中難提分突破特訓(xùn)(三)1如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，B1BC60°，B1C1AB1.(1)證明：ABAC；(2)若ABAC，且AB1BB1，求二面角A1CB1C1的余弦值解(1)證明：如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接AO，OB1.因為BCBB1，B1BC60°，所以BCB1是等邊三角形，所以B1OBC，又BCB1C1，B1C1AB1，所以BCAB1，所以BC平面AOB1，所以BCAO，由三線合一可知ABC為等腰三角形，所以ABAC.(2)設(shè)AB1BB12，則BCBB12.因為ABAC，所以AO1.又因為OB1，所以O(shè)BAO2AB，所以AOOB1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則O(0,0,0)，C(1,0,0)，A1(1，1)，B1(0，0)，(0，1)，(1，0)，設(shè)平面A1B1C的一個法向量為n(x，y，z)，則即可取n(，1，)，由(1)可知，平面CB1C1的法向量可取(0,0,1)，所以cos，n，由圖示可知，二面角A1CB1C1為銳二面角，所以二面角A1CB1C1的余弦值為.2已知函數(shù)f(x)2sinxsin.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)銳角ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，角A的平分線交BC于D，直線xA是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，ADBD2，求邊a.解(1)f(x)2sinxsin，f(x)2sinxsinx·2sinxcosx·sin2xsin2xcos2xsin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)xA是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，2Ak，kZ.A，kZ.又ABC是銳角三角形，A.在ABD中，BAD，BD，AD2，由正弦定理，得，sinB.B.C.CDA.ACAD2.在ABC中，由正弦定理，得，BCa.3綠水青山就是金山銀山某山村為做好水土保持，退耕還林，在本村的山坡上種植水果，并推出山村游等旅游項目為預(yù)估今年7月份游客購買水果的情況，隨機(jī)抽樣統(tǒng)計了去年7月份100名游客的購買金額分組如下：0,20)，20,40)，100,120，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)請用抽樣的數(shù)據(jù)估計今年7月份游客人均購買水果的金額(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)；(2)若把去年7月份購買水果不低于80元的游客，稱為“水果達(dá)人”填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為“水果達(dá)人”與性別有關(guān)系？(3)為吸引顧客，商家特推出兩種促銷方案方案一：每滿80元可立減10元；方案二：金額超過80元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折若每斤水果10元，你打算購買12斤水果，請從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案參考公式和數(shù)據(jù)：K2，nabcd.臨界值表：P(K2k0)0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879解(1)(10×0.00530×0.007550×0.01070×0.012590×0.010110×0.005)×2062.估計今年7月份游客人均購買水果的金額為62元(2)列聯(lián)表如下：K24.762>3.841，因此有95%的把握認(rèn)為“水果達(dá)人”與性別有關(guān)系(3)若選方案一：則需付款10×1210110元；若選方案二：設(shè)付款X元，則X的可能取值為84,96,108,120.P(X84)C3，P(X96)C2×，P(X108)C××2，P(X120)C3，所以E(X)84×96×108×120×102.因為102<110，所以選擇方案二更劃算4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l1，l2的極坐標(biāo)方程分別為(R)，(R)，設(shè)直線l1，l2與曲線C的交點(diǎn)為O，M，N，求OMN的面積解(1)由參數(shù)方程(為參數(shù))，得普通方程為x2(y2)24，所以C的極坐標(biāo)方程為2cos22sin24sin0，即4sin.(2)不妨設(shè)直線l1：(R)與曲線C的交點(diǎn)為O，M，則M|OM|4sin2，又直線l2：(R)與曲線C的交點(diǎn)為O，N，則N|ON|4sin2.又MON，所以SOMN|OM|·|ON|×2×22.5已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式：f(x)<4|x1|；(2)已知m>0，n>0，mn1，若對任意的xR，m>0，n>0，不等式|xa|f(x)(a>0)恒成立，求正數(shù)a的取值范圍解(1)由題意得不等式為|3x2|x1|<4.當(dāng)x1時，原不等式化為4x1<4，解得x<，不符合題意；當(dāng)<x<1時，原不等式化為2x3<4，解得x<，<x<；當(dāng)x時，原不等式化為4x1<4，解得x>，<x.綜上可得<x<，原不等式的解集為.(2)m>0，n>0，mn1，(mn)2224.當(dāng)且僅當(dāng)且mn1，m>0，n>0，即mn時等號成立，min4.由題意得|xa|3x2|4(a>0)恒成立，當(dāng)xa時，可得xa3x24恒成立，即a2x6恒成立，a(2x6)min2a6，由a>0，可得上式顯然成立；當(dāng)<x<a時，可得ax3x24恒成立，即a4x6恒成立，4x6>，a；當(dāng)x時，可得ax3x24恒成立，即a22x恒成立，a(22x)min.綜上可得0<a，正數(shù)a的取值范圍是.- 6 -