突破點(diǎn)8回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)提煉1變量的相關(guān)性(1)正相關(guān)：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域(2)負(fù)相關(guān)：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域(3)相關(guān)系數(shù)r：當(dāng)r>0時(shí)，兩變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)|r|1且|r|越接近于1，相關(guān)程度越高，當(dāng)|r|1且|r|越接近于0，相關(guān)程度越低.提煉2線性回歸方程方程x稱為線性回歸方程，其中，.(，)稱為樣本中心點(diǎn).提煉3獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)確定分類變量，獲取樣本頻數(shù)，得到列聯(lián)表(2)求觀測值：k.(3)根據(jù)臨界值表，作出正確判斷如果kk，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”回訪1變量的相關(guān)性1(2015全國卷)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()圖81A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)D對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確對(duì)于C選項(xiàng)，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D.2(2012全國卷)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A1B0C.D1D樣本點(diǎn)都在直線上時(shí)，其數(shù)據(jù)的估計(jì)值與真實(shí)值是相等的，即yii，代入相關(guān)系數(shù)公式r1.3(2015全國卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值圖82 (xi)2 (wi)2 (xi)(yi) (wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，wwi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.2分(2)令w，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于68， 563686.8100.6，4分所以y關(guān)于w的線性回歸方程為100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為100.668.6分(3)由(2)知，當(dāng)x49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值100.668576.6，年利潤z的預(yù)報(bào)值576.60.24966.32.8分根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值0.2(100.668)xx13.620.12.10分所以當(dāng)6.8，即x46.24時(shí)，取得最大值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大.12分回訪2獨(dú)立性檢驗(yàn)4(2012遼寧高考)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：圖83將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”(1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)附：K2，P(K2k)0.050.01k3.8416.635解(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而22列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)75251002分將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得k3.030.因?yàn)?.030<3.841，所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).6分(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.8分由題意知XB，從而X的分布列為X0123P10分E(X)np3，D(X)np(1p)3.12分熱點(diǎn)題型1回歸分析題型分析：高考命題常以實(shí)際生活為背景，重在考查回歸分析中散點(diǎn)圖的作用、回歸方程的求法和應(yīng)用，難度中等.在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5組數(shù)據(jù)，得到一個(gè)變量y關(guān)于x的回歸方程模型，其對(duì)應(yīng)的數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521(1)試作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ym哪一個(gè)適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立變量y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)(2)中所求的變量y關(guān)于x的回歸方程預(yù)測：當(dāng)x3時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值為多少？(保留四位有效數(shù)字)解(1)作出變量y與x之間的散點(diǎn)圖，如圖所示，2分由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，那么ym適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型.4分(2)由(1)知ym適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型，令t，則yktm，由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表如下：t4210.50.25y1612521 6分作出y與t的散點(diǎn)圖，如圖所示8分由圖可知y與t近似地呈線性相關(guān)關(guān)系又1.55，7.2，iyi94.25，21.312 5，所以k4.134 4，mk7.24.134 41.550.8，所以y4.134 4t0.8，所以y關(guān)于x的回歸方程為y0.8.10分(3)由(2)得y關(guān)于x的回歸方程是y0.8，當(dāng)x3時(shí)，可得y0.82.178.12分1正確理解計(jì)算，的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵其中線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)(，)2在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測變量的值變式訓(xùn)練1(2016石家莊二模)為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：噸)對(duì)價(jià)格y(單位：千元/噸)和年利潤z的影響，對(duì)近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表：x12345y7.06.55.53.82.2(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程x；(2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤z取到最大值？(保留兩位小數(shù))參考公式：，.解(1)3，5，2分i15，i25，iyi62.7，55，解得1.23，8.69，4分所以8.691.23x.6分(2)年利潤zx(8.691.23x)2x1.23x26.69x，10分所以當(dāng)x2.72，即年產(chǎn)量為2.72噸時(shí)，年利潤z取得最大值.12分熱點(diǎn)題型2獨(dú)立性檢驗(yàn)題型分析：盡管全國卷近幾年未在該點(diǎn)命題，但其極易與分層抽樣、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯，是潛在的命題點(diǎn)之一，須引起足夠的重視.(2016山西四校第二次聯(lián)考)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答選題情況如下表：(單位：人)幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？(2)經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在57分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在68分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率；(3)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記丙、丁2名女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)附表及公式：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2，nabcd.解題指導(dǎo)計(jì)算k下結(jié)論求概率求X的分布列及E(X)解(1)由表中數(shù)據(jù)得k5.556>5.024，2分所以有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān).3分(2)設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x，y分鐘，則表示的平面區(qū)域如圖所示設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”，則x>y滿足的區(qū)域如圖中陰影部分所示.5分由幾何概型可得P(A)，即乙比甲先解答完的概率為.7分(3)由題可知，在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人的方法有C28種，其中丙、丁2人沒有一個(gè)人被抽到的有C15種；恰有一人被抽到的有CC12種；2人都被抽到的有C1種所以X的可能取值為0,1,2，P(X0)，8分P(X1)，9分P(X2).10分X的分布列為：X012P11分E(X)012.12分求解獨(dú)立性檢驗(yàn)問題時(shí)要注意：一是22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)與公式中各個(gè)字母的對(duì)應(yīng)，不能混淆；二是注意計(jì)算得到k之后的結(jié)論變式訓(xùn)練2(名師押題)2016年1月1日起全國統(tǒng)一實(shí)施全面二孩政策為了解適齡民眾對(duì)放開生育二孩政策的態(tài)度，某市選取70后和80后作為調(diào)查對(duì)象，隨機(jī)調(diào)查了100人，得到數(shù)據(jù)如下表：生二孩不生二孩總計(jì)70后30154580后451055總計(jì)7525100(1)以這100人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率估計(jì)概率，若從該市70后公民中隨機(jī)抽取3人，記其中生二孩的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，是否有90%以上的把握認(rèn)為“生二孩與年齡有關(guān)”，并說明理由參考數(shù)據(jù)：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：K2，其中nabcd解(1)由已知得70后“生二孩”的概率為，并且XB，所以P(Xk)Ck3k(k0,1,2,3)，4分X的分布列為X0123P6分所以E(X)32.8分(2)由表中數(shù)據(jù)知k3.030>2.706，10分所以有90%以上的把握認(rèn)為“生二孩與年齡有關(guān)”.12分