(通用版)2020高考數學二輪復習 規(guī)范解答集訓5 解析幾何 理
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(通用版)2020高考數學二輪復習 規(guī)范解答集訓5 解析幾何 理
規(guī)范解答集訓(五)解析幾何(建議用時:40分鐘)1(2019·蘭州一診)已知曲線C上的任意一點到直線l:x的距離與到點F的距離相等(1)求曲線C的方程;(2)若過P(1,0)的直線與曲線C相交于A,B兩點,Q(1,0)為定點,設直線AQ的斜率為k1,直線BQ的斜率為k2,直線AB的斜率為k,證明:為定值解(1)由條件可知,此曲線是焦點為F的拋物線,p1.拋物線的方程為y22x.(2)根據已知,設直線AB的方程為yk(x1)(k0),由可得ky22y2k0.設A,B,則y1y2,y1y22.k1,k2.4.4.2已知橢圓C:1(a>b>0)的右焦點F(,0),長半軸長與短半軸長的比值為2.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設不經過點B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M,N,若點B在以線段MN為直徑的圓上,證明直線l過定點,并求出該定點的坐標解(1)由題意得,c,2,a2b2c2,a2,b1,橢圓C的標準方程為y21.(2)證明:當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為ykxm(m1),M(x1,y1),N(x2,y2)由消去y可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)>0,x1x2,x1x2.點B在以線段MN為直徑的圓上,·0.·(x1,kx1m1)·(x2,kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20,(k21)k(m1)(m1)20,整理,得5m22m30,解得m或m1(舍去)直線l的方程為ykx.易知當直線l的斜率不存在時,不符合題意故直線l過定點,且該定點的坐標為.3(2019·洛陽一模)已知橢圓1(a>b>0)右頂點與右焦點的距離為2,短軸長為2,O為坐標原點(1)求橢圓的方程;(2)過點P(0,4)的直線l與橢圓分別交于A,B兩點,求OAB的面積的最大值解(1)由題意知ac2,2b2,b.聯立解得:c2,a.橢圓的方程為1.(2)由題意知直線l的斜率k存在,設直線方程為ykx4,聯立消去y得(13k2 )x224kx420.設點A(x1,y1),B(x2,y2),>0,即3k27>0,x1x2,x1·x2.O到AB的距離d,|AB|x1x2 |,所以SOAB|AB|d2·|x1x2|224·.令t3k27,t>0,3k21t8.SOAB4·4·4·.當且僅當t8,即k±時,OAB的面積的最大值為.4已知拋物線C:x22py(p0)的焦點為F,M(2,y0)是C上一點,且|MF|2.(1)求C的方程;(2)過點F的直線與拋物線C相交于A,B兩點,分別過點A,B兩點作拋物線C的切線l1,l2,兩條切線相交于點P,點P關于直線AB的對稱點Q,判斷四邊形PAQB是否存在外接圓,如果存在,求出外接圓面積的最小值;如果不存在,請說明理由解(1)根據題意知,42py0,因為|MF|2,所以y02,聯立解得y01,p2.所以拋物線C的方程為x24y.(2)四邊形PAQB存在外接圓設直線AB方程為ykx1,代入x24y中,得x24kx40,設點A(x1,y1),B(x2,y2)則16k2160,且x1x24k,x1x24,所以|AB|x1x2|4(k21),因為C:x24y,即y,所以y.因此,切線l1的斜率為k1,切線l2的斜率為k2,由于k1k21,所以PAPB,即PAB是直角三角形,所以PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點,線段AB是圓的直徑,所以點Q一定在PAB的外接圓上,即四邊形PAQB存在外接圓又因為|AB|4(k21),所以當k0時,線段AB最短,最短長度為4,此時圓的面積最小,最小面積為4.- 4 -