第29講平面向量的數(shù)量積夯實基礎(chǔ)【p67】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角及判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系5會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題【基礎(chǔ)檢測】1在四邊形ABCD中，·0，且，則四邊形ABCD是()A平行四邊形 B菱形C矩形 D正方形【解析】在四邊形ABCD中，·0，ABBC，AB綊DC，四邊形ABCD是矩形故選C.【答案】C2已知向量a(1，)，b(t，2)，若向量b在a方向上的投影為，則實數(shù)t()A1 B1 C3 D5【解析】根據(jù)一個向量在另一個向量方向上的投影的定義，可得，解得t1，故選A.【答案】A3已知a，b，c都是單位向量，且abc，則a·c的值為_【解析】由abc得acb，兩邊平方得a22a·cc2(b)2，又a，b，c都是單位向量，所以有12a·c11，所以a·c.【答案】4已知向量a，b滿足|a|b|2且(a2b)·(ab)2，則向量a與b的夾角為_【解析】設(shè)a與b的夾角為.依題意得a22b2a·b2，484cos 2，cos .又0，因此，即向量a與b的夾角為.【答案】【知識要點】1兩向量的夾角已知非零向量a，b，作a，b，則AOB叫作a與b的夾角a與b的夾角的取值范圍是_0，_當(dāng)a與b同向時，它們的夾角為_0_；當(dāng)a與b反向時，它們的夾角為_；當(dāng)夾角為90°時，我們說a與b垂直，記作ab.2向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，我們把_|a|b|cos_叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即0·a0.3向量數(shù)量積的幾何意義向量的投影：|a|cos 叫作向量a在b方向上的投影，當(dāng)為銳角時，它是正值；當(dāng)為鈍角時，_它是負(fù)值_；當(dāng)為直角時，它是零a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于_a的長度|a|_與b在a方向上的投影|b|cos 的乘積4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|_數(shù)量積a·b|a|·|b|cos a·bx1x2y1y2夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|·|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)|x1x2y1y2|·5.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)(R)(3)(ab)·ca·cb·c.典 例 剖 析【p68】考點1數(shù)量積的運算(1)已知向量a(3，1)，b(1，m)，a·(a2b)0，則m()A2 B1C1 D2【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，代入坐標(biāo)得(3，1)·(3，1)2(1，m)0，312m0，解得m2，所以選A.【答案】A(2)已知四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點M，N滿足3，2，則·等于()A20 B15 C9 D6【解析】，·(43)·(43)(16292)(16×629×42)9，故選C.【答案】C(3)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為_；·的最大值為_【解析】以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，設(shè)E(t，0)，t0，1，則(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因為(1，0)，所以·(t，1)·(1，0)t1，故·的最大值為1.【答案】11【小結(jié)】(1)求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡再運算，但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)考點2向量的模與夾角(1)已知向量m與n滿足|m|1，|n|2，且m(mn)，則向量m與n的夾角為_【解析】設(shè)m，n的夾角為，因為m(mn)，所以m·(mn)m2m·n11×2cos 0，所以cos ，又0，所以120°.【答案】120°(2)已知向量a，b都是單位向量，且a·b，則|2ab|的值為_【解析】|2ab|.【答案】(3)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，動點D滿足|1，則|的最大值是_【解析】設(shè)D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即動點D的軌跡是以點C為圓心的單位圓又(1，0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.問題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2y21上的點與點P(1，)之間距離的最大值圓心C(3，0)與點P(1，)之間的距離為，故的最大值為1.【答案】1【小結(jié)】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以求向量的模、夾角(2)求向量模的最值(范圍)的方法：代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解考點3平面向量的垂直(1)已知e1與e2為兩個夾角為的單位向量， ae12e2, bke1e2.若a·b0，則實數(shù)k的值為_【解析】因為e1與e2為兩個夾角為的單位向量， ae12e2, bke1e2，a·b0，所以(e12e2)·(ke1e2)ke2ee1·e22k0，所以k.【答案】(2)已知向量，的夾角為120°，|5，|2，.若，則_【解析】向量，則·0，即()·()0，整理可得2(1)·20，其中225，·5×2×cos 120°5，24，據(jù)此有：25(1)×(5)×40，解得.【答案】【小結(jié)】平面向量的垂直關(guān)系利用向量數(shù)量積等于零，但要靈活選擇數(shù)量積的形式【能力提升】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值【解析】(1)因為m，n(sin x，cos x)，mn.所以m·n0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因為|m|n|1，所以m·ncos ，即sin xcos x，所以sin，因為0<x<，所以<x<，所以x，即x.方 法 總 結(jié)【p69】1要準(zhǔn)確理解兩個向量的數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的五個重要性質(zhì)及三個運算規(guī)律向量的數(shù)量積的運算不同于實數(shù)乘法的運算律，數(shù)量積不滿足結(jié)合律：(a·b)·ca·(b·c)；消去律：a·ba·c/bc；a·b0/a0或b0，但滿足交換律和分配律2公式a·b|a|b|cos ；a·bx1x2y1y2；|a|2a2x2y2的關(guān)系非常密切，必須能夠靈活綜合運用3通過向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度，平面內(nèi)兩點間的距離，兩個向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩直線是否垂直4abx1y2x2y10與abx1x2y1y20要區(qū)分清楚走 進(jìn) 高 考【p69】1(2018·北京)設(shè)向量a(1，0)，b(1，m)，若a(mab)，則m_【解析】由題意得，mab(m1，m)，根據(jù)向量垂直的充要條件可得1×(m1)0×(m)0，所以m1.【答案】12(2018·天津)在如圖的平面圖形中，已知OM1，ON2，MON120°，2，2，則·的值為()A15 B9C6 D0【解析】由2，可知2，3.由2，可知2，3，故3，連接MN，則BCMN且|3|.33()，·3()·3(·2)3(|·|cos 120°|2)6.故選C.【答案】C- 6 -