專題檢測（二十一） 函數(shù)、導數(shù)與不等式大題專攻強化練1(2019·貴州省適應性考試)函數(shù)f(x)xln x，g(x)aex.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當a時，xf(x)g(x)解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)由f(x)xln x，得f(x)1，當x(0，1)時，f(x)0；當x(1，)時，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)(2)證明：要證xf(x)g(x)，即證x(xln x)aex，即證a.設h(x)，則h(x)，由(1)可知f(x)f(1)1，即ln x(x1)0，于是，當x(0，1)時，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增；當x(1，)時，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減所以x1時，h(x)取得最大值，h(x)max，所以當a時，xf(x)g(x)2(2019·北京高考)已知函數(shù)f(x)x3x2x.(1)求曲線yf(x)的斜率為1的切線方程；(2)當x2，4時，求證：x6f(x)x；(3)設F(x)|f(x)(xa)|(aR)，記F(x)在區(qū)間2，4上的最大值為M(a)當M(a)最小時，求a的值解：(1)由f(x)x3x2x得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲線yf(x)的斜率為1的切線方程是yx與yx，即yx與yx.(2)證明：令g(x)f(x)x，x2，4由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.當x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下：x2(2，0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值為6，最大值為0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)由(2)知，當a<3時，M(a)F(0)|g(0)a|a>3；當a>3時，M(a)F(2)|g(2)a|6a>3；當a3時，M(a)3.綜上，當M(a)最小時，a3.3設函數(shù)f(x)2ln xmx21.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當f(x)有極值時，若存在x0，使得f(x0)>m1成立，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2mx，當m0時，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當m>0時，令f(x)>0，得0<x<，令f(x)<0，得x>，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，當f(x)有極值時，m>0，且f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減f(x)maxf2lnm·1ln m，若存在x0，使得f(x0)>m1成立，則f(x)max>m1.即ln m>m1，ln mm1<0成立令g(x)xln x1(x>0)，g(x)1>0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)0，0<m<1.實數(shù)m的取值范圍是(0，1)4(2019·武漢市調(diào)研測試)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xax(aR)(1)在a0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0在(0，)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)a0時，f(x)(x1)ln x，f(x)ln x(x1)·ln x1，設g(x)ln x1，則g(x)0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，而g(1)0，x(0，1)時，g(x)0，即f(x)0，x(1，)時，g(x)0，即f(x)0，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)(2)由(x1)ln xax0，得ax(x1)ln x，而x0，aln x.記h(x)ln x，則h(x)，設m(x)ln xx1(x0)，顯然m(x)在(0，)上單調(diào)遞增，而m(1)0，x(0，1)時，m(x)0，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減，x(1，)時，m(x)0，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，h(x)minh(1)0.a0，a0，即實數(shù)a的取值范圍是(0，)- 4 -