第4講圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題1(2019·安徽省考試試題)已知橢圓C：1(a>b>0)的上頂點為P，右頂點為Q，直線PQ與圓x2y2相切于點M.(1)求橢圓C的方程；(2)若不經過點P的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且·0，求證：直線l過定點解：(1)由已知得直線OM(O為坐標原點)的斜率kOM2，則直線PQ的斜率kPQ，所以直線PQ的方程為y，即x2y2.可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)證明：當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件當直線l的斜率存在時，設l的方程為ykxn(n1)，由，消去y整理得(4k21)x28knx4(n21)0，(8kn)24×4(4k21)(n21)16(4k21n2)>0，得4k21>n2.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由·0，得(x1，y11)·(x2，y21)0，又y1kx1n，y2kx2n，所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20，由得n1(舍)，或n，滿足.此時l的方程為ykx，故直線l過定點.2(2019·南昌市第一次模擬測試)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，P是C上的一個動點，且F1PF2面積的最大值為4.(1)求C的方程；(2)設C的左、右頂點分別為A，B，若直線PA，PB分別交直線x2于M，N兩點，過點F1作以MN為直徑的圓的切線，證明：切線長為定值，并求該定值解：(1)設P(x0，y0)，橢圓的半焦距為c.因為SF1PF2|F1F2|·|y0|·2c·bbc，所以bc4.又e，a2b2c2，所以a4，b2，c2，所以C的方程為1.(2)由(1)可知A(4，0)，B(4，0)，F(xiàn)1(2，0)由題可知，x02，且x0±4.設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則直線PA的方程為yk1(x4)，令x2得y6k1，故M(2，6k1)直線PB的方程為yk2(x4)，令x2得y2k2，故N(2，2k2)記以MN為直徑的圓為圓D，則D(2，3k1k2)如圖，過點F1作圓D的一條切線，切點為T，連接F1D，DT，則|F1T|2|F1D|2|DT|2，所以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2，又k1，k2，所以k1·k2·，由1，得y(x16)，所以k1·k2，則|F1T|21612k1k21612×25，所以|F1T|5.故切線長為定值5.3(2019·廣州市調研測試)已知動圓C過定點F(1，0)，且與定直線x1相切(1)求動圓圓心C的軌跡E的方程；(2)過點M(2，0)的任一條直線l與軌跡E交于不同的兩點P，Q，試探究在x軸上是否存在定點N(異于點M)，使得QNMPNM？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)法一：依題意知，動圓圓心C到定點F(1，0)的距離，與到定直線x1的距離相等，由拋物線的定義，可得動圓圓心C的軌跡E是以F(1，0)為焦點，x1為準線的拋物線，其中p2.所以動圓圓心C的軌跡E的方程為y24x.法二：設動圓圓心C(x，y)，依題意得|x1|，化簡得y24x，即為動圓圓心C的軌跡E的方程(2)假設存在點N(x0，0)滿足題設條件由QNMPNM可知，直線PN與QN的斜率互為相反數(shù)，即kPNkQN0.易知直線PQ的斜率必存在且不為0，設直線PQ：xmy2，由，得y24my80.由(4m)24×8>0，得m>或m<.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y24m，y1y28.由得kPNkQN0，所以y1(x2x0)y2(x1x0)0，即y1x2y2x1x0(y1y2)0.消去x1，x2，得y1yy2yx0(y1y2)0，即y1y2(y1y2)x0(y1y2)0.因為y1y20，所以x0y1y22，所以存在點N(2，0)，使得QNMPNM.4(2019·福州市質量檢測)已知拋物線C1：x22py(p0)和圓C2：(x1)2y22，傾斜角為45°的直線l1過C1的焦點，且l1與C2相切(1)求p的值；(2)動點M在C1的準線上，動點A在C1上，若C1在A點處的切線l2交y軸于點B，設，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程解：(1)依題意，設直線l1的方程為yx，因為直線l1與圓C2相切，所以圓心C2(1，0)到直線l1：yx的距離d，即，解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)法一：依題意設M(m，3)，由(1)知拋物線C1的方程為x212y，所以y，所以y，設A(x1，y1)，則以A為切點的切線l2的斜率為k， 所以切線l2的方程為yx1(xx1)y1.令x0，則yxy1×12y1y1y1，即B點的坐標為(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，設N點坐標為(x，y)，則y3，所以點N在定直線y3上法二：設M(m，3)，由(1)知拋物線C1的方程為x212y，設l2的斜率為k，A，則以A為切點的切線l2的方程為yk(xx1)x，聯(lián)立得，x212k(xx1)x，因為144k248kx14x0，所以k，所以切線l2的方程為yx1(xx1)x，令x0，得B點坐標為(0，x)，所以，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，所以點N在定直線y3上 - 5 -