第3講圓錐曲線的綜合問題考情研析1.圓錐曲線的綜合問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問題，定點、定值問題，探索性問題2.試題解答往往要綜合應用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種思想方法，對計算能力也有較高要求，難度較大.核心知識回顧1.最值問題求解最值問題的基本思路是選擇變量，建立求解目標的函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)知識、基本不等式等知識求解其最值2范圍問題求參數(shù)范圍的問題，牢記“先找不等式，有時需要找出兩個量之間的關(guān)系，然后消去另一個量，保留要求的量”不等式的來源可以是>0或圓錐曲線的有界性或題目條件中的某個量的范圍等3定點問題在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線的方程，不論參數(shù)如何變化，其都過某定點，這類問題稱為定點問題4定值問題在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標或動線中的參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題5存在性問題的解題步驟(1)先假設存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)(2)解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在熱點考向探究考向1 最值與范圍問題角度1最值問題例1已知拋物線C的方程為y22px(p>0)，點R(1，2)在拋物線C上(1)求拋物線C的方程；(2)過點Q(1,1)作直線交拋物線C于不同于R的兩點A，B，若直線AR，BR分別交直線l：y2x2于M，N兩點，求|MN|最小時直線AB的方程解(1)點R(1,2)在拋物線C：y22px(p>0)上，42p，解得p2，拋物線C的方程為y24x.(2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為xm(y1)1，m0，由消去x并整理得y24my4(m1)0，y1y24m，y1y24(m1)，設直線AR的方程為yk1(x1)2，由解得點M的橫坐標xM，又k1，xM，同理點N的橫坐標xN，|y2y1|4，|MN|xMxN|28 2 ，令m1t，t0，則mt1，|MN|2 ，當t2，即m1時，|MN|取得最小值，此時直線AB的方程為xy20.解析幾何中最值問題的基本解法有幾何法和代數(shù)法幾何法是根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系，結(jié)合平面幾何和解析幾何知識加以解決的(如拋物線上的點到某個定點和焦點的距離之和、光線反射問題等)；代數(shù)法是建立求解目標關(guān)于某個(或兩個)變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值(利用普通方法、基本不等式法或?qū)?shù)法等)解決的(2019·湘贛十四校高三聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，左焦點為F1，點A是橢圓C上位于x軸上方的一個動點，當直線AF1的斜率為1時，|AF1|.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線AF1與橢圓C的另外一個交點為B，點A關(guān)于x軸的對稱點為A，求F1AB面積的最大值解(1)解法一：e，a22c2，又a2b2c2，bc.當直線AF1的斜率為1時，直線AF1通過橢圓上的頂點，|AF1|a.又a22c2，bc，b1，橢圓C的方程為y21.解法二：設橢圓的右焦點為F2，在AF1F2中，|AF1|，|AF2|2a，|F1F2|2c，(2a)22(2c)22··2c·cos45°，即a2ac2c.又e，ac.聯(lián)立，得a，c1，又a2b2c2，b1.橢圓C的方程為y21.解法三：e，a22c2，又a2b2c2，abc.橢圓C的方程可化為1，即x22y22c2.又直線AF1的方程為yxc.聯(lián)立，得x22(xc)22c2，即3x24cx0，x0或xc.直線AF1的斜率為1且A在x軸上方，xA0，A的坐標為(0，b)|AF1|a，a，又abc，bc1.橢圓C的方程為y21.(2)如圖，A在x軸上方，直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為xmy1.F1，A，B三點能構(gòu)成三角形，直線AB不垂直于x軸，m0，設A的坐標為(x1，y1)，B的坐標為(x2，y2)，則A的坐標為(x1，y1)聯(lián)立得(my1)22y22，即(2m2)y22my10，y1y2，y1y2.解法一：SF1ABSBAASF1AA|AA|x2xF1|y1|x21|y1|my2|my1y2|，當且僅當|m|即|m|時取等號F1AB面積的最大值為.解法二：直線AB的方程為yy1(xx1)，令y0，則xx1112，直線AB過定點(2,0)，設定點為T，則SF1AB|SF1TBSF1TA|y2y1|，當且僅當|m|即|m|時取等號F1AB面積的最大值為.角度2范圍問題例2(2019·廣東高三聯(lián)考)已知橢圓C1，拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩個點，其坐標分別是(3，2)，(2,0)，(4，4)，.(1)求C1，C2的標準方程；(2)過點M(0,2)的直線l與橢圓C1交于不同的兩點A，B，且AOB為銳角(其中O為坐標原點)，求直線l的斜率k的取值范圍解(1)由題意，拋物線的頂點為原點，所以點(2,0)一定在橢圓上，且a2，則橢圓上任何點的橫坐標的絕對值都小于等于2，所以也在橢圓上，1，b21，故橢圓C1的標準方程為y21，所以點(3，2)，(4，4)在拋物線上，且拋物線開口向右，其拋物線C2的方程為y22px,126p，p2，所以拋物線C2的方程為y24x.(2)當直線l斜率不存在時，易知A，O，B三點共線，不符合題意當l斜率存在時，設l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24(kx2)240，即(4k21)x216kx120，令(16k)248(4k21)>0，即256k2192k248>0，得64k2>48，即k<或k>，x1x2，x1x2，y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，AOB為銳角，·x1x2y1y2>0，即4k2<16，得2<k<2.綜上，k的取值范圍為.與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出臨界位置后數(shù)形結(jié)合求解(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域橢圓C：1(a>b>0)的長軸長為2，P為橢圓C上異于頂點的一個動點，O為坐標原點，A2為橢圓C的右頂點，點M為線段PA2的中點，且直線PA2與直線OM的斜率之積恒為.(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的左焦點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點N，點N的橫坐標的取值范圍是，求線段AB長的取值范圍解(1)由已知2a2，a，設點P(x0，y0)，M，直線PA2與OM的斜率之積恒為，×.y1，b1.故橢圓C的方程為y21.(2)設直線l：yk(x1)，聯(lián)立直線與橢圓方程得(2k21)x24k2x2k220，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得可得y1y2k(x1x22)，故AB中點Q，QN直線方程：yx，N，由已知條件得，<<0，0<2k2<1，|AB| ×，<<1，|AB|.考向2 定點與定值問題角度1定點問題例3動點P在圓E：(x1)2y216上運動，定點F(1,0)，線段PF的垂直平分線與直線PE的交點為Q.(1)求Q的軌跡T的方程；(2)過點F的直線l1，l2分別交軌跡T于A，B兩點和C，D兩點，且l1l2.證明：過AB和CD中點的直線過定點解(1)連接QF，根據(jù)題意，可知|QP|QF|，則|QE|QF|QE|QP|4>|EF|，故Q點的軌跡T為以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓，則a2，c1，所以b，所以點Q的軌跡T的方程為1.(2)證明：分別設直線AB和CD的中點為M，N，當直線AB斜率不存在或為0時，分析可知直線MN與x軸重合，當直線AB的斜率為1時，此時M，N，直線MN的方程為x，聯(lián)立解得直線MN經(jīng)過定點.下面證明一般性：當直線AB的斜率存在且不為0,1時，設直線AB的方程為yk(x1)，則直線CD的方程為y(x1)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y得(4k23)x28k2x4k2120，則x1x2，所以y1y2，即M，同理，N，于是直線MN的斜率為kMN，故直線MN的方程為y，顯然x時，y0，故直線經(jīng)過定點.過定點問題的兩大類型及解法(1)動直線l過定點問題，解法：設動直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動直線過定點(m,0)(2)動曲線C過定點問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(2019·白銀市靖遠縣高三聯(lián)考)設橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，下頂點為A，O為坐標原點，點O到直線AF2的距離為，AF1F2為等腰直角三角形(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線l與橢圓C交于M，N兩點，若直線AM與直線AN的斜率之和為2，證明：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標解(1)由題意可知，直線AF2的方程為1，即bxcybc0，則.因為AF1F2為等腰直角三角形，所以bc，又a2b2c2，解得a，b1，c1，所以橢圓C的標準方程為y21.(2)證明：由(1)知A(0，1)，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為ykxt(t±1)，代入y21，得(12k2)x24ktx2t220，所以16k2t24(12k2)(2t22)>0，即t22k2<1，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2，因為直線AM與直線AN的斜率之和為2，所以kAMkAN2k2k2，整理得t1k，所以直線l的方程為ykxtkx1kk(x1)1，顯然直線yk(x1)1經(jīng)過定點(1,1)當直線l的斜率不存在時，設直線l的方程為xm，因為直線AM與直線的斜率之和為2，設M(m，n)，則N(m，n)，所以kAMkAN2，解得m1，此時直線l的方程為x1.顯然直線x1也經(jīng)過該定點(1,1)，綜上，直線l恒過點(1,1)角度2定值問題例4(2019·凱里市第一中學高三下學期模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點A(2，)在橢圓上，O為坐標原點(1)求橢圓C的方程；(2)已知點P，M，N為橢圓C上的三點，若四邊形OPMN為平行四邊形，證明四邊形OPMN的面積S為定值，并求出該定值解(1)由題有a28，b24，橢圓C的方程為1.(2)當直線PN的斜率k不存在時，直線PN的方程為x或x，從而有|PN|2，所以四邊形OPMN的面積S|PN|OM|×2×22.當直線PN的斜率k存在時，設直線PN的方程為ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)，將直線PN的方程代入橢圓C的方程，整理得(12k2)x24kmx2m280，所以x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m，由，得M.將M點的坐標代入橢圓C的方程得m212k2.又點O到直線PN的距離為d，|PN|x1x2|，四邊形OPMN的面積Sd·|PN|m|·|x1x2|· 2.綜上，平行四邊形OPMN的面積S為定值2.定值問題的兩種解法(1)首先由特例得出一個值(此值一般就是定值)然后證明定值：即將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)(2)先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項相抵消或分子、分母約分得定值已知拋物線E：y22px(p>0)，直線xmy3與E交于A，B兩點，且·6，其中O為坐標原點(1)求拋物線E的方程；(2)已知點C的坐標為(3,0)，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，證明：2m2為定值解(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得y22pmy6p0，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，y1y22pm，y1y26p，則x1x2，由·x1x2y1y2y1y296p6，解得p，所以y2x.(2)證明：由題意得k1，k2，所以m，m，所以2m2222m22m212m36×2m22m212m×36×2m2，由(1)可知，y1y22pmm，y1y26p3，所以2m22m212m×36×2m224，所以2m2為定值考向3 探索性問題例5如圖，橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過點P，離心率e，直線l的方程為x4.(1)求橢圓C的方程；(2)線段AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設直線AB與直線l相交于點M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，說明理由解(1)由P在橢圓上，得1，因為e，所以a2c，則代入解得c21，a24，b23.故橢圓C的方程為1.(2)由題意可設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)，代入橢圓方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21，則有x1x2，x1x2，在方程中令x4得，M的坐標為(4,3k)從而k1，k2，k3k.因為A，F(xiàn)，B三點共線，所以kkAFkBF，即有k.所以k1k22k·2k·2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常數(shù)2符合題意解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型，解決這類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明確化其步驟為：假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在(2019·南通市高三階段測試)已知A(2,0)，B(2,0)，點C，D依次滿足|2，()(1)求點D的軌跡；(2)過點A作直線l交以A，B為焦點的橢圓于M，N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與點D的軌跡相切，求該橢圓的方程；(3)在(2)的條件下，設點Q的坐標為(1,0)，是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PA，PB都相切，若存在，求出P點坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由解(1)設C(x0，y0)，D(x，y)，則(x02，y0)，(4,0)，()(x2，y)，則有代入|2(x02)2y4得x2y21.點D的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓(2)由題意可知直線l斜率存在，設直線l的方程為yk(x2)，橢圓的方程1(a2>4)，由l與圓相切得1，即k2，將代入得(a2k2a24)x24a2k2x4a2k2a44a20，又k2，可得(a23)x2a2xa44a20，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，|x1x2|，解得a28或a2(舍去)，橢圓方程為1.(3)假設存在橢圓上的一點P(x0，y0)，使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓相切，則Q到直線PA，PB的距離相等，又A(2,0)，B(2,0)，則直線PB的方程為(x02)yy0x2y00，直線PA的方程為(x02)yy0x2y00.設d1為Q到直線PB的距離，d2為Q到直線PA的距離，則d1d2，化簡整理得x5x04y0.P點在橢圓上，x2y8.解得x02或x08(舍去)x02時，y0±，r1.橢圓上存在點P，其坐標為(2，)或(2，)，使得直線PF1，PF2與以Q為圓心的圓(x1)2y21相切真題押題真題模擬1(2019·全國卷)已知曲線C：y，D為直線y上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.(1)證明：直線AB過定點；(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積解(1)證明：設D，A(x1，y1)，則x2y1.因為yx，所以切線DA的斜率為x1，故x1.整理得2tx12y110.設B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線AB過定點.(2)由(1)得直線AB的方程為ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|× 2(t21)設d1，d2分別為點D，E到直線AB的距離，則d1，d2.因此，四邊形ADBE的面積S|AB|(d1d2)(t23) .設M為線段AB的中點，則M.因為，而(t，t22)，與向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t±1.當t0時，S3；當t±1時，S4.因此，四邊形ADBE的面積為3或4.2(2019·天津市高三4月聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A，B，過右焦點F2且垂直于長軸的直線交橢圓于G，H兩點，|GH|3，F(xiàn)1GH的周長為8.過A點作直線l交橢圓于第一象限的M點，直線MF2交橢圓于另一點N，直線NB與直線l交于點P.(1)求橢圓的標準方程；(2)若AMN的面積為，求直線MN的方程；(3)證明：點P在定直線上解(1)由題意知|GH|3,4a8，解得a2，b，所以橢圓方程為1.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)當直線MN斜率k存在時，設直線MN方程為yk(x1)，代入橢圓方程并整理，得(4k23)x28k2x4k2120，144(k21)0，x1x2，x1x2，|MN|.A(2,0)到直線MN：kxyk0的距離為d，SAMNd·|MN|，化簡得17k4k2180，解得k±1.當k1時，直線MN過點F2(1,0)，直線MN與橢圓的交點不在第一象限(舍去)所以直線MN的方程為xy10.當直線MN斜率k不存在時，則直線MN的方程為x1，SAMN··(ac)(舍去)綜上，直線MN的方程為xy10.(3)證明：設直線AM：yk1(x2)(k10)，與橢圓方程聯(lián)立得(4k3)x216kx16k120，xM，yM同理設直線BN：yk2(x2)(k20)，可得xN，yN，所以直線MN的方程為，以及直線MN方程過點F2(1,0)，將F2，M，N坐標代入可得，(4k1k23)·(k23k1)0，k1k20，k23k1.又因為直線AM與直線NB交于P點，即xP，將k23k1代入得xP4，所以點P在定直線x4上3(2019·江西省八所重點中學高三4月聯(lián)考)已知橢圓E：1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，B1，B2為其上、下頂點，四邊形F1B1F2B2的面積為2.(1)求橢圓E的長軸A1A2的最小值，并確定此時橢圓E的方程；(2)對于(1)中確定的橢圓E，設過定點M(2,0)的直線l與橢圓E相交于P，Q兩點，若，當時，求OPQ面積S的取值范圍解(1)依題意，四邊形F1B1F2B2的面積為2bc，2bc2，長軸A1A22a222，此時bc1，a，故長軸A1A2的最小值為2，此時橢圓E的方程為y21.(2)依題意，可設l：xty2，聯(lián)立得(t22)y24ty20，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由16t24·2(t22)8t216>0，可得t2>2，且且已知M(2,0)，由，可得y1y2，2，2，<<，<t2<4，滿足>0，SSOMQSOMP|OM|y1y2|y1y2| ，設m，m，t2m22，S，m在m單調(diào)遞減，故S關(guān)于m在上單調(diào)遞增，S.4(2019·玉溪市第一中學高三下學期第五次調(diào)研)已知拋物線x22py(p>0)，準線方程為y20，直線l過定點T(0，t)(t>0)，且與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點(1)求拋物線方程；(2)·是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；(3)當t1時，設，記|AB|f()，求f()的最小值及取最小值時對應的.解(1)2，p4，拋物線方程為x28y.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)題意知直線l的斜率存在，設l：ykxt(t>0)，聯(lián)立得x28kx8t0，x1x28k，x1x28t.y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2t2，·x1x2y1y2t28t.由于T(0，t)為定點，故t為定值，·為定值(3)T(0,1)，(x1,1y1)，(x2，y21)，x1x2,1y1(y21)，x1x2，由(2)知x1x28t8，x8，x，且>0，又x1x2(1)x28k，(1)2x64k2，當k0時，1，x，k2.當k0時，1，符合上式，且|AB|4.|AB|· · ，令m，則m2，|AB|，當m2即1時，|AB|min4.金版押題5已知直線l1：axy10，直線l2：x5ay5a0，直線l1與l2的交點為M，點M的軌跡為曲線C.(1)當a變化時，求曲線C的方程；(2)已知點D(2,0)，過點E(2,0)的直線l與C交于A，B兩點，求ABD面積的最大值解(1)由消去a，得曲線C的方程為y21.y1，即點(0，1)不在曲線C上，此步對考生不作要求(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，l為xmy2，由得(m25)y24my10，則y1y2，y1y2，ABD的面積S2|y2y1|22 ，設t，t1，)，則S，當t(t1，)，即t2，m±時，ABD的面積取得最大值.6已知拋物線C：y22px(p>0)與直線xy40相切(1)求該拋物線的方程；(2)在x軸的正半軸上，是否存在某個確定的點M，過該點的動直線l與拋物線C交于A，B兩點，使得為定值如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，請說明理由解(1)聯(lián)立方程有有y22py8p0，由于直線與拋物線相切，得8p232p0，p4，所以y28x.(2)假設存在滿足條件的點M(m,0)(m>0)，直線l：xtym，有整理得y28ty8m0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1y28t，y1y28m，|AM|2(x1m)2y(t21)y，|BM|2(x2m)2y(t21)y，··，當m4時，為定值，所以M(4,0)配套作業(yè)1已知拋物線x22py(p>0)的焦點為F，直線x4與x軸的交點為P，與拋物線的交點為Q，且|QF|PQ|.(1)求拋物線的方程；(2)如圖所示，過F的直線l與拋物線相交于A，D兩點，與圓x2(y1)21相交于B，C兩點(A，B兩點相鄰)，過A，D兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點M，求ABM與CDM面積之積的最小值解(1)由已知P(4,0)，Q，|QF|.|QF|PQ|，·，得p2.拋物線方程為x24y.(2)由題意可知，l斜率存在設l：ykx1.A(x1，y1)，D(x2，y2)設M(x0，y0)，則過A，D的弦方程可設為：xx02y02y即yxy0，即M(2k，1)M到l的距離d2.SABM·SCDM|AB|·|CD|·d2(|AF|1)(|DF|1)d2y1y2d2··d2，又由聯(lián)立得，x24kx40，x1x24.SABM·SCDM··(2)21k21.當且僅當k0時取等號當k0時，ABM與CDM面積之積的最小值為1.2(2019·福建省高三3月質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中，圓F：(x1)2y21外的點P在y軸的右側(cè)運動，且點P到圓F上的點的最小距離等于它到y(tǒng)軸的距離，記點P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)如圖，過點F的直線交E于A，B兩點，以AB為直徑的圓D與平行于y軸的直線相切于點M，線段DM交E于點N，證明：AMB的面積是AMN的面積的4倍解解法一：(1)設P(x，y)，依題意x>0，F(xiàn)(1，0)因為點P在圓F外，所以點P到圓F上的點的最小距離為|PF|1，依題意得|PF|1x，即1x，化簡得點P的軌跡E的方程為y24x(x>0)(2)證明：設N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D.依題意可知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程yk(x1)(k0)，由得k2x2(2k24)xk20.因為(2k24)24k416k216>0，所以x1x2，x1x21，則有y1y2，故D，由拋物線的定義知|AB|x1x22.設M(xM，yM)，依題意得yM，所以|MD|xM.又因為|MD|，所以xM，解得xM1，所以M，因為N在拋物線上，所以x0，即N，所以SAMB|MD|y1y2|y1y2|，SAMN|MN|y1yD|×|y1y2|y1y2|，故SAMB4SAMN.解法二：(1)設P(x，y)，依題意x>0.因為點P在圓F外，所以點P到圓F上的點的最小距離為|PF|1.依題意得，點P到圓F(1,0)的距離|PF|等于P到直線x1的距離，所以點P在以F(1,0)為焦點，x1為準線的拋物線上所以E的方程為y24x(x>0)(2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為直線AB過F(1,0)，依題意可設其方程xty1(t0)，由得y24ty40，因為16t216>0，所以y1y24t，則有x1x2(ty11)(ty21)4t22.因為D是AB的中點，所以D(2t21,2t)由拋物線的定義得|AB|(x11)(x21)4t24，設圓D與l：xm相切于M，因為DM與拋物線相交于N，所以m<0，且DMl，所以|DM|AB|，即2t21m(4t24)，解得m1，設N(x0，y0)，則y02t，且(2t)24x0，所以x0t2，因為t2，所以N為DM的中點，所以SAMD2SAMN，又因為D為AB的中點，SAMB2SAMD，所以SAMB4SAMN.3(2019·南開中學高三第三次教學質(zhì)量檢測)已知A(0，)，B(，1)是橢圓C：1(a>b>0)上兩點(1)求橢圓C的標準方程；(2)設O為坐標原點，M為橢圓C上一動點，點P(3,0)，線段PM的垂直平分線交y軸于點Q，求|OQ|的最小值解(1)代入A，B兩點坐標，得1，1，解得a26，b22，所以橢圓C的標準方程為1.(2)設點M的坐標為(x0，y0)，則1，可得x63y，線段PM的中點N，kQN·kPM1，可得kQN，所以lQN：y.令x0，并結(jié)合式得yQ，|OQ|yQ|y0|2，當且僅當|y0|，y0±時取等號，所以|OQ|的最小值為.4(2019·郴州市高三第二次教學質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線C：x22py(p>0)的焦點為F，過F的直線交拋物線于A，B兩點(1)若以A，B為直徑的圓的方程為(x2)2(y3)216，求拋物線C的標準方程；(2)過A，B分別作拋物線的切線l1，l2，證明：l1，l2的交點在定直線上解(1)設AB的中點為M，A到準線的距離為d1，B到準線的距離為d2，M到準線的距離為d.則dyM.由拋物線的定義可知，d1AF，d2BF，所以d1d2AB8，由梯形中位線定理可得d4，所以yM4，而yM3，所以34，可得p2，所以拋物線C：x24y.(2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x22py得y，則y，所以直線l1的方程為yy1(xx1)，直線l2的方程為yy2(xx2)，聯(lián)立得x，y，即l1，l2交點坐標為，因為AB過焦點F，所以設直線AB的方程為ykx，代入拋物線x22py中得，x22pkxp20，所以x1x2p2，所以，所以l1，l2的交點在定直線y上5已知動圓C與圓x2y22x0外切，與圓x2y22x240內(nèi)切(1)試求動圓圓心C的軌跡方程；(2)過定點P(0,2)且斜率為k(k0)的直線l與(1)中的軌跡交于不同的兩點M，N，試判斷在x軸上是否存在點A(m,0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數(shù)m的范圍；若不存在，請說明理由解(1)由x2y22x0得(x1)2y21，由x2y22x240得(x1)2y225，設動圓C的半徑為R，兩圓的圓心分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則|CF1|R1，|CF2|5R，所以|CF1|CF2|6，根據(jù)橢圓的定義可知，點C的軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，所以c1，a3，所以b2a2c2918，所以動圓圓心C的軌跡方程為1.(2)存在直線l的方程為ykx2，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為E(x0，y0)假設存在點A(m，0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則AEMN，由得(89k2)x236kx360，x1x2，所以x0，y0kx02，因為AEMN，所以kAE，即，所以m，當k>0時，9k212，所以m<0；當k<0時，9k12，所以0<m.因此，存在點A(m,0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，且實數(shù)m的取值范圍為.6已知橢圓C的中心在原點，它的焦距為方程2x23x200的一個根，它的一個短軸端點恰好是拋物線x28y的焦點(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，已知P(2，m)在橢圓C上，且P關(guān)于x軸的對稱點為Q，A，B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動點若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；當A，B運動時，滿足APQBPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？請說明理由解(1)由題意可知橢圓的焦點在x軸上，令橢圓方程為1(a>b>0)，拋物線x28y的焦點為F(0,2)，b2，方程2x23x200即(2x5)(x4)0，2c4，即c2，a2b2c216，橢圓C的方程為1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB方程為yxt，由得x2txt2120，t24(t212)>0，4<t<4，x1x2t，x1x2t212，又P(2,3)，Q(2，3)，S四邊形APBQ×6×|x1x2|33，當t0時，S四邊形APBQ的最大值為12.當APQBPQ時，直線PA，PB斜率之和為0，由(1)知P(2,3)，設直線PA方程為y3k(x2)，PB方程為y3k(x2)，由得(34k2)x28k(32k)x4(4k212k3)0，又P(2,3)，則2x1，同理2x2，x1x2，x1x2，kAB，故直線AB的斜率為定值.7(2019·閩粵贛三省十校聯(lián)考)已知動點P到點F(0，1)的距離比它到直線y3的距離少2.(1)求點P的軌跡E的方程；(2)過點F的兩直線l1，l2分別與軌跡E交于A，B兩點和C，D兩點，且滿足·0，設M，N兩點分別是線段AB，CD的中點，問直線MN是否恒過一定點，若經(jīng)過，求定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由解(1)由題意知動點P到點F(0,1)的距離等于它到直線y1的距離，所以點P的軌跡E是拋物線，軌跡方程是x24y.(2)根據(jù)題意可知，直線l1，l2都存在斜率，設直線l1的方程為ykx1(k0)，代入x24y，得x24kx40，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24k，y1y2k(x1x2)24k22，所以M(2k,2k21)，因為·0，所以kCD，設直線l2：yx1，C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得N.所以直線MN的方程為y(2k21)(x2k)，化簡得y3x，所以直線MN恒過定點(0,3)8(2019·門頭溝區(qū)高三年級綜合練習)如圖，已知橢圓C：1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點，過F1的直線與此橢圓相交于D，E兩點，且F2DE的周長為8，橢圓C的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)在平面直角坐標系xOy中，已知點P(0,1)與點Q(0,2)，過P的動直線l(不與x軸平行)與橢圓相交于A，B兩點，點B1是點B關(guān)于y軸的對稱點求證：Q，A，B1三點共線；.解(1)F2DE的周長為8，4a8，即a2，e，c，b2a2c22，故橢圓C的方程為1.(2)證明：當直線l的斜率不存在時，A，B分別為橢圓短軸兩端點，滿足Q，A，B1三點共線當直線l的斜率存在時，設直線方程為ykx1，聯(lián)立得(12k2)x24kx20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則B1(x2，y2)，x1x2，x1x2，(x1，y12)，(x2，y22)，x1(y22)x2(y12)x1(kx21)x2(kx11)2kx1x2(x1x2)0.與共線，則Q，A，B1三點共線由可知Q，A，B1三點共線，當直線l的斜率存在時，當直線l的斜率不存在時，易知A，B兩點坐標為(0，±)，有，綜上，.解析幾何類解答題(12分)已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1和F2，由M(a，b)，N(a，b)，F(xiàn)2和F1四個點構(gòu)成了一個高為，面積為3的等腰梯形(1)求橢圓的方程；(2)過點F1的直線和橢圓交于A，B兩點，求F2AB面積的最大值解題思路(1)由梯形的高得出橢圓的基本量b的值，由梯形的面積得出ac，利用a2c2b2求出a，c，寫出橢圓的方程；(2)先依題判斷過點F1的直線AB的斜率不為0，設出直線的方程，將直線方程代入橢圓方程，消去x，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，即可得到y(tǒng)1y2和y1y2，將F2AB的面積表示為SF2AB|F1F2|·|y1y2|，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求最大值解(1)由條件，得b，且×3，ac3.(2分)又a2c23，解得a2，c1.(4分)橢圓的方程為1.(5分)(2)顯然，直線AB的斜率不能為0，設直線AB的方程為xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程，得消去x得，(3m24)y26my90，(6分)36m236(3m24)>0，y1y2，y1y2，(8分)SF2AB|F1F2|·|y1y2|y1y2| 1244.(10分)令tm211，設f(t)t(t1)，易知函數(shù)f(t)在1，)上單調(diào)遞增，當tm211，即m0時，f(t)min，此時SF2AB取得最大值為3.(12分)1由梯形的面積得到a與c的關(guān)系給2分2由a2c2b2得到a與c的值給2分3正確寫出橢圓方程給1分4聯(lián)立方程消元得到一元二次方程給1分5寫出“>0”和根與系數(shù)的關(guān)系給2分6構(gòu)建目標變量的函數(shù)關(guān)系給2分7通過求解函數(shù)的值域，確定面積的最值給2分1寫全得分步驟，直線方程和曲線方程聯(lián)立后，要寫出>0和根與系數(shù)的關(guān)系，這是解題過程中的得分點2寫明得分關(guān)鍵，在求解函數(shù)的最值時，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件，不指明最值取得的條件扣1分跟蹤訓練(2019·福建省高三模擬)(12分)已知橢圓C：1(a>b>0)過點，且它的焦距是短軸長的倍(1)求橢圓C的方程；(2)若A，B是橢圓C上的兩個動點(A，B兩點不關(guān)于x軸對稱)，O為坐標原點，OA，OB的斜率分別為k1，k2，問是否存在非零常數(shù)，使當k1k2時，AOB的面積S為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解(1)因為橢圓C：1(a>b>0)過點，所以1，(1分)又因為該橢圓的焦距是短軸長的倍，所以cb，從而a2b2c24b2.聯(lián)立方程組(2分)解得所以橢圓C的方程為y21.(3分)(2)設存在這樣的常數(shù)，使k1k2，AOB的面積S為定值(4分)設直線AB的方程為ykxm，點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，則由k1k2知y1y2x1x20，(kx1m)(kx2m)x1x20，所以(k2)x1x2km(x1x2)m20.(5分)聯(lián)立方程組消去y得(14k2)x28kmx4m240.所以(7分)點O到直線AB的距離d，AOB的面積S|AB|·d·|x1x2|.(8分)將代入得(k2)(4m24)8k2m2m2(14k2)0，化簡得m2，(10分)將代入得2·，(11分)要使上式為定值，只需，即需(41)20，從而，此時2，S1，所以存在這樣的常數(shù)，此時SAOB1.(12分)- 32 -