第3講圓的方程一、選擇題1.已知點(diǎn)A(1，1)，B(1，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A.x2y22 B.x2y2C.x2y21 D.x2y24解析AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，|AB|2，圓的方程為x2y22.答案A2.(2017·漳州模擬)圓(x1)2(y2)21關(guān)于直線yx對(duì)稱的圓的方程為()A.(x2)2(y1)21 B.(x1)2(y2)21C.(x2)2(y1)21 D.(x1)2(y2)21解析已知圓的圓心C(1，2)關(guān)于直線yx對(duì)稱的點(diǎn)為C(2，1)，圓(x1)2(y2)21關(guān)于直線yx對(duì)稱的圓的方程為(x2)2(y1)21，故選A.答案A3.方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(，2) B.C.(2，0) D.解析方程為(ya)21a表示圓，則1a0，解得2a.答案D4.(2017·淄博調(diào)研)點(diǎn)P(4，2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A.(x2)2(y1)21 B.(x2)2(y1)24C.(x4)2(y2)24 D.(x2)2(y1)21解析設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0，y0)，PQ的中點(diǎn)為M(x，y)，則解得因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化簡(jiǎn)得(x2)2(y1)21.答案A5.(2015·全國(guó)卷)已知三點(diǎn)A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A. B. C. D.解析由點(diǎn)B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x1，由點(diǎn)A(1，0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為y，聯(lián)立，解得ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為，其到原點(diǎn)的距離為 .故選B.答案B二、填空題6.若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4，0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是_.解析設(shè)圓心C坐標(biāo)為(2，b)(b<0)，則|b|1.解得b，半徑r|b|1，故圓C的方程為：(x2)2.答案(x2)27.(2017·廣州模擬)已知圓C：x2y2kx2yk2，當(dāng)圓C的面積取最大值時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為_(kāi).解析圓C的方程可化為(y1)2k21.所以，當(dāng)k0時(shí)圓C的面積最大.答案(0，1)8.已知點(diǎn)M(1，0)是圓C：x2y24x2y0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是_.解析過(guò)點(diǎn)M的最短弦與CM垂直，圓C：x2y24x2y0的圓心為C(2，1)，kCM1，最短弦所在直線的方程為y0(x1)，即xy10.答案xy10三、解答題9.已知三條直線l1：x2y0，l2：y10，l3：2xy10兩兩相交，先畫(huà)出圖形，再求過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓的方程.解l2平行于x軸，l1與l3互相垂直.三交點(diǎn)A，B，C連線構(gòu)成直角三角形，經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓就是以AB為直徑的圓.解方程組得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，1).解方程組得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，1).線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是，又|AB|3.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(y1)2.10.在ABC中，已知|BC|2，且m，求點(diǎn)A的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形.解如圖，以直線BC為x軸、線段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.則有B(1，0)，C(1，0)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y).由m，得m.整理得(m21)x2(m21)y22(m21)x(m21)0.當(dāng)m21時(shí)，m1，方程是x0，軌跡是y軸.當(dāng)m21時(shí)，對(duì)式配方，得y2.所以，點(diǎn)A的軌跡是以為圓心，為半徑的圓(除去圓與BC的交點(diǎn)).11.若直線ax2by20(a>0，b>0)始終平分圓x2y24x2y80的周長(zhǎng)，則的最小值為()A.1 B.5C.4 D.32解析由題意知圓心C(2，1)在直線ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，()(ab)332 32，當(dāng)且僅當(dāng)，即b2，a1時(shí)，等號(hào)成立.的最小值為32.答案D12.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(xa)2(yb)2r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為_(kāi).解析由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓.OPQ為直角三角形，圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2，1)，半徑r，因此圓C的方程為(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)2513.已知圓C：(x3)2(y4)21，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn).記d|PB|2|PA|2，其中A(0，1)，B(0，1)，則d的最大值為_(kāi).解析設(shè)P(x0，y0)，d|PB|2|PA|2x(y01)2x(y01)22(xy)2.xy為圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，(xy)max(51)236，dmax74.答案7414.(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2，4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且|BC|OA|，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解(1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6，7)，半徑r5，由題意，設(shè)圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0)，且b5.解得b1，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0.又|BC|OA|2，由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d2，即2，解得m5或m15.直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P，Q為圓M上的兩點(diǎn)，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的范圍為22，22.5