培優(yōu)點(diǎn)十二 數(shù)列求和一、公式法例1：已知在數(shù)列中，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1），；（2）【解析】（1），數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，等差數(shù)列的公差為，（2）二、裂項(xiàng)相消法例2：已知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：由已知得，故數(shù)列為等差數(shù)列（2），三、錯(cuò)位相減法例3：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式綜上，（2），則前項(xiàng)和，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得四、并項(xiàng)求和法例4：已知等差數(shù)列中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）ABCD【答案】D【解析】由題，解得，設(shè)，則，數(shù)列的前項(xiàng)和為對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1設(shè)等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）ABCD【答案】C【解析】等差數(shù)列，聯(lián)立兩式得，2在等比數(shù)列中，已知，則的值為（）ABCD【答案】C【解析】由，得取，這時(shí)適合題意3已知是公差為的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，成等比數(shù)列，則（）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，因此，故選C4數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，則的前項(xiàng)的和為（）ABCD【答案】D【解析】的前項(xiàng)的和5數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則（）ABCD【答案】D【解析】的周期，故選D6已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）ABCD【答案】B【解析】由，得當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，得，故7在遞減的等差數(shù)列中，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（）ABCD【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)椋?，解得?舍去)，所以，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋詳?shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為二、填空題8已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，設(shè)，則的值是【答案】【解析】由，且，得數(shù)列是首項(xiàng)、公比都為的等比數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，則，所以，所以9已知函數(shù)，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則等于【答案】【解析】因?yàn)?，所以因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即設(shè)，又，得，所以三、解答題10已知等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2），11設(shè)數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，當(dāng)時(shí)，而，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由知，從而，得，即12已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，成等差數(shù)列，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求的值；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）若，求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1），成等差數(shù)列，又因?yàn)?，又，解得?舍)（2）記，當(dāng)時(shí)，又也符合上式，而，兩式相減得，而也符合上式，故（3），12