第9講離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、選擇題1.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為X135P0.5m0.2則其方差D(X)()A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4解析由0.5m0.21得m0.3，E(X)1×0.53×0.35×0.22.4，D(X)(12.4)2×0.5(32.4)2×0.3(52.4)2×0.22.44.答案C2.(2017·西安調(diào)研)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A.100 B.200 C.300 D.400解析設(shè)沒(méi)有發(fā)芽的種子有粒，則B(1 000，0.1)，且X2，E(X)E(2)2E()2×1 000×0.1200.答案B3.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E(X)2.4，D(X)1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為()A.n4，p0.6 B.n6，p0.4C.n8，p0.3 D.n24，p0.1解析由二項(xiàng)分布XB(n，p)及E(X)np，D(X)np·(1p)得2.4np，且1.44np(1p)，解得n6，p0.4.故選B.答案B4.已知隨機(jī)變量X8，若XB(10，0.6)，則E()，D()分別是()A.6，2.4 B.2，2.4C.2，5.6 D.6，5.6解析由已知隨機(jī)變量X8，所以有8X.因此，求得E()8E(X)810×0.62，D()(1)2D(X)10×0.6×0.42.4.答案B5.口袋中有5只球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)的值是()A.4 B.4.5 C.4.75 D.5解析由題意知，X可以取3，4，5，P(X3)，P(X4)，P(X5)，所以E(X)3×4×5×4.5.答案B二、填空題6.設(shè)X為隨機(jī)變量，XB，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2，則P(X2)等于_.解析由XB，E(X)2，得npn2，n6，則P(X2)C.答案7.隨機(jī)變量的取值為0，1，2.若P(0)，E()1，則D()_.解析設(shè)P(1)a，P(2)b，則解得所以D()(01)2×(11)2×(21)2×.答案8.(2017·合肥模擬)某科技創(chuàng)新大賽設(shè)有一、二、三等獎(jiǎng)(參與活動(dòng)的都有獎(jiǎng))且相應(yīng)獎(jiǎng)項(xiàng)獲獎(jiǎng)的概率是以a為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，相應(yīng)的獎(jiǎng)金分別是7 000元、5 600元、4 200元，則參加此次大賽獲得獎(jiǎng)金的期望是_元.解析由題意知a2a4a1，a，獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為，所獲獎(jiǎng)金的期望是E(X)×7 000×5 600×4 2005 000元.答案5 000三、解答題9.(2017·成都診斷)據(jù)報(bào)道，全國(guó)很多省市將英語(yǔ)考試作為高考改革的重點(diǎn)，一時(shí)間“英語(yǔ)考試該如何改”引起廣泛關(guān)注.為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長(zhǎng)在內(nèi)的社會(huì)人士對(duì)高考英語(yǔ)改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3 600人進(jìn)行調(diào)查，就“是否取消英語(yǔ)聽力”問(wèn)題進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表： 態(tài)度調(diào)查人群應(yīng)該取消應(yīng)該保留無(wú)所謂在校學(xué)生2 100人120人y人社會(huì)人士600人x人z人已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1人，抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為0.05.(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取360人進(jìn)行訪談，問(wèn)應(yīng)在持“無(wú)所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？(2)在持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進(jìn)行深入交流.求第一組中在校學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)因?yàn)槌榈匠帧皯?yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為0.05，所以0.05，解得x60.所以持“無(wú)所謂”態(tài)度的人數(shù)為3 6002 10012060060720，所以應(yīng)在持“無(wú)所謂”態(tài)度的人中抽取720×72人.(2)由(1)知持“應(yīng)該保留”態(tài)度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校學(xué)生為×64人，社會(huì)人士為×62人，于是第一組在校學(xué)生人數(shù)1，2，3，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列為123P所以E()1×2×3×2.10.(2017·鄭州一模)在“出彩中國(guó)人”的一期比賽中，有6位歌手(16)登臺(tái)演出，由現(xiàn)場(chǎng)百家大眾媒體投票選出最受歡迎的出彩之星，各家媒體獨(dú)立地在投票器上選出3位出彩候選人，其中媒體甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，另在2號(hào)至6號(hào)中隨機(jī)的選2名；媒體乙不欣賞2號(hào)歌手，他必不選2號(hào)；媒體丙對(duì)6位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至6號(hào)歌手中隨機(jī)的選出3名.(1)求媒體甲選中3號(hào)且媒體乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2)X表示3號(hào)歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)A表示事件：“媒體甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件：“媒體乙選中3號(hào)歌手”，C表示事件：“媒體丙選中3號(hào)歌手”，則P(A)，P(B)，媒體甲選中3號(hào)且媒體乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(A)×.(2)P(C)，由已知得X的可能取值為0，1，2，3，P(X0)P()××.P(X1)P(A)P(B)P(C)××××××，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)××××××，P(X3)P(ABC)××，X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.11.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X，已知E(X)3，則D(X)()A. B. C. D.解析由題意，XB，又E(X)3，m2，則XB，故D(X)5××.答案B12.袋中裝有大小完全相同，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，9的九個(gè)球.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球.設(shè)為這3個(gè)球的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)(例如：若取出球的標(biāo)號(hào)為3，4，5，則有兩組相鄰的標(biāo)號(hào)3，4和4，5，此時(shí)的值是2)，則隨機(jī)變量的均值E()為()A. B.C. D.解析依題意得，的所有可能取值是0，1，2.且P(0)，P(1)，P(2)，因此E()0×1×2×.答案D13.馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的分布列如下表：x123p(x)？??？請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的均值.盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.解析設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為12x，則E()1×x2×(12x)3xx24x3x2.答案214.計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080X120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？解(1)依題意，p1P(40<X<80)0.2，p2P(80x120)0.7，p3P(X>120)0.1.由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p34××0.947 7.(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬(wàn)元).安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y5 000，E(Y)5 000×15 000.安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)X80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000×210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 200×0.210 000×0.88 840.安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)80X120時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000×28009 200，因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；當(dāng)X>120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000×315 000，因此P(Y15 000)P(X>120)p30.1.因此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 400×0.29 200×0.715 000×0.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).7