第4講隨機事件的概率一、選擇題1.有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，任意兩人不能同一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”是()A.互斥但非對立事件 B.對立事件C.相互獨立事件 D.以上都不對解析由于任意兩人不能同一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件.答案A2.(2017·合肥模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3解析事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對立事件，由于P(A)0.65，所以由對立事件的概率公式得“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為P1P(A)10.650.35.答案C3.在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率為的事件是()A.至多有一張移動卡B.恰有一張移動卡C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡解析至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”、“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件，因此“至多有一張移動卡”的概率為.答案A4.某袋中有編號為1，2，3，4，5，6的6個球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是()A. B. C. D.解析設(shè)a，b分別為甲、乙摸出球的編號.由題意，摸球試驗共有36種不同結(jié)果，滿足ab的基本事件共有6種.所以摸出編號不同的概率P1.答案C5.擲一個骰子的試驗，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，若表示B的對立事件，則一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為()A. B. C. D.解析擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果.依題意P(A)，P(B)，P()1P(B)1，表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件，因此事件A與互斥，從而P(A)P(A)P().答案C二、填空題6.給出下列三個命題，其中正確命題有_個.有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率.解析錯，不一定是10件次品；錯，是頻率而非概率；錯，頻率不等于概率，這是兩個不同的概念.答案07.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為_.解析20組隨機數(shù)中，恰有兩次命中的有5組，因此該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為P.答案8.某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率P其中污染指數(shù)T50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50T100時，空氣質(zhì)量為良，100T150時，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為_.解析由題意可知2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為P.答案三、解答題9.某班選派5人，參加學校舉行的數(shù)學競賽，獲獎的人數(shù)及其概率如下：獲獎人數(shù)012345概率0.10.16xy0.2z(1)若獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56，求x的值；(2)若獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值.解記事件“在競賽中，有k人獲獎”為Ak(kN，k5)，則事件Ak彼此互斥.(1)獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56，P(A0)P(A1)P(A2)0.10.16x0.56.解得x0.3.(2)由獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，得P(A5)10.960.04，即z0.04.由獲獎人數(shù)最少3人的概率為0.44，得P(A3)P(A4)P(A5)0.44，即y0.20.040.44.解得y0.2.10.(2015·陜西卷)隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率.解(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為P.(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)，這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率f.以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為.11.設(shè)事件A，B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，則A，B之間的關(guān)系一定為()A.兩個任意事件 B.互斥事件C.非互斥事件 D.對立事件解析因為P(A)P(B)P(AB)，所以A，B之間的關(guān)系一定為互斥事件.答案B12.如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是()A. B. C. D.解析設(shè)被污損的數(shù)字為x，則甲(8889909192)90，乙(8383879990x)，若甲乙，則x8.若甲乙，則x可以為0，1，2，3，4，5，6，7，故P.答案C13.拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(AB)_.解析將事件AB分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1，2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3，5”.則C，D互斥，且P(C)，P(D)，P(AB)P(CD)P(C)P(D).答案14.(2017·昆明診斷)某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01 0002 0003 0004 000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率.解(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)P(B)0.150.120.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1 000100(輛)，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×12024(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為0.24，由頻率估計概率得P(C)0.24. 6