第2講空間點、線、面的位置關(guān)系一、選擇題1(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測)平面外有兩條直線a，b，它們在平面內(nèi)的投影分別是直線m，n，則下列命題正確的是()A若ab，則mnB若mn，則abC若mn，則abD若m與n相交，則a與b相交或異面解析：選D對于選項A，當(dāng)直線a，b相交，且所在平面與平面垂直時，直線m，n重合，故A不正確；對于選項B，不妨在正方體ABCD­A1B1C1D1中考慮，取面對角線AB1，AD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，AD，記為m，n，此時mn，但a與b不垂直，故B不正確；對于選項C，不妨在正方體ABCD­A1B1C1D1中考慮，取面對角線AB1，CD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，CD，記為m，n，此時mn，但a與b不平行，故C不正確；對于選項D，若m與n相交，則a與b不可能平行，只能是相交或異面，故D正確，選D2(2019·江西七校第一次聯(lián)考)已知直線m，n，平面，命題p：若，m，則m；命題q：若m，m，n，則mn.下列是真命題的是()ApqBp(q)Cp(q) D(p)q解析：選D對于命題p，若，m，則還需m才能推出m，所以命題p為假命題，命題p為真命題；對于命題q，若m，m，n，由線面平行的性質(zhì)可推出mn，所以命題q為真命題，命題q為假命題，所以(p)q為真命題，故選D3.如圖，在三棱錐D­ABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：選C因為ABCB，且E是AC的中點，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因為AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故選C4(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(一)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，直線A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為()A1 BC D解析：選D由題意畫出圖形如圖所示，取AD1的中點為O，連接OC1，OA1，易知OA1平面ABC1D1，所以A1C1O是直線A1C1與平面ABC1D1所成的角，在RtOA1C1中，A1C12OA1，所以sinA1C1O.故選D5(2019·江西省五校協(xié)作體試題)如圖，圓錐的底面直徑AB4，高OC2，D為底面圓周上的一點，且AOD，則直線AD與BC所成的角為()A BC D解析：選B如圖，過點O作OEAB交底面圓于E，分別以O(shè)E，OB，OC所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為AOD，所以BOD，則D(，1，0)，A(0，2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，(，3，0)，(0，2，2)，所以cos，則直線AD與BC所成的角為，故選B6.如圖，在矩形ABCD中，AB，BC1，將ACD沿AC折起，使得D折起后的位置為D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面體D1ABC的四個面中，有n對平面相互垂直，則n等于()A2 B3C4 D5解析：選B如圖，設(shè)D1在平面ABC上的射影為E，連接D1E，則D1E平面ABC，因為D1E平面ABD1，所以平面ABD1平面ABC.因為D1E平面ABC，BC平面ABC，所以D1EBC，又ABBC，D1EABE，所以BC平面ABD1，又BC平面BCD1，所以平面BCD1平面ABD1，因為BC平面ABD1，AD1平面ABD1，所以BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，所以AD1平面BCD1，又AD1平面ACD1，所以平面ACD1平面BCD1.所以共有3對平面互相垂直故選B二、填空題7(2019·沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(一)如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，下面結(jié)論中正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的序號)BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；異面直線AC與A1B成60°角；AC1與底面ABCD所成角的正切值是.解析：對于，BDB1D1，BD平面CB1D1，B1D1平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，正確；對于，因為AA1平面A1B1C1D1，所以AA1B1D1，連接A1C1，又A1C1B1D1，所以B1D1平面AA1C1，所以B1D1AC1，同理B1CAC1，所以AC1平面CB1D1，正確；對于，易知ACA1C1，異面直線AC與A1B所成角為BA1C1，連接BC1，又A1C1B為等邊三角形，所以BA1C160°，異面直線AC與A1B成60°角，正確；對于，AC1與底面ABCD所成角的正切值是，故不正確故正確的結(jié)論為.答案：8(2019·武漢市調(diào)研測試)在棱長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點A關(guān)于平面BDC1的對稱點為M，則M到平面A1B1C1D1的距離為_解析：法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，正方體的棱長為1，在正方體ABCD­A1B1C1D1下面補(bǔ)一個棱長為1的正方體ABCD­A2B2C2D2，連接A2C2，B2D2，AC2，設(shè)B2D2A2C2E，連接CE交AC2于M(即A關(guān)于平面BDC1的對稱點)，易得M，所以點M到平面A1B1C1D1的距離為1.法二：依題意，點M在平面ACC1A1上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由已知得A，C1，直線OC1的方程為yx，其斜率為，因為點A關(guān)于直線OC1的對稱點為M，設(shè)M(a，b)，所以，解得，所以點M到直線A1C1的距離為1，所以點A關(guān)于平面BDC1的對稱點M到平面A1B1C1D1的距離為.答案：9在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABAD4，AA12.過點A1作平面與AB，AD分別交于M，N兩點，若AA1與平面所成的角為45°，則截面A1MN面積的最小值是_解析：如圖，過點A作AEMN，連接A1E，因為A1A平面ABCD，所以A1AMN，所以MN平面A1AE，所以A1EMN，平面A1AE平面A1MN，所以AA1E為AA1與平面A1MN所成的角，所以AA1E45°，在RtA1AE中，因為AA12，所以AE2，A1E2，在RtMAN中，由射影定理得ME·ENAE24，由基本不等式得MNMEEN24，當(dāng)且僅當(dāng)MEEN，即E為MN的中點時等號成立，所以截面A1MN面積的最小值為×4×24.答案：4三、解答題10.如圖，在三棱錐A­BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD、BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明：(1)在平面ABD內(nèi)，因為ABAD，EFAD，所以EFAB.又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD且BCBD，所以BC平面ABD.因為AD平面ABD，所以BCAD.又因為ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因為AC平面ABC，所以ADAC.11.如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點求證：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.證明：(1)如圖，取CE的中點G，連接FG，BG.因為F為CD的中點，所以GFDE且GFDE.因為AB平面ACD，DE平面ACD，所以ABDE，所以GFAB.又因為ABDE，所以GFAB.所以四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG.因為AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因為ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，所以AFCD.因為DE平面ACD，AF平面ACD，所以DEAF.又CDDED，所以AF平面CDE.因為BGAF，所以BG平面CDE.又因為BG平面BCE，所以平面BCE平面CDE.12如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，點E是BC邊的中點，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體(1)求證：AB平面ADC；(2)若AD1，AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角的正切值為，求點B到平面ADE的距離解：(1)證明：因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又DCBD，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因為AB平面ABD，所以DCAB.又因為折疊前后均有ADAB，且DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知DC平面ABD，所以AC在平面ABD內(nèi)的正投影為AD，即CAD為AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成的角依題意知tan CAD，因為AD1，所以DC.設(shè)ABx(x0)，則BD，易知ABDDCB，所以，即，解得x，故AB，BD，BC3.由于AB平面ADC，所以ABAC，又E為BC的中點，所以由平面幾何知識得AE，同理DE，所以SADE×1× .因為DC平面ABD，所以VA-BCDCD·SABD.設(shè)點B到平面ADE的距離為d，則d·SADEVB-ADEVA-BDEVA-BCD，所以d，即點B到平面ADE的距離為.- 8 -