專題11 函數(shù)與方程及其應(yīng)用一、【知識(shí)精講】1函數(shù)的零點(diǎn)(1)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)yf(x)，我們把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(2)零點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)yf(x)與x軸的交點(diǎn)，而是yf(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說(shuō)函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù).2函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.3二分法的定義對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)yf(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點(diǎn)有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)二、【典例精練】例1.(1)設(shè)函數(shù)yx3與y的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，則x0所在的區(qū)間是_.(2)設(shè)函數(shù)f(x)xln x，則函數(shù)yf(x)()A在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)C在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)【答案】(1)C(2)D 【解析】(1) 設(shè)f(x)x3，則x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)yx3與y的圖象如圖所示.因?yàn)閒(1)11<0，f(2)87>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0(1，2). (2)法一：圖象法令f(x)0得xln x作出函數(shù)yx和yln x的圖象，如圖，顯然yf(x)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)法二：定理法當(dāng)x時(shí)，函數(shù)圖象是連續(xù)的，且f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減又f1>0，f(1)>0，f(e)e1<0，所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(1，e)內(nèi)【解法小結(jié)】掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法(1)解方程法若對(duì)應(yīng)方程f(x)0可解，通過(guò)解方程，即可判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，其中方程有幾個(gè)解就對(duì)應(yīng)有幾個(gè)零點(diǎn)(2)定理法利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷，但必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(3)數(shù)形結(jié)合法合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其是否有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)考法(一)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例2.(2018·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A1,0)B0，)C1，) D1，)【答案】C【解析】令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x)在同一坐標(biāo)系中畫出yf(x)，yh(x)的示意圖，如圖所示若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移yh(x)的圖象，可知當(dāng)直線yxa過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)10a，a1.當(dāng)yxa在yx1上方，即a<1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意當(dāng)yxa在yx1下方，即a>1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意綜上，a的取值范圍為1，)考法(二)已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍例3.(2019·安慶摸底)若函數(shù)f(x)4x2xa，x1,1有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】 【解析】函數(shù)f(x)4x2xa，x1,1有零點(diǎn)，方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可變形為a2，x1,1，2x，2.實(shí)數(shù)a的取值范圍是.例4.(2018·浙江卷)已知R，函數(shù)f(x)(1)當(dāng)2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是_.(2)若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_.【答案】(1)(1，4)(2)(1，3(4，)【解析】(1)若2，當(dāng)x2時(shí)，令x4<0，得2x<4；當(dāng)x<2時(shí)，令x24x3<0，解得1<x<2.綜上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集為(1，4).(2)令f(x)0，當(dāng)x時(shí)，x4，當(dāng)x<時(shí)，x24x30，解得x1或x3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合如圖函數(shù)的圖象知，1<3或>4. 【解法小結(jié)】1利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的3種方法直接法直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍分離參數(shù)法分離參數(shù)(ag(x)后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為yg(x)的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線ya與yg(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(優(yōu)選分離、次選分類)求解數(shù)形結(jié)合法先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解2.利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的步驟三、【名校新題】1. (2019·北京西城區(qū)模擬)若函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,3)B(1,2)C(0,3) D(0,2)【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)<0，所以(a)(41a)<0，即a(a3)<0，解得0<a<3.2.(2019·岳陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(x)3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】函數(shù)yf(x)3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是yf(x)與y3x兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示，由函數(shù)的圖象可知，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.3. (2019·鄭州質(zhì)量測(cè)試)已知函數(shù)f(x)(aR)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(0,1 B1，)C(0,1) D(，1【答案】A【解析】畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需0<a1；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需a<0，即a>0.綜上，0<a1.4.(2019·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】令yf(2x21)f(x)0，則f(2x21)f(x)f(x)，因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x21x，只有一個(gè)實(shí)根，即2x2x10只有一個(gè)實(shí)根，則18(1)0，解得.5.已知函數(shù)f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c【答案】A【解析】令函數(shù)f(x)2xx10，可知x<0，即a<0；令g(x)log2xx10，則0<x<1，即0<b<1；令h(x)log2x10，可知x2，即c2.顯然a<b<c.6. (2018·濟(jì)南月考)若函數(shù)f(x)x22xa沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(，1) B.(1，)C.(，1 D.1，)【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x22xa沒(méi)有零點(diǎn)，所以方程x22xa0無(wú)實(shí)根，即44a<0，由此可得a>1.7.(2019·北京燕博園聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(2，2) B.(2，1) C.(0，2) D.(1，3)【答案】C【解析】當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x33x，則f(x)3x23，令f(x)0，x±1(舍去正根)，故f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，0)上單調(diào)遞減.又f(x)ln(x1)在(0，)上單調(diào)遞增.則函數(shù)f(x)圖象如圖所示.f(x)極大值f(1)2，且f(0)0，故當(dāng)k(0，2)時(shí)，yf(x)k有三個(gè)不同零點(diǎn).8.(2019·永州模擬)已知函數(shù)f(x)alog2(x2a)(a>0)的最小值為8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)【答案】A【解析】由于f(x)在0，)上是增函數(shù)，在(，0)上是減函數(shù)，f(x)minf(0)alog2a8.令g(a)alog2a8，a>0.則g(5)log253<0，g(6)log262>0，又g(a)在(0，)上是增函數(shù)，實(shí)數(shù)a所在的區(qū)間為(5，6).9.(2018·鄭州一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)x2.令g(x)f(x)kxk，若在區(qū)間1，3內(nèi)，函數(shù)g(x)0有4個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(0，) B.C. D.【答案】C【解析】令g(x)0，得f(x)k(x1)，由f(x)的周期性，作出yf(x)在1，3上的圖象如圖所示.設(shè)直線yk1(x1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，1)，則k1.直線yk(x1)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且由題意知直線yk(x1)與yf(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，0<k.10.(2019·太原模擬)若函數(shù)f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】【解析】依題意并結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知，即解得<m<.11.已知f(x)則函數(shù)y2f(x)23f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_.【答案】5【解析】由2f(x)23f(x)10得f(x)或f(x)1，作出函數(shù)yf(x)的圖象.由圖象知y與yf(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，y1與yf(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).因此函數(shù)y2f(x)23f(x)1的零點(diǎn)有5個(gè).12. (2019·西安調(diào)研)方程2x3xk的解在1，2)內(nèi)，則k的取值范圍是_.【答案】5，10)【解析】令函數(shù)f(x)2x3xk，則f(x)在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x3xk的解在(1，2)內(nèi)時(shí)，f(1)·f(2)<0，即(5k)(10k)<0，解得5<k<10.又當(dāng)f(1)0時(shí)，k5.則方程2x3xk的解在1，2)內(nèi)，k的取值范圍是5，10).13.（2019鹽城檢測(cè)）已知函數(shù)f(x)=，若f(x)在區(qū)間上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，易知x=0不是方程的解，故m=-x在上是減函數(shù)，故m即m時(shí)，方程f(x)=0在上有且只有一個(gè)解，當(dāng)x時(shí)，令得故,即當(dāng)時(shí)，方程f(x)=0在x上有且只有一個(gè)解，綜上，若f(x)在區(qū)間上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是14.(2019·邯鄲模擬)若曲線ylog2(2xm)(x>2)上至少存在一點(diǎn)與直線yx1上的一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的取值范圍為_(kāi).【答案】(2，4【解析】因?yàn)橹本€yx1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為yx1，依題意方程log2(2xm)x1在(2，)上有解，即m2x1在x(2，)上有解，m>2.又2xm>0恒成立，則m(2x)min4，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2，4. 10