第2講 兩直線的位置關(guān)系 基礎(chǔ)達標(biāo)1(2019·富陽市場口中學(xué)高三質(zhì)檢)已知直線l1：xay10與直線l2：yx2垂直，則a的值是()A2B2CD解析：選C.因為直線l2的斜率為，直線l1：xay10與直線l2：yx2垂直，所以直線l1的斜率等于2，即2，所以a，故選C.2(2019·金華十校聯(lián)考)“C5”是“點(2，1)到直線3x4yC0的距離為3”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件解析：選B.點(2，1)到直線3x4yC0的距離為3等價于3，解得C5或C25，所以“C5”是“點(2，1)到直線3x4yC0的距離為3”的充分不必要條件，故選B.3(2019·義烏模擬)直線x2y10關(guān)于直線x1對稱的直線方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30解析：選D.由題意得直線x2y10與直線x1的交點坐標(biāo)為(1，1)又直線x2y10上的點(1，0)關(guān)于直線x1的對稱點為(3，0)，所以由直線方程的兩點式，得，即x2y30.4已知點A(1，2)，B(3，4)，P是x軸上一點，且|PA|PB|，則PAB的面積為()A15BC6D解析：選D.設(shè)AB的中點坐標(biāo)為M(1，3)，kAB，所以AB的中垂線方程為y32(x1)即2xy50.令y0，則x，即P點的坐標(biāo)為(，0)，|AB|2.P到AB的距離為|PM|.所以SPAB|AB|·|PM|×2×.5已知點P(x0，y0)是直線l：AxByC0外一點，則方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A過點P且與l垂直的直線B過點P且與l平行的直線C不過點P且與l垂直的直線D不過點P且與l平行的直線解析：選D.因為點P(x0，y0)不在直線AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直線AxByC(Ax0By0C)0不經(jīng)過點P，排除A、B；又直線AxByC(Ax0By0C)0與直線l：AxByC0平行，排除C，故選D.6兩條平行線l1，l2分別過點P(1，2)，Q(2，3)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是()A(5，)B(0，5C(，)D(0， 解析：選D.當(dāng)PQ與平行線l1，l2垂直時，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為，所以l1，l2之間距離的取值范圍是(0， 故選D.7已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點A(x，x)和B，那么這兩點之間距離的最小值是_解析：由題意可得兩點間的距離d，即最小值為.答案：8直線x2y30與直線ax4yb0關(guān)于點A(1，0)對稱，則b_解析：在直線x2y30上取兩點P1(1，1)、P2(3，0)，則P1、P2關(guān)于點A的對稱點P1、P2都在直線ax4yb0上因為易知P1(1，1)、P2(1，0)，所以所以b2.答案：29(2019·瑞安四校聯(lián)考)若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，點(7，3)與點(m，n)重合，則mn_解析：由題可知紙的折痕垂直平分點(0，2)與點(4，0)的連線，可得折痕所在直線為y2x3，又折痕也垂直平分點(7，3)與點(m，n)的連線，于是解得所以mn.答案：10(2019·浙江新高考沖刺卷)已知mR，若點M(x，y)為直線l1：myx和l2：mxym3的交點，l1和l2分別過定點A和B，則|MA|·|MB|的最大值為_解析：動直線l1：myx過定點A(0，0)，動直線l2：mxym3化為m(x1)(y3)0，得x1，y3.過定點B(1，3)因為此兩條直線互相垂直，所以|MA|2|BM|2|AB|210，所以102|MA|·|MB|，所以|MA|·|BM|5，當(dāng)且僅當(dāng)|MA|MB|時取等號答案：511已知直線l1：xa2y10和直線l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若l1l2，求b的取值范圍；(2)若l1l2，求|ab|的最小值解：(1)因為l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a2，因為a20，所以b0.又因為a213，所以b6.故b的取值范圍是(，6)(6，0(2)因為l1l2，所以(a21)a2b0，顯然a0，所以aba，|ab|2，當(dāng)且僅當(dāng)a±1時等號成立，因此|ab|的最小值為2.12已知直線l經(jīng)過直線2xy50與x2y0的交點P.(1)點A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點A(5，0)到直線l的距離的最大值解：(1)因為經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，所以3，解得或2.所以直線l的方程為x2或4x3y50.(2)由解得交點P(2，1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點A到直線l的距離，則d|PA|(當(dāng)lPA時等號成立)所以dmax|PA|.能力提升1(2019·溫州八校聯(lián)考)已知M，N(x，y)|ax2ya0，且MN，則a()A6或2B6C2或6D2解析：選A.集合M表示去掉一點A(2，3)的直線3xy30，集合N表示恒過定點B(1，0)的直線ax2ya0，因為MN，所以兩直線要么平行，要么直線ax2ya0與直線3xy30相交于點A(2，3)因此3或2a6a0，即a6或a2.2設(shè)兩條直線的方程分別為xya0，xyb0，已知a，b是方程x2xc0的兩個實根，且0c，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是()A，B，C，D，解析：選A.由題意知a，b是方程x2xc0的兩個實根，所以abc，ab1.又直線xya0，xyb0的距離d，所以d22c，而0c，所以2×2c2×0，得2c，所以d.3(2019·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位，沿y軸正方向平移5個單位，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位，沿y軸負(fù)方向平移2個單位，又與直線l重合若直線l與直線l1關(guān)于點(2，3)對稱，則直線l的方程是_解析：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykxb，將直線l沿x軸正方向平移3個單位，沿y軸正方向平移5個單位，得到直線l1：yk(x3)5b，再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位，沿y軸負(fù)方向平移2個單位，則平移后的直線方程為yk(x31)b52，即ykx34kb.所以b34kb，解得k.所以直線l的方程為yxb，直線l1為yxb，設(shè)直線l上的一點P，則點P關(guān)于點(2，3)的對稱點為，所以6bm(4m)b，解得b.所以直線l的方程是yx，即6x8y10.答案：6x8y104(2019·寧波效實中學(xué)高三月考)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點M(x，y)與點N(a，b)的距離結(jié)合上述觀點，可得f(x)的最小值為_解析：因為f(x)，所以f(x)的幾何意義為點M(x，0)到兩定點A(2，4)與B(1，3)的距離之和，設(shè)點A(2，4)關(guān)于x軸的對稱點為A，則A為(2，4)要求f(x)的最小值，可轉(zhuǎn)化為|MA|MB|的最小值，利用對稱思想可知|MA|MB|AB|5，即f(x)的最小值為5.答案：55設(shè)直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實數(shù)k1，k2滿足k1k220.(1)證明：l1與l2相交；(2)證明：l1與l2的交點在橢圓2x2y21上證明：(1)反證法假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1k2，代入k1k220，得k20.此與k1為實數(shù)的事實相矛盾，從而k1k2，即l1與l2相交(2)由方程組解得交點P的坐標(biāo)(x，y)為而2x2y221.即P(x，y)在橢圓2x2y21上6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點A(1，1)關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.(1)求動點P的軌跡方程；(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x3交于點M，N，問：是否存在點P，使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：(1)因為點B與A(1，1)關(guān)于原點O對稱，所以點B的坐標(biāo)為(1，1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)由題意，得·，化簡，得x23y24(x±1)故動點P的軌跡方程為x23y24(x±1)(2)法一：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，點M，N的坐標(biāo)分別為(3，yM)，(3，yN)則直線AP的方程為y1(x1)，直線BP的方程為y1(x1)令x3，得yM，yN.于是PMN的面積SPMN|yMyN|(3x0).又直線AB的方程為xy0，|AB|2，點P到直線AB的距離d.于是PAB的面積SPAB|AB|·d|x0y0|.當(dāng)SPABSPMN時，得|x0y0|.又|x0y0|0.所以(3x0)2|x1|，解得x0.因為x3y4，所以y0±.故存在點P，使得PAB與PMN的面積相等，此時點P的坐標(biāo)為.法二：若存在點P使得PAB與PMN的面積相等，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則|PA|·|PB|sinAPB|PM|·|PN|·sinMPN.因為sinAPBsinMPN，所以，所以，即(3x0)2|x1|，解得x0.因為x3y4，所以y0±.故存在點P，使得PAB與PMN的面積相等，此時點P的坐標(biāo)為.8