第2講三角恒等變換與解三角形做真題題型一三角恒等變換1(2019·高考全國卷)已知，2sin 2cos 21，則sin ()ABCD解析：選B.由2sin 2cos 21，得4sin cos 12 sin21，即2sin cos 1sin2.因為，所以cos ，所以2sin 1sin2 ，解得sin ，故選B.2(2018·高考全國卷)若sin ，則cos 2()ABCD 解析：選B.cos 212sin212×.3(2016·高考全國卷)若cos，則sin 2()ABCD解析：選D.因為coscoscos sin sin (sin cos )，所以sin cos ，所以1sin 2，所以sin 2，故選D.題型二三角形中的邊角計算問題1(2018·高考全國卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB()A4BCD2解析：選A.因為cos ，所以cos C2cos212×1.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos C52122×5×1×32，所以AB4.故選A.2(2016·高考山東卷)ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，則A()ABCD解析：選C.由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0<A<，所以A.3(2019·高考全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因為0°A180°，所以A60°.(2)由(1)知B120°C，由題設及正弦定理得sin Asin(120°C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60°).由于0°C120°，所以sin(C60°)，故sin Csin(C60°60°)sin(C60°)cos 60°cos(C60°)sin 60°.題型三與三角形面積有關(guān)的問題1(2018·高考全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C()ABCD 解析：選C.根據(jù)題意及三角形的面積公式知absin C，所以sin Ccos C，所以在ABC中，C.2(2019·高考全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b6，a2c，B，則ABC的面積為_解析：法一：因為a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c22×2c×ccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面積Sacsin B×4×2×sin 6.法二：因為a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c22×2c×ccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面積S×2×66.答案：63(2019·高考全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC為銳角三角形，且c1，求ABC面積的取值范圍解：(1)由題設及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因為sin A0，所以sinsin B.由ABC180°，可得sincos，故cos2sincos.因為cos0，故sin，因此B60°.(2)由題設及(1)知ABC的面積SABCa.由正弦定理得a.由于ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知AC120°，所以30°<C<90°，故<a<2，從而<SABC<.因此，ABC面積的取值范圍是.山東省學習指導意見1三角恒等變換(1)會利用向量推導出兩角差的余弦公式，并能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系(2)能運用上述公式進行簡單的恒等變換2解三角形(1)通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題(2)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題三角恒等變換與求值考法全練1(2019·高考全國卷)tan 255°()A2B2C2D2解析：選D.由正切函數(shù)的周期性可知，tan 255°tan(180°75°)tan 75°tan(30°45°)2，故選D.2(一題多解)(2019·福建五校第二次聯(lián)考)已知cos，則sin 2()ABCD解析：選C.法一：因為cos，所以sin 2sincos 22cos212×1.故選C.法二：令，則，cos ，所以sin 2sin 2sincos 22cos212×1.故選C.法三：因為cos，所以(cos sin )，所以cos sin ，平方得1sin 2，得sin 2.故選C.3已知，tan 2，則cos_解析：因為，tan 2，所以sin ，cos ，所以coscos cossin sin×.答案：4(2019·貴州黔東南一模改編)已知sin 3cos ，則tan 2_，tan_解析：因為(sin 3cos )2sin26sin cos 9cos210(sin2cos2)，所以9sin26sin cos cos20，則(3tan 1)20，即tan ，所以tan 2，tan2.答案：2三角恒等變換要遵循的“三看”原則一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分；二看“函數(shù)名稱”，是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結(jié)構(gòu)特征”，了解變式或化簡的方向 三角形的基本量的計算典型例題命題角度一求解三角形中的角 (1)(2019·江西七校第一次聯(lián)考)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ba(cos Csin C)，a2，c，則角C()ABCD(2)已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bcos Cbsin Ca.求角B的大??；若BC邊上的高等于a，求cos A的值【解】(1)選D.由ba，得sin Bsin A.因為sin Bsinsin(AC)，所以sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Asin C(sin C0)，即cos Asin A，所以tan A.因為0<A<，所以A.由正弦定理，得sin C.因為0<C<，所以C.故選D.(2)由bcos Cbsin Ca，得sin Bcos Csin Bsin Csin A.因為ABC，所以sin Bcos Csin Bsin Csin(BC)，即sin Bcos Csin Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C，因為sin C0，所以sin Bcos B.因為B(0，)，所以B.設BC邊上的高為AD，則ADa.因為B，所以BDADa，所以CDa，所以ACa，ABa.由余弦定理得cos A.利用正、余弦定理求三角形角的方法(1)已知兩邊及其夾角，先由余弦定理求第三邊，再由正弦定理求角(2)已知三邊，直接由余弦定理求角(3)已知兩邊及其中一邊的對角，先由正弦定理求另一邊的對角，再由三角形內(nèi)角和求第三角技能利用正、余弦定理求角時的兩個失分點：(1)已知兩邊及其中一邊的對角求其他角時，有一解、兩解的情況，容易把握不準而出錯；(2)在變形時，直接兩邊約去公因式，沒有移項后提公因式，產(chǎn)生漏解 命題角度二求解三角形中的邊與面積 如圖所示，在ABC中，點D為BC邊上一點，且BD1，E為AC的中點，AE，cos B，ADB.(1)求AD的長；(2)求ADE的面積【解】(1)在ABD中，因為cos B，B(0，)，所以sin B，所以sinBADsin(BADB)××.由正弦定理知，得AD2.(2)由(1)知AD2，依題意得AC2AE3，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2DC22AD·DCcosADC，即94DC22×2×DCcos，所以DC22DC50，解得DC1(負值舍去)，所以SACDAD·DCsinADC×2×(1)×，從而SADESACD.利用余弦定理求邊，一般是已知三角形的兩邊及其夾角利用正弦定理求邊，必須知道兩角及其中一邊，如該邊為其中一角的對邊，要注意解的多樣性與合理性而三角形的面積主要是利用兩邊與其夾角的正弦值求解技能三角形的面積主要是利用Sabsin C求解，有時可以直接利用余弦定理求出ab的整體值再求面積，而不必分別求出a，b的值 對點訓練1(一題多解)(2019·廣州市綜合檢測一)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知ccos B(3ab)cos C.(1)求sin C的值；(2)若c2，ba2，求ABC的面積解：(1)法一：因為ccos B(3ab)cos C，所以由正弦定理得sin Ccos B(3sin Asin B)cos C，即sin Ccos Bsin Bcos C3sin Acos C，所以sin(BC)3sin Acos C，由于ABC，所以sin(BC)sin(A)sin A，則sin A3sin Acos C.因為0<A<，所以sin A0，cos C.因為0<C<，所以sin C.法二：因為ccos B(3ab)cos C，所以由余弦定理得c×(3ab)×，化簡得a2b2c2ab，所以cos C.因為0<C<，所以sin C.(2)法一：由余弦定理c2a2b22abcos C，及c2，cos C，得a2b2ab24，即(ab)2ab24.因為ba2，所以ab15.所以ABC的面積Sabsin C×15×5.法二：由余弦定理c2a2b22abcos C，及c2，cos C，得a2b2ab24.又ba2，所以a3，b5.所以ABC的面積Sabsin C×15×5.2(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預測)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為S，且滿足sin B.(1)求sin Asin C；(2)若4cos Acos C3，b，求ABC的周長解：(1)由三角形的面積公式可得Sbcsin A，又sin B，所以2bcsin Asin Bb2，即2csin Asin Bb，由正弦定理可得2sin Csin Asin Bsin B，因為sin B0，所以sin Asin C.(2)因為4cos Acos C3，所以cos Acos C，所以cos Acos Csin Asin C，即cos(AC)，所以cos B，因為0<B<，所以sin B，因為4，所以sin Asin C，所以ac8，因為b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B，所以(ac)2151227，所以ac3.所以ABC的周長為abc3.解三角形的綜合問題典型例題命題角度一以平面幾何為載體的解三角形問題 (2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABC為銳角，ADBD，AC平分BAD，BC2，BD3，BCD的面積S.(1)求CD；(2)求ABC.【解】(1)在BCD中，SBD·BC·sinCBD，因為BC2，BD3，所以sinCBD.因為ABC為銳角，所以CBD30°.在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BC·BD·cosCBD(2)2(3)22×2×(3)×9，所以CD3.(2)在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBDC.因為BC<BD，所以BDC為銳角，所以cosBDC.在ACD中，由正弦定理得，即.在ABC中，由正弦定理得，即.因為AC平分BAD，所以CADBAC.由得，解得sinABC.因為ABC為銳角，所以ABC45°.解決以平面幾何為載體的問題，主要注意以下幾方面：一是充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)；二是出現(xiàn)多個三角形時，從條件較多的三角形突破求解；三是四邊形問題要轉(zhuǎn)化到三角形中去求解；四是通過三角形中的不等關(guān)系(如大邊對大角，最大角一定大于等于)確定角或邊的范圍 命題角度二三角形中的最值或范圍問題 (1)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且，則ABC面積的最大值為_(2)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，則c_若ab2，則c的取值范圍為_【解析】(1)因為，所以(2cb)，由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，又sin B0，所以sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，即sin(AB)2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，又sin C0，所以cos A，sin A.設外接圓的半徑為r，則r1，由余弦定理得bcb2c2a2b2c2(2rsin A)2b2c232bc3(當且僅當bc時，等號成立)，所以bc3，所以SABCbcsin Abc.所以ABC面積的最大值為.(2)由sin Acos Bsin Bcos Asin(AB)sin C及正弦定理，可知acos Bbcos Ac，則由(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，得a2b2c2ab，由余弦定理可得cos C，則C，BA，由正弦定理，得，又ab2，所以2，即c，因為A，所以A，sin，則c1，2)【答案】(1)(2)1，2)解三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍 對點訓練1.(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)如圖，在平面四邊形ABCD中，E為AB邊上一點，連接CE，DE.CB2，BE1，BCED.(1)求sinAED的值；(2)若ABCD，求CD的長解：(1)在BEC中，由余弦定理得，CE，又，所以sinBCE，因為BCED，所以sinAEDsinBCE.(2)因為ABCD，所以CDEAED，所以sinCDEsinAED，在CDE中，所以CD7.2(2019·福建五校第二次聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且acos C(2bc)cos A.(1)求角A的大??；(2)若a2，求ABC面積的最大值解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C2sin Bcos Asin Ccos A，從而sin(AC)2sin Bcos A，即sinB2sin BcosA.又B為三角形的內(nèi)角，所以sin B0，于是cos A，又A為三角形的內(nèi)角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2c22bc×2bcbc，所以bc4(2)，所以SABCbcsin A2，故ABC面積的最大值為2.A組夯基保分專練一、選擇題1已知sin()，<<，則cos 2的值為()ABCD解析：選C.因為sin()，<<，<<，所以cos()<0，可得cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin ，cos 212sin21，故選C.2(2019·高考全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin Absin B4csin C，cos A，則()A6B5C4D3解析：選A.由題意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos A，得6.故選A.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，則sin B為()ABCD解析：選A.由bsin Basin Aasin C，且c2a，得ba，因為cos B，所以sin B .4(一題多解)在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，則BC邊上的高等于()A1BCD2解析：選A.法一：因為tanBAC3，所以sinBAC，cosBAC.由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC522×××9，所以BC3，所以SABCAB·AC·sinBAC×××，所以BC邊上的高h1，故選A.法二：因為tanBAC3，所以cosBAC<0，則BAC為鈍角，因此BC邊上的高小于，故選A.5.如圖，在ABC中，C，BC4，點D在邊AC上，ADDB，DEAB，E為垂足若DE2，則cos A等于()ABCD解析：選C.依題意得，BDAD，BDCABDA2A.在BCD中，×，即，由此解得cos A.6(多選)下列命題中，正確的是()A在ABC中，若A>B，則sin A>sin BB在銳角三角形ABC中，不等式sin A>cos B恒成立C在ABC中，若acos Abcos B0，則ABC必是等腰直角三角形D在ABC中，若B60°，b2ac，則ABC必是等邊三角形解析：選ABD.對于A，在ABC中，由正弦定理可得，所以sin A>sin Ba>bA>B，故A正確；對于B，在銳角三角形ABC中，A，B，且AB>，則>A>B>0，所以sin A>sincos B，故B正確；對于C，在ABC中，由acos Abcos B，利用正弦定理可得sin 2Asin 2B，得到2A2B或2A2B，故AB或AB，即ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，在ABC中，若B60°，b2ac，由余弦定理可得，b2a2c22accos B，所以aca2c2ac，即(ac)20，解得ac.又B60°，所以ABC必是等邊三角形，故D正確故選ABD.二、填空題7(2019·濟南聯(lián)考改編)若tan(2)2，tan 3，則tan()_，tan _解析：因為tan(2)2，tan 3，所以tan()tan(2)1.tan tan().答案：18已知a，b，c是ABC中角A，B，C的對邊，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，則c的取值范圍為_解析：由，得，所以c8cos A，因為16b2c22bccos A，所以16b264cos2A16bcos2A，又b4，所以cos2A，所以c264cos2A64×164b.因為b(4，6)，所以32<c2<40，所以4<c<2.答案：(4，2)9(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)檢測)設ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c成等比數(shù)列，cos(AC)cos B，延長BC至點D，若BD2，則ACD面積的最大值為_解析：法一：由題意知b2ac，由正弦定理得sin2Bsin Asin C，又由已知，得cos(AC)cos(AC)，可得cos Acos C，得sin2Bcos B，所以cos2Bcos B0，解得cos B或cos B(舍去)，所以B60°，再由題得cos(AC)1，則AC0，即AC，則ac，所以ABC為正三角形，則ACD120°，ACb，CD2b，故SACD×b×(2b)×，當且僅當b2b，即b1時取等號故填.法二：由題意知b2ac，且cos(AC)cos(AC)，即cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C，即cos Acos C，由余弦定理得·，整理得b4(a2c2)2b4，所以a2c20，即ac，又b2ac，所以abc，即ABC為正三角形，所以SACDSABDSABC×2×c×c2(c1)2，當c1時取等號，故填.答案：三、解答題10(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2c2b2abcos Aa2cos B.(1)求角B；(2)若b2，tan C，求ABC的面積解：(1)因為a2c2b2abcos Aa2cos B，所以由余弦定理，得2accos Babcos Aa2cos B，又a0，所以2ccos Bbcos Aacos B，由正弦定理，得2sin Ccos Bsin Bcos Asin Acos Bsin(AB)sin C，又C(0，)，sin C>0，所以cos B.因為B(0，)，所以B.(2)由tan C，C(0，)，得sin C，cos C，所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C××.由正弦定理，得a6，所以ABC的面積為absin C×6×2×6.11(2019·武漢模擬)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A2B，cos B.(1)求sin C的值；(2)若角A的平分線AD的長為，求b的值解：(1)由cos B及0<B<，得sin B，又A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B2××，cos Acos 2B2cos2B1.故sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B××.(2)由題意得，ADCBBACBAC(如圖)，所以sinADC.在ADC中，即，AC，故b.12(2019·高考天津卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bc2a，3csin B4asin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B，又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.又因為bc2a，得到ba，ca.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)可得sin B，從而sin 2B2sin Bcos B，cos 2Bcos2Bsin2B，故sinsin 2Bcoscos 2Bsin ××.B組大題增分專練1(2019·江西七校第一次聯(lián)考)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)(1)求角C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解：(1)由a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)及正弦定理，得a(ab)(cb)(cb)，即a2b2c2ab.所以cos C，又C(0，)，所以C.(2)由(1)知a2b2c2ab，所以(ab)23abc27，又Sabsin Cab，所以ab6，所以(ab)273ab25，ab5.所以ABC的周長為abc5.2(一題多解)(2019·福州模擬)如圖，在ABC中，M是邊BC的中點，cosBAM，cosAMC.(1)求B的大?。?2)若AM，求AMC的面積解：(1)由cosBAM，得sinBAM，由cosAMC，得sinAMC.又AMCBAMB，所以cosBcos(AMCBAM)cosAMCcosBAMsinAMCsinBAM××，又B(0，)，所以B.(2)法一：由(1)知B，在ABM中，由正弦定理，得BM.因為M是邊BC的中點，所以MC.故SAMCAM·MC·sinAMC×××.法二：由(1)知B，在ABM中，由正弦定理，得BM.因為M是邊BC的中點，所以SAMCSABM，所以SAMCSABMAM·BM·sinBMA×××.3(2019·昆明市質(zhì)量檢測)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2(cacos B)b.(1)求角A；(2)若a2，求ABC面積的取值范圍解：(1)由2(cacos B)b及正弦定理得2(sin Csin Acos B)sin B，所以2sin(AB)2sin Acos Bsin B，即2cos Asin Bsin B，因為sin B0，所以cos A，又0<A<，所以A.(2)因為a2，由正弦定理得b4sin B，c4sin C，所以SABCbcsin Abc，所以SABC4sin Bsin C，因為C(AB)B，所以sin Csin，所以SABC4sin Bsin4sin B，即SABC2sin Bcos B2sin2Bsin 2Bcos 2B2sin.因為0<B<，所以<2B<，所以<sin1，所以0<SABC2.即ABC面積的取值范圍為(0，24已知在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，AB邊上的高hc.(1)若ABC為銳角三角形，且cos A，求角C的正弦值；(2)若C，M，求M的值解：(1)作CDAB，垂足為D，因為ABC為銳角三角形，且cos A，所以sin A，tan A，所以AD，BDABAD，所以BC，由正弦定理得sinACB.(2)因為SABCc×cabsinACBab，所以c2ab，又a2b2c22abcosACBab，所以a2b2abc2，所以a2b2c2abc2ab×ab2ab，所以M2. - 22 -