專題檢測(cè)（二十三） 坐標(biāo)系與參數(shù)方程大題專攻強(qiáng)化練1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為4cos ，.(1)求半圓C的參數(shù)方程；(2)若半圓C與圓D：(x5)2(y)2m(m是常數(shù)，m0)相切，試求切點(diǎn)的直角坐標(biāo)解：(1)半圓C的普通方程為(x2)2y24(0y2)，則半圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)C，D的圓心坐標(biāo)分別為(2，0)，(5，)，于是直線CD的斜率k.由于切點(diǎn)必在兩個(gè)圓心的連線上，故切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t滿足tan t，t，所以切點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，即(2，1)2(2019·全國(guó)卷) 如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，)，弧，所在圓的圓心分別是(1，0)，(1，)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程；(2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|，求P的極坐標(biāo)解：(1)由題設(shè)可得，弧，所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos ，2sin ，2cos .所以M1的極坐標(biāo)方程為2cos ，M2的極坐標(biāo)方程為2sin ，M3的極坐標(biāo)方程為2cos .(2)設(shè)P(，)，由題設(shè)及(1)知若0 ，則2cos ，解得；若 ，則2sin ，解得或；若 ，則2cos ，解得.綜上，P的極坐標(biāo)為或或或. 3.(2019·福州市第一學(xué)期抽測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為l的傾斜角)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線E的極坐標(biāo)方程為4sin ，直線，(R)與曲線E分別交于不同于極點(diǎn)O的三點(diǎn)A，B，C.(1)若，求證：|OB|OC|OA|；(2)當(dāng)時(shí)，直線l過B，C兩點(diǎn)，求y0與的值解：(1)證明：依題意，|OA|4sin |，|OB|，|OC|，|OB|OC|4sin4sin4sin |OA|.(2)當(dāng)時(shí)，直線與曲線E的交點(diǎn)B的極坐標(biāo)為，直線與曲線E的交點(diǎn)C的極坐標(biāo)為，從而，B，C兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為B(，1)，C(0，4)，直線l的方程為yx4，y01，.4(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為2cos ，若極坐標(biāo)系內(nèi)異于O的三點(diǎn)A(1，)，B，C(1，2，30)都在曲線M上(1)求證：123；(2)若過B，C兩點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求四邊形OBAC的面積解：(1)證明：由題意得12cos ，22cos，32cos，則232cos2cos2 cos 1.(2)由曲線M的極坐標(biāo)方程得曲線M的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0，將直線BC的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標(biāo)方程得t2t0，解得t10，t2，在平面直角坐標(biāo)中，B，C(2，0)，則21，32，1.四邊形OBAC的面積SSAOBSAOC12 ·sin13sin.5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為的直線l過點(diǎn)M(2，4)以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且在兩坐標(biāo)系中長(zhǎng)度單位相同，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin22cos .(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|MA|·|MB|40，求傾斜角的值解：(1)因?yàn)閮A斜角為的直線過點(diǎn)M(2，4)，所以直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為sin22cos ，所以2sin22cos ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是y22x.(2)把直線的參數(shù)方程代入y22x，得t2sin2(2cos 8sin )t200，由題意知，0，設(shè)t1，t2為方程t2sin2(2cos 8sin )t200的兩根，則t1t2，t1t2，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義知|MA|·|MB|t1t2|40，故或，又(2cos 8sin )280sin20，所以.6(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為cos.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)過直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長(zhǎng)的最小值解：(1)由cos，得2cos sin ，x2y2xy0，即圓C的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)l上任意一點(diǎn)P(t，t2)，過P向圓C引切線，切點(diǎn)為Q，連接PC，CQ，圓C的圓心為C，半徑r，|PQ|2，即切線長(zhǎng)的最小值為2.7(2019·石家莊市模擬(一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)0r2時(shí)，若曲線C與射線l交于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍解：(1)由題意知曲線C的普通方程為(x2)2y2r2，令xcos ，ysin ，化簡(jiǎn)得24cos 4r20.(2)法一：把代入曲線C的極坐標(biāo)方程中，得224r20.令44(4r2)0，結(jié)合0r2，得3r24.方程的解1，2分別為點(diǎn)A，B的極徑，122，124r20，.3r24，04r21，(2，)法二：射線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t0)，將其代入曲線C的方程(x2)2y2r2中得，t22t4r20，令44(4r2)0結(jié)合0r2，得3r24，方程的解t1，t2分別為點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，t1t22，t1t24r2，t10，t20，.3r24，04r21，(2，)8(2019·洛陽市統(tǒng)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)曲線C2經(jīng)過伸縮變換得到曲線C3，M(x，y)是曲線C3上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值解：(1)根據(jù)消參可得曲線C1的普通方程為x2y50，2，232sin24，將代入可得：x24y24.故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y21.(2)曲線C2：y21，經(jīng)過伸縮變換得到曲線C3的方程為y21，曲線C3的方程為y21.設(shè)M(4cos ，sin )，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)M到曲線C1的距離d2(其中tan 2)，點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值為2.- 6 -