第5講 橢圓基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，則m等于()A8B7C6D5解析：選A.因?yàn)闄E圓1的焦點(diǎn)在x軸上所以解得6<m<10.因?yàn)榻咕酁?，所以c2m210m4，解得m8.2已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A1B1或1C1D1或1解析：選B.因?yàn)閍4，e，所以c3，所以b2a2c21697.因?yàn)榻裹c(diǎn)的位置不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或1.3橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1的最短弦PQ的長(zhǎng)為10，PF2Q的周長(zhǎng)為36，則此橢圓的離心率為()ABCD解析：選C.PQ為過F1垂直于x軸的弦，則Q，PF2Q的周長(zhǎng)為36.所以4a36，a9.由已知5，即5.又a9，解得c6，解得，即e.4(2019·杭州地區(qū)七校聯(lián)考)以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為()A1BC2D2解析：選D.設(shè)a，b，c分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，依題意知，當(dāng)三角形的高為b時(shí)面積最大，所以×2cb1，bc1，而2a222(當(dāng)且僅當(dāng)bc1時(shí)取等號(hào))，故選D.5(2019·富陽(yáng)二中高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC頂點(diǎn)A(4，0)和C(4，0)，頂點(diǎn)B在橢圓1上，則()ABCD解析：選D.橢圓1中，a5，b3，c4，故A(4，0)和C(4，0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以|AB|BC|2a10，|AC|8，由正弦定理得.6若橢圓1(ab0)和圓x2y2(c為橢圓的半焦距)有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是()ABCD解析：選A.因?yàn)闄E圓1(ab0)和圓x2y2(c為橢圓的半焦距)的中心都在原點(diǎn)，且它們有四個(gè)交點(diǎn)，所以圓的半徑，由cb，得2cb，再平方，4c2b2，在橢圓中，a2b2c25c2，所以e；由ca，得b2c2a，再平方，b24c24bc4a2，所以3c24bc3a2，所以4bc3b2，所以4c3b，所以16c29b2，所以16c29a29c2，所以9a225c2，所以，所以e.綜上所述，e.7(2019·義烏模擬)若橢圓1(a>b>0)的離心率為，短軸長(zhǎng)為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：由題意可知e，2b4，得b2，所以解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：18(2019·義烏模擬)已知圓(x2)2y21經(jīng)過橢圓1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率e_解析：圓(x2)2y21經(jīng)過橢圓1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，故橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1，0)，一個(gè)頂點(diǎn)為A(3，0)，所以c1，a3，因此橢圓的離心率為.答案：9(2019·瑞安四校聯(lián)考)橢圓1(a為定值，且a)的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)A，B.若FAB的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是_解析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，如圖，由橢圓定義知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周長(zhǎng)為|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，當(dāng)且僅當(dāng)AB過右焦點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立此時(shí)周長(zhǎng)最大，即4a12，則a3.故橢圓方程為1，所以c2，所以e.答案：10已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)(1，0)到直線PF2的距離為，其中點(diǎn)P(1，4)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：設(shè)F2的坐標(biāo)為(c，0)(c>0)，則kPF2，故直線PF2的方程為y(xc)，即xy0，點(diǎn)(1，0)到直線PF2的距離d，即4，解得c1或c3(舍去)，所以a2b21.又點(diǎn)在橢圓E上， 所以1，由可得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.答案：y2111已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5，3，過P且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：由于焦點(diǎn)的位置不確定，所以設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，由已知條件得解得a4，c2，所以b212.故橢圓方程為1或1.12已知橢圓1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.(1)若F1AB90°，求橢圓的離心率；(2)若2，·，求橢圓的方程解：(1)若F1AB90°，則AOF2為等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c，設(shè)B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.將B點(diǎn)坐標(biāo)代入1，得1，即1，解得a23c2.又由·(c，b)·，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，從而有b22.所以橢圓的方程為1.能力提升1(2019·浙江百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左焦點(diǎn)為F.以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為()ABCD解析：選A.因?yàn)閳AO與直線BF相切，所以圓O的半徑為，即|OC|，因?yàn)樗倪呅蜦AMN是平行四邊形，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得1，所以5e22e30，又0<e<1，所以e.故選A.2(2017·高考全國(guó)卷)設(shè)A、B是橢圓C：1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°，則m的取值范圍是()A(0，19，)B(0，9，)C(0，14，)D(0，4，)解析：選A.依題意得，或，所以或，解得0<m1或m9.故選A.3已知F是橢圓5x29y245的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1，1)是一定點(diǎn)則|PA|PF|的最大值為_，最小值為_解析：如圖所示，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F1，則|PF|PF1|6.所以|PA|PF|PA|PF1|6.利用|AF1|PA|PF1|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立)所以|PA|PF|6，|PA|PF|6.故|PA|PF|的最大值為6，最小值為6.答案：664(2019·富陽(yáng)市場(chǎng)口中學(xué)高三期中)如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF2與圓x2y2b2相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_解析：連接OQ，F(xiàn)1P如圖所示，由切線的性質(zhì)，得OQPF2，又由點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn)，O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)QF1P，所以PF2PF1，故|PF2|2a2b，且|PF1|2b，|F1F2|2c，則|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，得4c24b24(a22abb2)，解得ba.則ca，故橢圓的離心率為.答案：5已知橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(，1)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為.若動(dòng)點(diǎn)P滿足2，求點(diǎn)P的軌跡方程解：(1)因?yàn)閑，所以，又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(，1)，所以1，解得a24，b22，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由2得xx12x2，yy12y2，因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓1上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)設(shè)kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，由題意知，kOM·kON，因此x1x22y1y20，所以x22y220，故點(diǎn)P的軌跡方程是1.6已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為(0，2)，短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點(diǎn)P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B，且2.(1)求橢圓的方程；(2)求m的取值范圍解：(1)由題意知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由題意知a2，bc，又a2b2c2，則b，所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為ykxm，與橢圓方程聯(lián)立，得則(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)>0.由根與系數(shù)的關(guān)系知，又由2，即(x1，my1)2(x2，y2m)，得x12x2，故可得2，整理得(9m24)k282m2，又9m240時(shí)不符合題意，所以k2>0，解得<m2<4，此時(shí)>0，解不等式<m2<4，得<m<2或2<m<，所以m的取值范圍為.10