專題檢測（七） 三角恒等變換與解三角形A組“633”考點落實練一、選擇題1.(2019·開封市定位考試)已知cos，則cos 2的值為()A.B.C. D.解析：選B因為cos，所以sin ，所以cos 212×，故選B.2.(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測一)函數(shù)f(x)sinsin x的最大值為()A. B.2C.2 D.4解析：選A法一：由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函數(shù)的最大值為，故選A.法二：由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos x，故函數(shù)的最大值為 ，故選A.3.(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測一)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bacos Cc，則角A等于()A.60° B.120°C.45° D.135°解析：選A由bacos Cc及余弦定理，可得ba·c，即2b2b2a2c2bc，整理得b2c2a2bc，于是cos A，又0A，所以A60°，故選A.4.(2019·江西七校第一次聯(lián)考)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ba，a2，c，則角C()A. B.C. D.解析：選D由ba，得sin Bsin A·.因為sin Bsin(AC)sin(AC)，所以sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Asin C(sin C0)，cos Asin A，所以tan A.因為0A，所以A.由正弦定理，得sin C.因為0C，所以C.故選D.5.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若<cos A，則ABC為()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形解析：選A根據(jù)正弦定理得<cos A，即sin C<sin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)<sin Bcos A，整理得sin Acos B<0.又三角形中sin A>0，cos B<0，<B<，ABC為鈍角三角形.6.(2018·南昌一模)已知臺風(fēng)中心位于城市A東偏北(為銳角)的150千米處，以v千米/時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達(dá)距城市A西偏北(為銳角)的200千米處，若cos cos ，則v()A.60 B.80C.100 D.125解析：選C如圖，臺風(fēng)中心為B，2.5小時后到達(dá)點C，則在ABC中，ABsin ACsin ，即sin sin ，又cos cos ，sin2cos2sin2cos21sin2cos2，sin cos ，sin ，cos ，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin ××0，BC2AB2AC2，(2.5v)215022002，解得v100，故選C.二、填空題7.(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b6，a2c，B，則ABC的面積為_.解析：由余弦定理得b2a2c22accosB.又 b6，a2c，B， 364c2c22×2c2×， c2，a4， SABCacsin B×4×2×6.答案：68.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A，2sin Asin B，且b6，則c_.解析：由余弦定理得a2b2c22bc×b2c2bc，又2sin Asin B，由正弦定理可得，即a2b24c20，則b2c2bcb24c20.又b6，c22c240，解得c4(負(fù)值舍去).答案：49.(2019·洛陽市統(tǒng)考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且tan B，則的值是_.解析：a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，由正弦定理得sin2Bsin Asin C，tan B，sin B，. 答案：三、解答題10.(2018·全國卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90°，A45°，AB2，BD5.(1)求cos ADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sin ADB.由題設(shè)知，ADB<90°，所以cos ADB .(2)由題設(shè)及(1)知，cos BDCsin ADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BD·DC·cos BDC2582×5×2×25，所以BC5.11.(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為accos B，且sin A3sin C.(1)求角B的大小；(2)若c2，AC的中點為D，求BD的長.解：(1)SABCacsin Baccos B，tan B.又0B，B60°.(2)sin A3sin C，由正弦定理得，a3c，a6.由余弦定理得b262222×2×6×cos 60°28，b2.cos A.D是AC的中點，AD.BD2AB2AD22AB·ADcos A22()22×2××13.BD.12.(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因為0°<A<180°，所以A60°.(2)由(1)知B120°C，由題設(shè)及正弦定理得sin Asin(120°C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60°).因為0°<C<120°，所以sin(C60°)，故sin Csin(C60°60°)sin(C60°)cos 60°cos(C60°)sin 60°.B組大題專攻強化練1.(2019·江西七校第一次聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且a2(bc)2bc.(1)求角A的大?。?2)若f(x)sin(2xA)，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后又向上平移了2個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間.解：(1)a2(bc)2bc，a2b2c2bc，cos A，又0A，A.(2)f(x)sin，g(x)sin2，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.2.已知在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin Acos Ccsin Acos Abcos A0.(1)求角A的大??；(2)若ABC的面積為4，且b，a，c成等差數(shù)列，求ABC的內(nèi)切圓的半徑.解：(1)由asin Acos Ccsin Acos Abcos A0，可知sin A(sin Acos Ccos Asin C)sin Bcos A，sin Asin(AC)sin Bcos A，sin(AC)sin B，sin Asin Bsin Bcos A，sin B0，sin Acos A，tan A，又A(0，)，A.(2)由題意可知SABCbcsin Abc×4，bc16，又a2b2c22bccos A，a2(bc)23bc，又b，a，c成等差數(shù)列，a24a248，a4，bc2a8，ABC的周長為abc12，設(shè)ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則r·(abc)SABC，即r×124，r.3.(2019·武漢部分學(xué)校調(diào)研)已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C.(1)求B的大??；(2)求sin Acos C的取值范圍.解：(1)銳角三角形ABC中，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C，故b2a2c2ac，cos B，又B，所以B.(2)由(1)知，CA，故sin Acos Csin Acossin Acos Asin.又A，CA，所以A，A，sin，故sin Acos C的取值范圍為.4.(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABC為銳角，ADBD，AC平分BAD，BC2，BD3，BCD的面積S.(1)求CD；(2)求ABC.解：(1)在BCD中，SBD·BC·sinCBD，BC2，BD3，sinCBD.ABC為銳角，CBD30°.在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BC·BD·cosCBD(2)2(3)22×2×(3)×9，CD3.(2)在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBDC.BCBD，BDC為銳角，cosBDC.在ACD中，由正弦定理得，即.在ABC中，由正弦定理得，即.AC平分BAD，CADBAC.由得，解得sinABC.ABC為銳角，ABC45°.- 8 -