第2課時圓錐曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.已知橢圓x29+y2n2=1(n>0)與雙曲線x24-y2m2=1(m>0)有相同的焦點,則動點P(n,m)的軌跡是()A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分D.圓的一部分解析橢圓x29+y2n2=1與雙曲線x24-y2m2=1有相同的焦點,9-n2=4+m2,即m2+n2=5(0<n<3)這是圓的一部分.故選D.答案D2.(2018天津高考)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=1解析由雙曲線的對稱性,不妨取漸近線y=bax.如圖所示,|AD|=d1,|BC|=d2,過點F作EFCD于點E.由題易知EF為梯形ABCD的中位線,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因為點F(c,0)到y(tǒng)=bax的距離為|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因為e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以雙曲線的方程為x23-y29=1.故選C.答案C3.已知點A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3,4)(0),MA=-4MB,若拋物線y2=ax經(jīng)過A和B兩點,則a的值為()A.2B.-2C.-4D.4解析A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3,4)(0),直線AB的方程為y=43(x-1),與y2=ax聯(lián)立可得y2-34ay-a=0.y1+y2=34a,y1y2=-a,MA=-4MB,y1=-4y2.由可得a=4.故選D.答案D4.如果過點M(-2,0)的直線l與橢圓x22+y2=1有公共點,那么直線l的斜率k的取值范圍是()A.-,-22B.22,+C.-12,12D.-22,22解析設(shè)過點M(-2,0)的直線l的方程為y=k(x+2),聯(lián)立y=k(x+2),x22+y2=1,得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0.過點M(-2,0)的直線l與橢圓x22+y2=1有公共點,=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)0,整理得k212,解得-22k22,直線l的斜率k的取值范圍是-22,22.故選D.答案D5.已知圓C1:x2+y2=b2與橢圓C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若在橢圓C2上存在一點P,使得由點P所作的圓C1的兩條切線互相垂直,則橢圓C2的離心率的取值范圍是()A.22,32B.12,1C.32,1D.22,1解析設(shè)P(m,n),由題意知m2+n2=2b2,m2a2+n2b2=1,e2m2=b2,又0<|m|<a,0<m2a2,即b2e2a2,解得22e<1.故選D.答案D6.設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P是橢圓上一點,|PF1|=|PF2|122,F1PF2=2,則橢圓離心率的取值范圍為()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1解析設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),由橢圓的定義得,|PF1|+|PF2|=2a,可設(shè)|PF2|=t,可得|PF1|=t,即有(+1)t=2a.由F1PF2=2,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,即為(2+1)t2=4c2.由÷2,可得e2=2+1(+1)2.令m=+1,可得=m-1,即有2+1(+1)2=m2-2m+2m2=21m-122+12.由122,可得32m3,即131m23,則當(dāng)m=2時,取得最小值12;當(dāng)m=32或m=3時,取得最大值59.即有12e259,解得22e53.故選B.答案B7.(2018江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為32c,則其離心率的值為. 解析因為雙曲線的右焦點F(c,0)到漸近線y=±bax的距離為|bc±0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c.因為a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,所以a=12c,e=2.答案28.拋物線y2=-8x上到焦點距離等于6的點的坐標(biāo)是. 解析拋物線方程為y2=-8x,可得2p=8,p2=2,拋物線的焦點為F(-2,0),準(zhǔn)線為x=2.設(shè)拋物線上點P(m,n),到焦點F的距離等于6,根據(jù)拋物線的定義,得點P到F的距離等于P到準(zhǔn)線的距離,即|PF|=-m+2=6,解得m=-4,n2=8m=32,可得n=±42,因此,點P的坐標(biāo)為(-4,±42).答案(-4,±42)9.(2019全國高考)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若F1A=AB,F1B·F2B=0,則C的離心率為. 解析如圖,由F1A=AB,得|F1A|=|AB|.又|OF1|=|OF2|,得BF2OA,且|BF2|=2|OA|.由F1B·F2B=0,得F1BF2B.則OAF1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故BOF2=AOF1=2OF1B,得BOF2=60°.則ba=tan60°=3.所以e=ca=1+ba2=1+3=2.答案210.(2018江蘇高考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C過點3,12,焦點為F1(-3,0),F2(3,0),圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程;(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P.若直線l與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標(biāo);直線l與橢圓C交于A,B兩點.若OAB的面積為267,求直線l的方程.解(1)因為橢圓C的焦點為F1(-3,0),F2(3,0),可設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).又點3,12在橢圓C上,所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1.因此,橢圓C的方程為x24+y2=1.因為圓O的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3.(2)設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x02+y02=3,所以直線l的方程為y=-x0y0(x-x0)+y0,即y=-x0y0x+3y0.由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0,消去y,得(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點,所以=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.因為x0,y0>0,所以x0=2,y0=1.因此,點P的坐標(biāo)為(2,1).因為三角形OAB的面積為267,所以12AB·OP=267,從而AB=427.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得,x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y02),所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y02·48y02(x02-2)(4x02+y02)2.因為x02+y02=3,所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,即2x04-45x02+100=0,解得x02=52(x02=20舍去),則y02=12,因此P的坐標(biāo)為102,22.綜上,直線l的方程為y=-5x+32.能力提升1.已知點A(0,1),拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點為F,射線FA與拋物線相交于M,與其準(zhǔn)線相交于點N,若|FM|MN|=25,則a=()A.2B.4C.6D.8解析依題意點F的坐標(biāo)為a4,0,設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為K,由拋物線的定義知|MF|=|MK|,|FM|MN|=25,則|KN|KM|=12,kFN=0-1a4-0=-4a,kFN=-12.4a=2,求得a=2.故選A.答案A2.(2019全國高考)雙曲線C:x24-y22=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,O為坐標(biāo)原點.若|PO|=|PF|,則PFO的面積為()A.324B.322C.22D.32解析由已知可得a=2,b=2,則c=a2+b2=6,F(6,0).|PO|=|PF|,xP=62.又P在C的一條漸近線上,不妨設(shè)在漸近線y=22x上,yP=22×62=32.SPFO=12|OF|·|yP|=12×6×32=324.故選A.答案A3.(2019全國高考)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為. 解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則SMF1F2=12×|F1F2|×y0=4y0.又SMF1F2=12×4×82-22=415,4y0=415,解得y0=15.又點M在橢圓C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).點M的坐標(biāo)為(3,15).答案(3,15)4.(2018北京高考)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),雙曲線N:x2m2-y2n2=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,則橢圓M的離心率為;雙曲線N的離心率為. 解析根據(jù)題意可畫出下圖,其中BD和AC為雙曲線的漸近線,ABF2CDF1是正六邊形.由題意可知BOF2=3,故雙曲線的漸近線BD的方程為y=nmx=3x,故雙曲線的離心率e1=m2+n2m=m2+(3m)2m=2.設(shè)AB=x,由橢圓定義得|BF1|+|BF2|=3x+x=2a,2c=2x,故e2=2c2a=2x(3+1)x=3-1.答案3-125.(2018全國高考)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.6.已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸,離心率為22,且一個焦點坐標(biāo)為(2,0).(1)求橢圓M的方程;(2)設(shè)直線l與橢圓M相交于A,B兩點,以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點P在橢圓M上,O為坐標(biāo)原點,求點O到直線l的距離的最小值.解(1)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),ca=22,c=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,橢圓M的方程為x24+y22=1.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,聯(lián)立y=kx+m,x2+2y2=4,化為(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,化為2+4k2-m2>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).x0=x1+x2=-4km1+2k2,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2.點P在橢圓M上,x024+y022=1.4k2m2(1+2k2)2+2m2(1+2k2)2=1,化為2m2=1+2k2,滿足>0.又點O到直線l的距離d=|m|1+k2=12+k21+k2=1-12(1+k2)1-12=22.當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號.當(dāng)直線l無斜率時,由對稱性可知:點P一定在x軸上,從而點P的坐標(biāo)為(±2,0),直線l的方程為x=±1,點O到直線l的距離為1.點O到直線l的距離的最小值為22.9