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a4＝______________； (1－2a)2－(2－a)(1＋a)＝_______________；(x－2)(x＋2)－(1－2x)2＝_________________． 2．★★★★★用科學記數法表示較小的數：a×10－n （1≤|a|＜10） 方法：第一個不為零的數前面有幾個零就是負幾次方． 練習：（1）科學記數法表示0.0000103＝_________________． （2）1納米＝0.000000001米，則0.33納米＝________米．（用科學計數法表示） （3）把用科學記數法表示的數7.2×10－4寫成小數形式為___________________． 3．★★★★常考題型 （1）已知a＋b＝3，ab＝－1，則a2＋b2＝___________． （2）若多項式x2－(x－a)(x＋2b)＋4的值與x的取值大小無關，那么a，b一定滿足_____________． （3）關于x的代數式(3－ax)(x2＋2x－1)的展開式中不含x2項，則a＝___________． （4）若代數式x2＋3x＋2可以表示為(x－1)2＋a(x－1)＋b的形式，則a＋b的值是　　　　　　． （5）若(x－m)(2x＋3)＝2x2－nx＋3，則m－n＝__________． （6）若(2x－5y)2＝(2x＋5y)2＋M，則代數式M應是__________________． （7）如圖，一塊磚的外側面積為a，那么圖中殘留部分的墻面的面積為_______________． （8）如圖所示，某住宅小區(qū)內有一長方形地塊，想在長方形地塊內修筑同樣寬的兩條“之”字路，余下部分綠化，道路的寬為a 米，則綠化的面積為________________m2． （9）定義一種對正整數n的“F運算”：①當n為奇數時，結果為3n＋5；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數），并且運算重復進行．例如，取n＝26，則： 若n＝449，則第449次“F運算”的結果是_________． 第4章 因式分解 1．★★★★因式分解的概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解，也叫分解因式． 因式分解和整式乘法是互逆關系． 練習：下列從左到右邊的變形，是因式分解的是（ ） A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2 2．★★★★★因式分解的方法 （1）提公因式法：先確定應提取的公因式，然后用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式，最后把多項式寫成這兩個因式的積的形式．ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) 確定公因式的方法：系數的最大公因數和相同字母的最低次冪． 這里的“□”和“△”可以是單項式，也可以是多項式． （2）用乘法公式因式分解：①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 即：(□)2－(△)2＝(□＋△)(□－△) ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 即：(□)2±2(□)(△)＋(△)2＝(□±△)2 練習：（1）下列多項式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A．x2－4 B．x2＋2x＋4 C．4x2＋4x＋1 D．x2＋y2 （2）下列多項式能用平方差公式分解因式的是（ ） A．x2＋4 B．x2＋2x＋1 C．x2－4x D．－x2＋9 （3）因式分解：①a3－9a＝_____________________. ②x－xy2＝_____________________． ③x2－8x＋16＝_________________. ④3ax2－6axy＋3ay2＝________________． ⑤a3－4a(a－1)＝_________________.⑥(x－2y)2－x＋2y＝________________． 3．★★★★完全平方式：我們把多項式a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2叫做完全平方式． 即：(□)2±2(□)(△)＋(△)2 練習：（1）若x2＋(2p－3)x＋9是完全平方式，則p的值等于＝____________． （2）多項式9x2－x＋1加上一個單項式后成為一個整式的平方，請寫出3個滿足條件的 單項式：_____________________________． 4. 十字相乘法：十字分解法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等于二次項系數，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次項。其實就是運用乘法公式(ax+c)(bx+d)=abx2+(ad+bc)x+cd的逆運算來進行因式分解。 例題： 第5章 分式 1．★★分式的概念：表示兩個整式相除，且除式中含有字母的代數式． 兩個條件：①字母不在根號里；②分母上有字母． 2．★★★★★分式有意義的條件：分母不為0． 練習：（1）當x________時，分式有意義. （2）當a_______時，分式沒有意義． 3．★★★★★分式的值為0的條件：①分子等于0；②分母不等于0． 練習：（1）當x________時，分式的值為0. （2）當x________時，分式的值為0. 4．★★★★★分式的基本性質：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變. ＝，＝（其中M是不等于零的整式） 分式的約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，叫做分式的約分. 最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式. 練習：（1）下列分式為最簡分式的是（ ） A． B． C． D． （2）化簡：①＝_________；②＝___________． （3）若x－3y＝0，則分式的值是__________． 5．★★★★★分式的乘除：分式乘分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘． ·＝； ÷＝·＝． 練習：計算：①·＝___________；②－3xy÷____________． 6．★★★分式的加減：（1）同分母的分式相加減，分式的分母不變，把分子相加減．±＝． （2）異分母分式相加減，先通分化成同分母分式，再用同分母分式的加減法計算． 7．★★★通分的方法：取各分母的系數的最小公倍數和各分母所有字母的最高次冪的積為公分母． 8．★★★★★分式的化簡求值． （1）先化簡，再求值：÷－1，并選擇一個自己喜歡的數代入求值． （2）先化簡，再求值：÷，其中x＝－3． （3）先化簡，再求值：÷，然后x在1，2，3三個數中選一個合適的數代入求值． 9．★★★★★分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知數的方程． 解分式方程的一般步驟：（1）去分母：方程兩邊同乘公分母，公分母為分母的系數的最小公倍數和各分母所有字母的最高次冪的積．注意：①不要漏乘單獨的數字．②分子是多項式的要用括號括起來． （2）去括號：注意符號和不要漏乘． （3）移項，合并同類項：注意移項要變號． （4）兩邊同時除以未知數的系數：注意不要顛倒分子分母． （5）檢驗：把所求的根代入原分式方程，或者代入公分母，判斷方程中的分式有無意義．若無意義，則是増根． （6）寫出結論．一般寫法：經檢驗，x＝___是原方程的根； 或者：經檢驗，x＝___是原方程的增根，所以原方程無解． 練習：（1）解分式方程：①＝－1 ②＝ （2）若商品的買入價為a，售出價為b，則毛利率p＝（b＞a）．若已知p，b，則a＝__________． （3）對于非零的實數a、b，規(guī)定a⊕b＝－．若2⊕(2x－1)＝1，則x＝___________． （4）若關于x的分式方程2＋＝有増根，則増根是________，此時k＝_________． （5）若關于x的分式方程2＋＝無實數解，則k＝____________． （6）張老師和李老師住在同一個小區(qū)，離學校3000米，某天早晨，張老師和李老師分別于7點10分、7點15分離家騎自行車上班，剛好在校門口遇上，已知李老師騎車的速度是張老師的1.2倍，為了求他們各自騎自行車的速度，設張老師騎自行車的速度是x米/分，則可列得方程為（ ） A．－＝5 B．－＝5×60 C．－＝5 D．＋＝5×60 （7）甲、乙兩個工程隊共同承包某一城市美化工程，已知甲隊單獨完成這項工程需要30天，若由甲隊先做10天，剩下的工程由甲、乙兩隊合作8天完成．問乙隊單獨完成這項工程需要多少天？若設乙隊單獨完成這項工程需要x天．則可列方程為（ ） A．＋＝1 B．10＋8＋x＝30 C．＋8(＋)＝1 D．(1－)＋x＝8 第6章 數據與統(tǒng)計圖表 1．數據收集的方法：（1）直接途徑：直接觀察、測量、調查、實驗； （2）間接途徑：查閱文獻資料、使用互聯(lián)網查詢． 2．數據整理的方法：分類、排序、分組、編碼． 3．★★★★調查方式：（1）全面調查（普查）：人們根據研究自然現(xiàn)象或社會現(xiàn)象的需要，對所有的考察對象作調查． （2）抽樣調查：人們在研究某個自然現(xiàn)象或社會現(xiàn)象時，因為不方便、不可能或不必要 對所有的對象進行調查，于是從中抽取一部分對象作調查分析． 注意：抽取的樣本中的個體要有代表性，樣本容量要合適． 總體：所要考察的對象的全體； 個體：組成總體的每一個考察對象； 樣本：從總體中取出的一部分個體； 樣本容量：樣本中個體的數目． 練習：（1）PM2.5指數是測控空氣污染程度的一個重要指數．在一年中最可靠的一種觀測方法是（ ） A．隨機選擇5天進行觀測 B．選擇某個月進行連續(xù)觀測 C．選擇在春節(jié)7天期間連續(xù)觀測 D．每個月都隨機選中5天進行觀測 （2）下面的調查中，適宜采用全面調查方式的是（ ） A．了解居民對廢電池的處理情況 B．為了制作校服，了解某班同學的身高情況 C．檢測杭州的空氣質量 D．了解某市居民的閱讀情況 （3）下面調查中，適合抽樣調查的是（　 ?。? A．對全班同學的身高情況的調查 B．登機前對旅客的安全檢查 C．對我縣食品合格情況的調查 D．學校組織學生進行體格檢查 4．★★★★★條形統(tǒng)計圖：能清楚表示出每個項目的具體數目； 折線統(tǒng)計圖：能清楚反映事物的變化情況； 扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比． 練習：（1）要反映嘉興市一天內氣溫的變化情況宜采用（　 ?。? A．折線統(tǒng)計圖 B．扇形統(tǒng)計圖 C．頻數直方圖 D．條形統(tǒng)計圖 （2）如圖是某手機店今年1－5月份音樂手機銷售額統(tǒng)計圖．根據圖中信息， 可以判斷相鄰兩個月音樂手機銷售額變化最大的是（ ） A．1月至2月 B．2月至3月 C．3月至4月 D．4月至5月 （3）為了解某一路口某一時段的汽車流量，小明同學10天中在同一時段統(tǒng)計通過該路口的汽車數量（單位：輛），將統(tǒng)計結果繪制成如下折線統(tǒng)計圖： 由此估計一個月（30天）該時段通過該路口的汽車數量超過200輛的天數為（ ） A．9 B．10 C．12 D．15 （4）如圖分別是某班全體學生上學時乘車、步行、騎車人數的分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖（兩圖都不完整），下列結論錯誤的是（ ） A．該班總人數為50人 B．步行人數為30人 C．乘車人數是騎車人數的2.5倍 D．騎車人數占20% （5）某校根據去年初三學生參加中考的數學成績的等級，繪制成如圖的扇形統(tǒng)計圖，則圖中表示A等級的扇形的圓心角的大小為___________． 5．列頻數統(tǒng)計表的一般步驟： （1）選取組距，確定組數．組數＝的整數部分＋1． （2）確定各組的邊界值．第一組的起始邊界值通常取得比最小數據要小一些，一般的做法是邊界值比實際數據多取一位小數． （3）列表，填寫組別和統(tǒng)計各組頻數． 6．★★★★★樣本容量（數據個數）、頻數、頻率之間的相互關系 樣本容量＝頻數÷頻率 頻數＝樣本容量×頻率 頻率＝頻數÷樣本容量 練習：（1）一組數據的樣本容量是50，若某一小組的頻率是0.24，則該組的頻數為__________． （2）在全國初中數學希望杯競賽中，某校有40名同學進入復賽，把他們的成績分為六組，第一組至第四組的人數分別為10，5，7，6，第五組的頻率是0.2，則第六組的頻率是________． 7．頻數直方圖：由若干個寬等于組距，面積表示每一組頻數的長方形組成的統(tǒng)計圖． 注意：當各組組距都相等時，我們可以把組距看成“1”，那么各個小長方形的面積與它的高度在數值上相等，所以我們通常把小長方形的高度當成頻數． 8．組中值：每一組的兩個邊界值的平均數．后一組的組中值減去前一組的組中值＝組距． 9．2017年3月28日是全國中小學生安全教育日，某學校為加強學生的安全意識，組織了全校1500名學生參加安全知識競賽，從中抽取了部分學生成績(得分取正整數，滿分為100分)進行統(tǒng)計．請根據尚未完成的頻率分布表和頻數分布直方圖，解答下列問題： （1）這次抽取了_______名學生的競賽成績進行統(tǒng)計，其中：m＝_______，n＝_______； （2）補全頻數分布直方圖； （3）若成績在70分以下(含70分)的學生為安全意識不強，有待進一步加強安全教育，則該校安全意識不強的學生約有多少人？ 10．某市在2017年義務教育質量監(jiān)測過程中，為了解學生的家庭教育情況，就八年級學生平時主要和誰在一起生活進行了抽樣調查．下面是根據這次調查情況制作的不完整的頻數分布表和扇形統(tǒng)計圖． 請根據上述信息，回答下列問題： （1）a＝_______，b＝_______； （2）在扇形統(tǒng)計圖中，和外公外婆一起生活的學生所對應扇形圓心角的度數是_______； （3）若該市八年級學生共有3萬人，估計不與父母一起生活的學生有_______人． 11．中學生帶手機上學的現(xiàn)象越來越受到社會的關注，為此某記者隨機調查了某市城區(qū)若干名中學生家長對這種現(xiàn)象的態(tài)度(態(tài)度分為：A．無所謂；B．基本贊成；C．贊成；D．反對)．并將調查結果繪制成頻數折線統(tǒng)計圖1和扇形統(tǒng)計圖2(不完整)．請根據圖中提供的信息，解答下列問題： （1）此次抽樣調查中，共調查了______名中學生家長； （2）將圖1補充完整； （3）根據抽樣調查結果，請你估計該市城區(qū)6000名中學生家長中有多少名家長持反對態(tài)度？ 12．為了了解學生在一年中的課外閱讀量，九（1）班對九年級800名學生采用隨機抽樣的方式進行了問卷調查，調查的結果分為四種情況：A.10本以下；B.10～15本；C.16～20本；D.20本以上．根據調查結果統(tǒng)計整理并制作了如圖所示的兩幅統(tǒng)計圖表： 各種情況人數統(tǒng)計頻數分布表 課外閱讀情況 A B C D 頻數 20 x y 40 （1）在這次調查中一共抽查了______名學生； （2）表中x，y的值分別為：x＝______，y＝______； （3）在扇形統(tǒng)計圖中，C部分所對應的扇形的圓心角是________度； （4）根據抽樣調查結果，請估計九年級學生一年閱讀課外書20本以上的學生人數． 18 .