專題檢測（九） 數(shù)列通項(xiàng)與求和A組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n1·(3n2)，則a1a2a2 020()A.3 027B.3 027C.3 030 D.3 030解析：選C因?yàn)閍1a2a2 020(a1a2)(a3a4)(a2 019a2 020)(14)(710)(3×2 0192)(3×2 0202)(3)×1 0103 030，故選C.2.已知數(shù)列an滿足，且a22，則a4()A. B.23C.12 D.11解析：選D因?yàn)閿?shù)列an滿足，所以an112(an1)，即數(shù)列an1是等比數(shù)列，公比為2，則a4122(a21)12，解得a411.3.(2019·廣東省六校第一次聯(lián)考)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n1，bn(1)nan(nN*)，則數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為()A.49 B.50C.99 D.100解析：選A由題意得，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n，當(dāng)n1時(shí)，a1S13，所以數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為(34)(68)(98100)12×2449，故選A.4.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a2，a43，a66構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q()A.1 B.2C.3 D.4解析：選A令等差數(shù)列an的公差為d，由a2，a43，a66構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，得(a43)2a2(a66)，即(a13d3)2(a1d)·(a15d6)，化簡得(2d3)20，解得d.所以q1.故選A.5.河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處浮雕共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1 016個(gè)浮雕，這些浮雕構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上，浮雕的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，則log2(a3a5)的值為()A.8 B.10C.12 D.16解析：選C依題意得，數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，因?yàn)樽钕聦拥母〉竦臄?shù)量為a1，所以S71 016，解得a18，所以an8×2n12n2(1n7，nN*)，所以a325，a527，從而a3×a525×27212，所以log2(a3a5)log221212，故選C.6.(2019·洛陽市統(tǒng)考)已知數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且an>0，6Sna3an，bn，若k>Tn恒成立，則k的最小值為()A.B.C.49 D.解析：選B6Sna3an，6Sn1a3an1，6an1(an1an)(an1an)3(an1an)，(an1an)(an1an)3(an1an)，an>0，an1an>0，an1an3，又6a1a3a1，a1>0，a13.an是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，an3n，bn·，Tn··<，k，k的最小值為，故選B.二、填空題7.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，已知a12，a4a4a，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q>0，因?yàn)閍12，a4a4a，所以(anq2)24a4(anq)2，化為q44q240，解得q22，q>0，解得q.則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2×()n12.答案：28.(2019·安徽合肥一模改編)設(shè)等差數(shù)列an滿足a25，a6a830，則an_，數(shù)列的前n項(xiàng)和為_.解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.an是等差數(shù)列，a6a8302a7，解得a715，a7a25d.又a25，則d2.ana2(n2)d2n1.，的前n項(xiàng)和為.答案：2n19.(2019·福州市質(zhì)量檢測)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且Snan1(為常數(shù))，若數(shù)列bn滿足anbnn29n20，且bn1<bn，則滿足條件的n的取值集合為_.解析：因?yàn)閍11，且Snan1(為常數(shù))，所以a111，解得2，所以Sn2an1，所以Sn12an11(n2)，所以an2an1，數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)是1，公比是2，所以an2n1.因?yàn)閍nbnn29n20，所以bn，所以bn1bn<0，解得4<n<7，又因?yàn)閚N*，所以n5或n6.即滿足條件的n的取值集合為5，6.答案：5，6三、解答題10.(2019·江西七校第一次聯(lián)考)數(shù)列an滿足a11，an1(nN*).(1)求證：數(shù)列a是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.解：(1)由an1得aa2，且a1，所以數(shù)列a是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以a1(n1)×22n1，又由已知易得an0，所以an(nN*).(2)bn，故數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tnb1b2bn(1)()()1.11.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n12，bn2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n122n22n，當(dāng)n1時(shí)，a1S12，所以an2n.(2)bn2n2n1，anbn(2n1)·2n.Tn3×25×227×23(2n1)·2n，2Tn3×225×237×24(2n1)·2n1，Tn623242n1(2n1)·2n16(2n1)2n12(2n1)·2n1.Tn(2n1)·2n12.12.(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)數(shù)列an滿足：n2n，nN*.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求滿足Sn>的最小正整數(shù)n.解：(1)由題意知，n2n，當(dāng)n2時(shí)，(n1)2n1，兩式相減得，2n，an2n(n1)(n2).當(dāng)n1時(shí)，a14也符合，所以an2n(n1)，nN*.(2)bn，所以Sn，由Sn得n9，所以滿足條件的最小正整數(shù)n為10.B組大題專攻強(qiáng)化練1.(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知an是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn為an與的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由題意知，2Snan，即2Snana1，當(dāng)n1時(shí)，由式可得a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入式，得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1.所以S是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，S1n1n.因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以Sn，所以anSnSn1(n2)，又a1S11，所以an.(2)bn(1)n()，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn1(1)()()()；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn1(1)()()().所以bn的前n項(xiàng)和Tn(1)n.2.(2019·安徽省考試試題)已知等差數(shù)列an中，a5a34，前n項(xiàng)和為Sn，且S2，S31，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(1)n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)an的公差為d，由a5a34，得2d4，d2.S22a12，S313a15，S44a112，又S2，S31，S4成等比數(shù)列，(3a15)2(2a12)·(4a112)，解得a11，an2n1.(2)bn(1)n(1)n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn，Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn，Tn1.Tn3.(2019·江蘇高考題節(jié)選)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M­數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列an(nN*)滿足：a2a4a5，a34a24a10，求證：數(shù)列an為“M­數(shù)列”；(2)已知數(shù)列bn(nN*)滿足：b11，其中Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.解：(1)證明：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0.由得解得因此數(shù)列an為“M­數(shù)列”.(2)因?yàn)?，所以bn0.由b11，S1b1，得，則b22.由，得Sn.當(dāng)n2時(shí)，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn.所以數(shù)列bn是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn(nN*).4.已知數(shù)列an滿足：a11，an1an.(1)設(shè)bn，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)由an1an可得，又bn，所以bn1bn，由a11，得b11，所以當(dāng)n2時(shí)，(b2b1)(b3b2)(bnbn1)，所以bnb11，即bn2(n2)，易知b11滿足上式，所以bn2(nN*).(2)由(1)可知an2n，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn，Tn，由得，Tn2.所以Tn4.所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn(n1)4.- 8 -