第1講直線(xiàn)與圓一、選擇題1已知直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)(2，0)且傾斜角為30°，直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)(2，0)且與直線(xiàn)l1垂直，則直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A(3，)B(2，)C(1，)D解析：選C.直線(xiàn)l1的斜率k1tan 30°，因?yàn)橹本€(xiàn)l2與直線(xiàn)l1垂直，所以直線(xiàn)l2的斜率k2，所以直線(xiàn)l1的方程為y(x2)，直線(xiàn)l2的方程為y(x2)，聯(lián)立解得即直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)2圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24解析：選A.由題意得，圓C的半徑為，圓心坐標(biāo)為(1，)，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y)22，故選A.3已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線(xiàn)xy0所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切B相交C外切D相離解析：選B.圓M：x2y22ay0(a>0)可化為x2(ya)2a2，由題意，M(0，a)到直線(xiàn)xy0的距離d，所以a22，解得a2.所以圓M：x2(y2)24，所以?xún)蓤A的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交4(多選)直線(xiàn)xym0與圓x2y22x10有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是()A0<m<1Bm<1C2<m<1D3<m<1解析：選AC.圓x2y22x10的圓心為(1，0)，半徑為.因?yàn)橹本€(xiàn)xym0與圓x2y22x10有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以直線(xiàn)與圓相交，因此圓心到直線(xiàn)的距離d<，所以|1m|<2，解得3<m<1，求其充分不必要條件，即求其真子集，故由選項(xiàng)易得AC符合，故選AC.5在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過(guò)定點(diǎn)P的直線(xiàn)l：axy10與過(guò)定點(diǎn)Q的直線(xiàn)m：xay30相交于點(diǎn)M，則|MP|2|MQ|2()ABC5D10解析：選D.由題意知P(0，1)，Q(3，0)，因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)P的直線(xiàn)axy10與過(guò)定點(diǎn)Q的直線(xiàn)xay30垂直，所以MPMQ，所以|MP|2|MQ|2|PQ|29110，故選D.6(一題多解)(2019·濰坊模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)xky10與圓C：x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k的值為()A2B1C0D1解析：選C.法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，則4k212(k21)>0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因?yàn)?，故M，又點(diǎn)M在圓C上，故4，解得k0.法二：由直線(xiàn)與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在圓C上，得圓心C(0，0)到直線(xiàn)xky10的距離為半徑的一半，為1，即d1，解得k0.二、填空題7過(guò)點(diǎn)(，0)引直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線(xiàn)l的斜率等于_解析：令P(，0)，如圖，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|·|OB|·sinAOBsinAOB，當(dāng)AOB90°時(shí)，AOB的面積取得最大值，此時(shí)過(guò)點(diǎn)O作OHAB于點(diǎn)H，則|OH|，于是sinOPH，易知OPH為銳角，所以O(shè)PH30°，則直線(xiàn)AB的傾斜角為150°，故直線(xiàn)AB的斜率為tan 150°.答案：8已知圓O：x2y24到直線(xiàn)l：xya的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：由圓的方程可知圓心為(0，0)，半徑為2.因?yàn)閳AO到直線(xiàn)l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線(xiàn)l的距離d<r121，即d<3，解得a(3，3)答案：(3，3)9(2019·高考浙江卷)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線(xiàn)2xy30與圓C相切于點(diǎn)A(2，1)，則m_，r_解析：法一：設(shè)過(guò)點(diǎn)A(2，1)且與直線(xiàn)2xy30垂直的直線(xiàn)方程為l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，則r.法二：因?yàn)橹本€(xiàn)2xy30與以點(diǎn)(0，m)為圓心的圓相切，且切點(diǎn)為A(2，1)，所以×21，所以m2，r.答案：2三、解答題10已知點(diǎn)M(1，0)，N(1，0)，曲線(xiàn)E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍(1)求曲線(xiàn)E的方程；(2)已知m0，設(shè)直線(xiàn)l1：xmy10交曲線(xiàn)E于A，C兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2：mxym0交曲線(xiàn)E于B，D兩點(diǎn)當(dāng)CD的斜率為1時(shí)，求直線(xiàn)CD的方程解：(1)設(shè)曲線(xiàn)E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得·，整理得x2y24x10，即(x2)2y23為所求(2)由題意知l1l2，且兩條直線(xiàn)均恒過(guò)點(diǎn)N(1，0)設(shè)曲線(xiàn)E的圓心為E，則E(2，0)，設(shè)線(xiàn)段CD的中點(diǎn)為P，連接EP，ED，NP，則直線(xiàn)EP：yx2.設(shè)直線(xiàn)CD：yxt，由解得點(diǎn)P，由圓的幾何性質(zhì)，知|NP|CD|，而|NP|2，|ED|23，|EP|2，所以3，整理得t23t0，解得t0或t3，所以直線(xiàn)CD的方程為yx或yx3.11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)yx2mx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說(shuō)明理由；(2)證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值解：(1)不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2滿(mǎn)足x2mx20，所以x1x22.又C的坐標(biāo)為(0，1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況(2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，可得BC的中垂線(xiàn)方程為yx2(x)由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂線(xiàn)方程為x.聯(lián)立又xmx220，可得所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(，)，半徑r.故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為23，即過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線(xiàn)l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線(xiàn)l上(1)若圓心C也在直線(xiàn)yx1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍解：(1)因?yàn)閳A心在直線(xiàn)l：y2x4上，也在直線(xiàn)yx1上，所以解方程組得圓心C(3，2)，又因?yàn)閳AC的半徑為1，所以圓C的方程為(x3)2(y2)21，又因?yàn)辄c(diǎn)A(0，3)，顯然過(guò)點(diǎn)A，圓C的切線(xiàn)的斜率存在，設(shè)所求的切線(xiàn)方程為ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切線(xiàn)方程為y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因?yàn)閳AC的圓心在直線(xiàn)l：y2x4上，所以設(shè)圓心C為(a，2a4)，又因?yàn)閳AC的半徑為1，則圓C的方程為(xa)2(y2a4)21.設(shè)M(x，y)，又因?yàn)閨MA|2|MO|，則有2，整理得x2(y1)24，其表示圓心為(0，1)，半徑為2的圓，設(shè)為圓D，所以點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點(diǎn)，所以2121，解得0a，所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為. - 6 -