專題檢測（十三） 概 率A組“633”考點落實練一、選擇題1.(2019·全國卷)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.B.C. D.解析：選D設(shè)兩位男同學(xué)分別為A，B，兩位女同學(xué)分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學(xué)排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示.由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果(畫“”的情況)共有12種，故所求概率為.故選D.2.已知定義在區(qū)間3，3上的函數(shù)f(x)2xm滿足f(2)6，在3，3上任取一個實數(shù)x，則使得f(x)的值不小于4的概率為()A. B.C. D.解析：選Bf(2)6，22m6，解得m2.由f(x)4，得2x24，即x1，而x3，3，故根據(jù)幾何概型的概率計算公式，得f(x)的值不小于4的概率P.故選B.3.(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在區(qū)間，上隨機取兩個實數(shù)a，b，記向量m(a，4b)，n(4a，b)，則m·n42的概率為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選B在區(qū)間，上隨機取兩個實數(shù)a，b，則點(a，b)在如圖所示的正方形內(nèi)部及其邊界上.因為m·n4a24b242，所以a2b22，滿足條件的點(a，b)在以原點為圓心，為半徑的圓外部(含邊界)，且在正方形內(nèi)(含邊界)，如圖中陰影部分所示，所以m·n42的概率P1，故選B.4.(2019·成都第一次診斷性檢測)齊王有上等、中等、下等馬各一匹；田忌也有上等、中等、下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進(jìn)行一場比賽，若有優(yōu)勢的馬一定獲勝，則齊王的馬獲勝的概率為()A. B.C. D.解析：選C將齊王的上等、中等、下等馬分別記為a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等馬分別記為b1，b2，b3，則從雙方的馬匹中隨機各選一匹進(jìn)行比賽，其對陣情況有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9種，其中齊王的馬獲勝的對陣情況有a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3，共6種，所以齊王的馬獲勝的概率P，故選C.5.從4名男生和2名女生中任選3人參加某項活動，則所選的3人中女生人數(shù)不超過1的概率是()A.0.8B.0.6C.0.4 D.0.2解析：選A設(shè)事件Q為“所選3人中女生人數(shù)不超過1”，事件M為“所選3人中女生人數(shù)為1”，事件N為“所選3人中女生人數(shù)為0”，則事件M，N是互斥事件.4名男生分別記為1，2，3，4；2名女生分別記為a，b.從4名男生和2名女生中任選3人有20種不同的結(jié)果，分別為1，2，3，1，2，4，1，2，a，1，2，b，1，3，4，1，3，a，1，3，b，1，4，a，1，4，b，1，a，b，2，3，4，2，3，a，2，3，b，2，4，a，2，4，b，2，a，b，3，4，a，3，4，b，3，a，b，4，a，b.事件M所含的基本事件分別為1，2，a，1，2，b，1，3，a，1，3，b，1，4，a，1，4，b，2，3，a，2，3，b，2，4，a，2，4，b，3，4，a，3，4，b，共12個，所以P(M)；事件N所含的基本事件分別為1，2，3，1，2，4，1，3，4，2，3，4，共4個，所以P(N)；所以事件Q的概率為P(Q)P(M)P(N)0.8，故選A.6.如圖(1)所示的風(fēng)車是一種用紙折成的玩具.它用高粱稈、膠泥瓣兒和彩紙制成，是老北京的象征，百姓稱它吉祥輪.風(fēng)車現(xiàn)已成為北京春節(jié)廟會和節(jié)俗活動的文化標(biāo)志物之一.圖(2)是用8個等腰直角三角形組成的風(fēng)車平面示意圖，若在示意圖內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為()A. B.C. D.解析：選B設(shè)白色的等腰直角三角形的斜邊長為2，則白色的等腰直角三角形直角邊的長為，所以白色部分的面積為S14×××4，易知陰影部分中的等腰直角三角形的腰長為1，所以陰影部分的面積為S24××1×12，由幾何概型的概率公式，可得此點取自陰影部分的概率為P.二、填空題7.一個三位自然數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)其中兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱為“有緣數(shù)”(如213，134等).若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是_.解析：由1，2，3組成的三位自然數(shù)可能為123，132，213，231，312，321，共6個；同理，由1，2，4組成的三位自然數(shù)有6個，由1，3，4組成的三位自然數(shù)有6個，由2，3，4組成的三位自然數(shù)有6個，共有666624個三位自然數(shù).由1，2，3或1，3，4組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個，所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率為.答案：8.甲、乙兩人在5次綜合測評中成績的莖葉圖如圖所示，其中一個數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績分別為x甲，x乙，則x甲x乙的概率是_.解析：設(shè)被污損的數(shù)字為x，由莖葉圖知x乙90，x甲89，污損處可取數(shù)字0，1，2，9，共10種，而x甲x乙時，8990，xN，污損處對應(yīng)的數(shù)字有6，7，8，9，共4種，故x甲x乙的概率為.答案：9.正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為a，在正方體內(nèi)隨機取一點M，則點M落在三棱錐B1­A1BC1內(nèi)的概率為_.解析：因為正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為a，所以三棱錐B1­A1BC1的體積··a·a·aa3，正方體ABCD­A1B1C1D1的體積為a3，所以在正方體內(nèi)隨機取一點M，則點M落在三棱錐B1­A1BC1內(nèi)的概率為.答案：三、解答題10.(2019·天津高考)2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目 ABCDEF子女教育××繼續(xù)教育×××大病醫(yī)療×××××住房貸款利息××住房租金×××××贍養(yǎng)老人×××試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發(fā)生的概率.解：(1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6910，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人.(2)從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為A，B，A，C，A，D，A，E，A，F(xiàn)，B，C，B，D，B，E，B，F(xiàn)，C，D，C，E，C，F(xiàn)，D，E，D，F(xiàn)，E，F(xiàn)，共15種.由表格知，符合題意的所有結(jié)果為A，B，A，D，A，E，A，F(xiàn)，B，D，B，E，B，F(xiàn)，C，E，C，F(xiàn)，D，F(xiàn)，E，F(xiàn)，共11種.所以事件M發(fā)生的概率P(M).11.(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量(單位：輛)如表：A類轎車B類轎車C類轎車舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法從這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛.(1)求z的值；(2)用分層抽樣的方法從C類轎車中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)xi(1i8，iN)，設(shè)樣本平均數(shù)為x，求|xix|0.5的概率.解：(1)設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得，所以n2 000，則z2 000(100300)(150450)600400.(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得，得a2，所以抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車.用A1，A2分別表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3分別表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，至少有1輛舒適型轎車”.從該樣本中任取2輛包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個，其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個.故P(E)，即所求的概率為.(3)樣本平均數(shù)x×(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)xi(1i8，iN)，|xix|0.5”，則從樣本中任取一個數(shù)有8個基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個.所以P(D)，即所求的概率為.12.已知二次函數(shù)f(x)ax24bx2.(1)任取a1，2，3，b1，1，2，3，4，記“f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)”為事件A，求A發(fā)生的概率.(2)任取(a，b)(a，b)|a4b60，a>0，b>0，記“關(guān)于x的方程f(x)0有一個大于1的根和一個小于1的根”為事件B，求B發(fā)生的概率.解：(1)因為a有3種取法，b有5種取法，則對應(yīng)的函數(shù)有3×515個.因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，若事件A發(fā)生，則a>0且1.數(shù)對(a，b)的取值為(1，1)，(2，1)，(2，1)，(3，1)，(3，1)共5種.所以P(A).(2)集合(a，b)|a4b60，a>0，b>0對應(yīng)的平面區(qū)域為RtAOB，如圖，其中點A(6，0)，B，則AOB的面積為××6.若事件B發(fā)生，則f(1)<0，即a4b2<0.所以事件B對應(yīng)的平面區(qū)域為BCD.由得交點坐標(biāo)為D(2，1).又C，則BCD的面積為××21.所以P(B).B組大題專攻強化練1.為了從某校甲、乙兩名學(xué)生中選拔出一名學(xué)生參加全國中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽，現(xiàn)對這兩名學(xué)生以往的若干次數(shù)學(xué)競賽成績進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)如下：(1)請你從這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均水平和穩(wěn)定性角度進(jìn)行分析，判斷應(yīng)選擇哪名學(xué)生參加競賽；(2)請你通過該組數(shù)據(jù)中甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績在xs與xs之間的概率大小進(jìn)行選擇，請給出你的選擇結(jié)果；(3)按照第(1)問的選取標(biāo)準(zhǔn)，為了迎接競賽，學(xué)校決定對所選學(xué)生以往的若干次數(shù)學(xué)競賽試卷進(jìn)行分析，每位老師負(fù)責(zé)分析其中的兩張試卷，求陳老師為該生分析的數(shù)學(xué)試卷分?jǐn)?shù)都在88分以上的概率.參考數(shù)據(jù)：8.2，8.0，7.9，8.7.解：(1)平均值：x甲82.4，x乙82.4，x甲x乙.樣本方差：s(7282.4)2(7482.4)2(9582.4)2(9682.4)267.44，s(7082.4)2(7182.4)2(9282.4)2(9382.4)275.44，由于ss，所以甲同學(xué)的成績相對穩(wěn)定，因此派甲同學(xué)參加比賽.(2)由于x甲x乙82.4，s甲8.2，s乙8.7，所以x甲s甲90.6，x甲s甲74.2，在x甲s甲與x甲s甲之間的成績有75，76，80，82，85，89，所以P甲，x乙s乙91.1，x乙s乙73.7，在x乙s乙與x乙s乙之間的成績有76，85，87，88，90，所以P乙，因為，所以派甲同學(xué)去參加比賽.(3)從10份試卷中任意抽取2份共有45種取法，2份試卷的分?jǐn)?shù)均在88分以上的有(89，95)，(89，96)，(95，96)，共3種，故陳老師為該生分析的數(shù)學(xué)試卷分?jǐn)?shù)都在88分以上的概率為.2.(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)某企業(yè)生產(chǎn)了一種新產(chǎn)品，在推廣期邀請了100位客戶試用該產(chǎn)品，每人一臺.試用一個月之后進(jìn)行回訪，由客戶先對產(chǎn)品性能作出“滿意”或“不滿意”的評價，再讓客戶決定是否購買該試用產(chǎn)品(不購買則可以免費退貨，購買則僅需付成本價).經(jīng)統(tǒng)計，決定退貨的客戶人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，“對性能滿意”的客戶比“對性能不滿意”的客戶多10人，“對性能不滿意”的客戶中恰有選擇了退貨.(1)請完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“客戶購買產(chǎn)品與對產(chǎn)品性能滿意之間有關(guān)”？對性能滿意對性能不滿意總計購買產(chǎn)品不購買產(chǎn)品總計(2)該企業(yè)為了改進(jìn)產(chǎn)品性能，現(xiàn)從“對性能不滿意”的客戶中按是否購買產(chǎn)品進(jìn)行分層抽樣，隨機抽取6位客戶進(jìn)行座談.座談后安排了抽獎環(huán)節(jié)，共有4張獎券，獎券上分別印有200元、400元、600元和800元字樣，抽到獎券可獲得相應(yīng)獎金.6位客戶有放回地進(jìn)行抽取，每人隨機抽取一張獎券，求6位客戶中購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎金不少于500元的概率.附：K2，其中nabcd，P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：(1)設(shè)“對性能不滿意”的客戶中購買產(chǎn)品的人數(shù)為x，則不購買產(chǎn)品的人數(shù)為2x，由此并結(jié)合題意可列出表：對性能滿意對性能不滿意總計購買產(chǎn)品x50不購買產(chǎn)品2x50總計3x103x100由表可得3x103x100，所以x15.完成2×2列聯(lián)表為對性能滿意對性能不滿意總計購買產(chǎn)品351550不購買產(chǎn)品203050總計5545100所以K29.0916.635，所以有99%的把握認(rèn)為“客戶購買產(chǎn)品與對產(chǎn)品性能滿意之間有關(guān)”.(2)由題意得，參加座談的6位客戶中購買產(chǎn)品的人數(shù)為2，退貨的人數(shù)為4.“6位客戶中購買產(chǎn)品的客戶抽取獎券”包含的基本事件有(200，200)，(200，400)，(200，600)，(200，800)，(400，200)，(400，400)，(400，600)，(400，800)，(600，200)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共16個.設(shè)事件A為“6位客戶中購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎金不少于500元”，則事件A包含的基本事件有(200，800)，(400，600)，(400，800)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共10個，則P(A).所以6位客戶中購買產(chǎn)品的客戶人均所得獎金不少于500元的概率是.3.(2019·江西省五校協(xié)作體試題)某市組織高三全體學(xué)生參加計算機操作比賽，成績?yōu)?至10分，隨機調(diào)閱了A，B兩所學(xué)校各60名學(xué)生的成績，得到樣本數(shù)據(jù)如下：A校樣本數(shù)據(jù)條形圖B校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計表成績/分12345678910人數(shù)/個000912219630(1)計算兩校樣本數(shù)據(jù)的均值和方差，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較；(2)從A校樣本數(shù)據(jù)中成績分別為7分、8分和9分的學(xué)生中按分層抽樣方法抽取6人，若從抽取的6人中任選2人參加更高一級的比賽，求這2人成績之和大于或等于15分的概率.解：(1)從A校樣本數(shù)據(jù)的條形圖可知，成績?yōu)?分、5分、6分、7分、8分、9分的學(xué)生分別有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校樣本數(shù)據(jù)的均值為xA6(分)，A校樣本數(shù)據(jù)的方差為s×6×(46)215×(56)221×(66)212×(76)23×(86)23×(96)21.5.從B校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計表可知，B校樣本數(shù)據(jù)的均值為xB6(分)，B校樣本數(shù)據(jù)的方差為s×9×(46)212×(56)221×(66)29×(76)26×(86)23×(96)21.8.因為xAxB，所以兩校學(xué)生的計算機成績平均分相同，又ss，所以A校學(xué)生的計算機成績比較集中，總體得分情況比B校好.(2)依題意，從A校樣本數(shù)據(jù)中成績?yōu)?分的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為×124，分別設(shè)為a，b，c，d；從成績?yōu)?分的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為×31，設(shè)為e；從成績?yōu)?分的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為×31，設(shè)為f.所有基本事件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15個，其中滿足條件的基本事件有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9個，所以從抽取的6人中任選2人參加更高一級的比賽，這2人成績之和大于或等于15分的概率P.4.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)某企業(yè)為了參加上海的進(jìn)博會，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1，2，6)，如表所示：試銷單價x/元456789產(chǎn)品銷量y/件q8483807568已知yi80.(1)求q的值；(2)已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y(件)關(guān)于試銷單價x(元)的線性回歸方程yx；(3)用i表示用正確的線性回歸方程得到的與xi對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計值，當(dāng)|iyi|1時，將銷售數(shù)據(jù)(xi，yi)稱為一個“好數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取2個，求抽取的2個銷售數(shù)據(jù)中至少有一個是“好數(shù)據(jù)”的概率.解：(1)由yi80，得80，解得q90.所以4，804×6.5106，所以所求的線性回歸方程為4x106.(3)由(2)知，當(dāng)x14時，190；當(dāng)x25時，286；當(dāng)x36時，382；當(dāng)x47時，478；當(dāng)x58時，574；當(dāng)x69時，670.與銷售數(shù)據(jù)對比可知滿足|iyi|1(i1，2，6)的共有3個：(4，90)，(6，83)，(8，75).從6個銷售數(shù)據(jù)中任取2個的所有可能結(jié)果有15(種)，其中2個銷售數(shù)據(jù)中至少有一個是“好數(shù)據(jù)”的結(jié)果有3×3312(種)，于是抽取的2個銷售數(shù)據(jù)中至少有一個是“好數(shù)據(jù)”的概率為.- 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