(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題五 解析幾何 第4講 圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題 練典型習題(含解析)
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(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題五 解析幾何 第4講 圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題 練典型習題(含解析)
第4講圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題1(2019·安徽省考試試題)已知橢圓C:1(a>b>0)的上頂點為P,右頂點為Q,直線PQ與圓x2y2相切于點M.(1)求橢圓C的方程;(2)若不經過點P的直線l與橢圓C交于A,B兩點,且·0,求證:直線l過定點解:(1)由已知得直線OM(O為坐標原點)的斜率kOM2,則直線PQ的斜率kPQ,所以直線PQ的方程為y,即x2y2.可求得P(0,1),Q(2,0),故a2,b1,故橢圓C的方程為y21.(2)證明:當直線l的斜率不存在時,顯然不滿足條件當直線l的斜率存在時,設l的方程為ykxn(n1),由,消去y整理得(4k21)x28knx4(n21)0,(8kn)24×4(4k21)(n21)16(4k21n2)>0,得4k21>n2.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2.由·0,得(x1,y11)·(x2,y21)0,又y1kx1n,y2kx2n,所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20,由得n1(舍),或n,滿足.此時l的方程為ykx,故直線l過定點.2(2019·南昌市第一次模擬測試)已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,P是C上的一個動點,且F1PF2面積的最大值為4.(1)求C的方程;(2)設C的左、右頂點分別為A,B,若直線PA,PB分別交直線x2于M,N兩點,過點F1作以MN為直徑的圓的切線,證明:切線長為定值,并求該定值解:(1)設P(x0,y0),橢圓的半焦距為c.因為SF1PF2|F1F2|·|y0|·2c·bbc,所以bc4.又e,a2b2c2,所以a4,b2,c2,所以C的方程為1.(2)由(1)可知A(4,0),B(4,0),F(xiàn)1(2,0)由題可知,x02,且x0±4.設直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,則直線PA的方程為yk1(x4),令x2得y6k1,故M(2,6k1)直線PB的方程為yk2(x4),令x2得y2k2,故N(2,2k2)記以MN為直徑的圓為圓D,則D(2,3k1k2)如圖,過點F1作圓D的一條切線,切點為T,連接F1D,DT,則|F1T|2|F1D|2|DT|2,所以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2,又k1,k2,所以k1·k2·,由1,得y(x16),所以k1·k2,則|F1T|21612k1k21612×25,所以|F1T|5.故切線長為定值5.3(2019·廣州市調研測試)已知動圓C過定點F(1,0),且與定直線x1相切(1)求動圓圓心C的軌跡E的方程;(2)過點M(2,0)的任一條直線l與軌跡E交于不同的兩點P,Q,試探究在x軸上是否存在定點N(異于點M),使得QNMPNM?若存在,求點N的坐標;若不存在,請說明理由解:(1)法一:依題意知,動圓圓心C到定點F(1,0)的距離,與到定直線x1的距離相等,由拋物線的定義,可得動圓圓心C的軌跡E是以F(1,0)為焦點,x1為準線的拋物線,其中p2.所以動圓圓心C的軌跡E的方程為y24x.法二:設動圓圓心C(x,y),依題意得|x1|,化簡得y24x,即為動圓圓心C的軌跡E的方程(2)假設存在點N(x0,0)滿足題設條件由QNMPNM可知,直線PN與QN的斜率互為相反數(shù),即kPNkQN0.易知直線PQ的斜率必存在且不為0,設直線PQ:xmy2,由,得y24my80.由(4m)24×8>0,得m>或m<.設P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1y24m,y1y28.由得kPNkQN0,所以y1(x2x0)y2(x1x0)0,即y1x2y2x1x0(y1y2)0.消去x1,x2,得y1yy2yx0(y1y2)0,即y1y2(y1y2)x0(y1y2)0.因為y1y20,所以x0y1y22,所以存在點N(2,0),使得QNMPNM.4(2019·福州市質量檢測)已知拋物線C1:x22py(p0)和圓C2:(x1)2y22,傾斜角為45°的直線l1過C1的焦點,且l1與C2相切(1)求p的值;(2)動點M在C1的準線上,動點A在C1上,若C1在A點處的切線l2交y軸于點B,設,求證:點N在定直線上,并求該定直線的方程解:(1)依題意,設直線l1的方程為yx,因為直線l1與圓C2相切,所以圓心C2(1,0)到直線l1:yx的距離d,即,解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)法一:依題意設M(m,3),由(1)知拋物線C1的方程為x212y,所以y,所以y,設A(x1,y1),則以A為切點的切線l2的斜率為k, 所以切線l2的方程為yx1(xx1)y1.令x0,則yxy1×12y1y1y1,即B點的坐標為(0,y1),所以(x1m,y13),(m,y13),所以(x12m,6),所以(x1m,3),設N點坐標為(x,y),則y3,所以點N在定直線y3上法二:設M(m,3),由(1)知拋物線C1的方程為x212y,設l2的斜率為k,A,則以A為切點的切線l2的方程為yk(xx1)x,聯(lián)立得,x212k(xx1)x,因為144k248kx14x0,所以k,所以切線l2的方程為yx1(xx1)x,令x0,得B點坐標為(0,x),所以,所以(x12m,6),所以(x1m,3),所以點N在定直線y3上 - 5 -