第1講空間幾何體的三視圖、表面積與體積一、選擇題1.水平放置的ABC的直觀圖如圖，其中BOCO1，AO，那么原ABC是一個(gè)()A等邊三角形B直角三角形C三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D三邊互不相等的三角形解析：選A.AO2AO2×，BCBOCO112，在RtAOB中，AB2，同理AC2，所以ABC是等邊三角形2給出下列幾個(gè)命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3解析：選B.錯(cuò)誤，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；正確；錯(cuò)誤，棱臺(tái)是上、下底面相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等3(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中，M為CD的中點(diǎn)，則三棱錐A­BC1M 的體積VA­BC1M()ABCD解析：選C.VA­BC1MVC1­ABMSABM·C1C×AB×AD×C1C.故選C.4把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為()A10B10C10D5解析：選B.設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h.因?yàn)榘雸A的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2r20，所以r10，所以h10.5(2019·湖北武漢5月模擬)已知長(zhǎng)方體全部棱長(zhǎng)的和為36，表面積為52，則其體對(duì)角線的長(zhǎng)為()A4BC2D4解析：選B.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，由已知得的兩邊同時(shí)平方得x2y2z22xy2xz2yz81，把代入得x2y2z229，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為.故選B.6已知圓柱的高為2，底面半徑為，若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積等于()A4BCD16解析：選D.如圖，由題意知圓柱的中心O為這個(gè)球的球心，于是，球的半徑rOB2.故這個(gè)球的表面積S4r216.故選D.7在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，ABAD2，AA11，則點(diǎn)B到平面D1AC的距離等于()ABC1D解析：選B.如圖，連接BD1，易知D1D就是三棱錐D1­ABC的高，AD1CD1，取AC的中點(diǎn)O，連接D1O，則D1OAC，所以D1O.設(shè)點(diǎn)B到平面D1AC的距離為h，則由VB­D1ACVD1­ABC，即SD1AC·hSABC·D1D，又SD1ACD1O·AC××2，SABCAB·BC×2×22，所以h.故選B.8在三棱錐S­ABC中，SBBC，SAAC，SBBC，SAAC，ABSC，且三棱錐S­ABC的體積為，則該三棱錐的外接球半徑是()A1B2C3D4解析：選C.取SC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，則OAOBOCOS，即O為三棱錐的外接球球心，設(shè)半徑為r，則×2r×r2，所以r3.9(2019·安徽省江南十校3月檢測(cè))我國(guó)南北朝時(shí)期的科學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體在等高處的水平截面的面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等利用此原理求以下幾何體的體積：如圖，曲線yx2(0yL)和直線yL圍成的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得幾何體Z，將Z放在與y軸垂直的水平面上，用平行于平面，且與Z的頂點(diǎn)O距離為l的平面截幾何體Z，得截面圓的面積為()2l.由此構(gòu)造右邊的幾何體Z1(三棱柱ABC­A1B1C1)，其中AC平面，BB1C1C，EFPQ，ACL，AA1，AA1，Z1與Z在等高處的截面面積都相等，圖中EFPQ和BB1C1C為矩形，且PQ，F(xiàn)Pl，則幾何體Z1的體積為()AL2BL3CL2DL3解析：選C.由題意可知，在高為L(zhǎng)處，幾何體Z和Z1的水平截面面積相等，為L(zhǎng)，所以S矩形BB1C1CL，所以BCL，所以V三棱柱ABC­A1B1C1SABC·L2，故選C.10(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)已知正三棱錐的高為6，內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切)的表面積為16，則其底面邊長(zhǎng)為()A18B12C6D4解析：選B.由題意知，球心在三棱錐的高PE上，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則S球4R216，所以R2，所以O(shè)EOF2，OP4.在RtOPF中，PF2.因?yàn)镺PFDPE，所以，得DE2，AD3DE6，ABAD12.故選B.11(多選)在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下幾種幾何圖形的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何圖形可以是()A矩形B有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體C每個(gè)面都是直角三角形的四面體D每個(gè)面都是等邊三角形的四面體解析：選ABCD.4個(gè)頂點(diǎn)連成矩形的情形顯然成立；圖(1)中四面體A1­D1B1A是B中描述的情形；圖(2)中四面體D­A1C1B是D中描述的情形；圖(3)中四面體A1­D1B1D 是C中描述的情形12(多選)如圖，已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是()A直線A1C1與AD1為異面直線BA1C1平面ACD1CBD1ACD三棱錐D1­ADC的體積為解析：選ABC.對(duì)于A，直線A1C1平面A1B1C1D1，AD1平面ADD1A1，D1直線A1C1，則易得直線A1C1與AD1為異面直線，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)锳1C1AC，A1C1平面ACD1，AC平面ACD1，所以A1C1平面ACD1，故B正確；對(duì)于C，連接BD，因?yàn)檎襟wABCD­A1B1C1D1中，ACBD，ACDD1，BDDD1D，所以AC平面BDD1，所以BD1AC，故C正確；對(duì)于D，三棱錐D1­ADC的體積V三棱錐D1­ADC××2×2×2，故D錯(cuò)誤13(多選)如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB2，ADEF1.則()A平面BCF平面ADFBEF平面DAFCEFC為直角三角形DVC­BEFVF­ABCD14解析：選AD.因BFAF，BFDA，所以BF平面DAF，所以平面BCF平面ADF，由題意可知，平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個(gè)錐體的體積分別為V四棱錐F­ABCD，V三棱錐F­CBE.過(guò)點(diǎn)F作FGAB于點(diǎn)G，因?yàn)槠矫鍭BCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，F(xiàn)G平面ABEF，所以FG平面ABCD.所以V四棱錐F­ABCD×1×2×FGFG，V三棱錐F­BCEV三棱錐C­BEF×SBEF×CB××FG×1×1FG，由此可得V三棱錐C­BEFV四棱錐F­ABCD14.二、填空題14(一題多解)(2019·淄博市第一次模擬測(cè)試)底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)面為等腰直角三角形的正三棱錐的高為_解析：法一：由題意得，三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，設(shè)正三棱錐的高為h，則××3×3×3××36h，解得h.法二：由題意得，三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面正三角形的外接圓的半徑為2，所以正三棱錐的高為.答案：15(2019·高考天津卷)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_解析：由題可得，四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則圓柱底面的半徑為，易知四棱錐的高為2，故圓柱的高為1，所以圓柱的體積為××1.答案：16(2019·高考全國(guó)卷)已知ACB90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC2，點(diǎn)P到ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作PEBC交BC于點(diǎn)E，作PFAC交AC于點(diǎn)F.由題意知PEPF.過(guò)P作PH平面ABC于點(diǎn)H，連接HE，HF，HC，易知HEHF，則點(diǎn)H在ACB的平分線上，又ACB90°，故CEH為等腰直角三角形在RtPCE中，PC2，PE，則CE1，故CH，在RtPCH中，可得PH，即點(diǎn)P到平面ABC的距離為.答案：17(2019·河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟測(cè)評(píng)改編)已知一個(gè)高為1的三棱錐，各側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則三棱錐的表面積為_，若三棱錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則V的最大值為_解析：該三棱錐側(cè)面的斜高為，則S側(cè)3××2×2，S底××2，所以三棱錐的表面積S表23.由題意知，當(dāng)球與三棱錐的四個(gè)面都相切時(shí)，其體積最大設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則三棱錐的體積V錐S表·rS底·1，所以3r，所以r，所以三棱錐的內(nèi)切球的體積最大為Vmaxr3.答案：3 - 7 -