,得2p2-p-1<0,即-12<p<1.故所求實(shí)數(shù)p的取值范圍是-3<p<32.3.已知數(shù)列an滿足a1=12,且an+1=an3an+1(nN*).(1)證明:數(shù)列1an是等差數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=anan+1(nN*),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和記為Tn,證明:Tn<16.證明(1)由已知可得,當(dāng)nN*時(shí),an+1=an3an+1,兩邊取倒數(shù)得,1an+1=3an+1an=1an+3,即1an+1-1an=3,所以數(shù)列1an是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式為1an=2+(n-1)×3=3n-1,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=13n-1.(2)由(1)知an=13n-1,故bn=anan+1=13n-1·13(n+1)-1=1(3n-1)(3n+2)=1313n-1-13n+2,故Tn=b1+b2+bn=13×12-15+13×15-18+13×13n-1-13n+2=1312-13n+2=16-13·13n+2.因?yàn)?3n+2>0,所以Tn<16.4.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),當(dāng)f(c)=0,且0<x<c時(shí), f(x)>0.(1)證明:1a是f(x)=0的一個(gè)根;(2)試比較1a與c的大小;(3)證明:-2<b<-1.解析(1)證明:f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)為x1,x2,f(c)=0,x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=ca,x2=1a1ac,1a是f(x)=0的一個(gè)根.(2)假設(shè)1a<c,且1a>0,由0<x<c時(shí), f(x)>0,知f1a>0與f1a=0矛盾,1ac,又1ac,1a>c.(3)證明:由f(c)=0,得ac+b+1=0,b=-1-ac.又a>0,c>0,b<-1.二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x=-b2a=x1+x22.又1a>c,x2>x1,x1+x22<x2+x22=x2=1a,即-b2a<1a.又a>0,b>-2,-2<b<-1.7