中外數(shù)學(xué)文化專練縱觀近幾年高考，中外優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化已成為高考數(shù)學(xué)命題的重要素材之一，命題者常常結(jié)合統(tǒng)計(jì)、函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、算法等內(nèi)容，通過(guò)創(chuàng)設(shè)新的情境、改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，選取適合的知識(shí)內(nèi)容等多種方法滲透中外優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化.以數(shù)學(xué)文化為背景的問(wèn)題，不僅讓人耳目一新，同時(shí)它也使考生們受困于背景陌生，閱讀受阻，使思路無(wú)法打開. 隨著高考改革的深入，命題者仍會(huì)適當(dāng)加大對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化進(jìn)行考查的內(nèi)容，如將四大發(fā)明、勾股定理等所代表的中國(guó)古代科技文明作為試題背景材料，遵循繼承、弘揚(yáng)、創(chuàng)新的發(fā)展路徑，注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實(shí)中的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新性發(fā)展，體 現(xiàn)中國(guó)傳統(tǒng)科技文化對(duì)人類發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步的貢獻(xiàn)，踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀.1(2019·呼和浩特二模)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)公式eixcos xisin x(i為虛數(shù)單位)，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位特別是當(dāng)x時(shí)，ei10被認(rèn)為是數(shù)學(xué)上最優(yōu)美的公式，數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”根據(jù)歐拉公式可知，ei表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限A根據(jù)歐拉公式eixcos xisin x(i為虛數(shù)單位)，得eicos 1isin 1，它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cos 1，sin 1)，且，所以位于第一象限故選A.2(2019·黃山三模)算法統(tǒng)宗是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推在這個(gè)問(wèn)題中，記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an，則a1()A23 B32C35 D38C由題意可知年齡構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為3，則9a1×(3)207，解得a135，故選C.3中華文化博大精深，我國(guó)古代算書周髀算經(jīng)中介紹了用統(tǒng)計(jì)概率得到圓周率的近似值的方法古代數(shù)學(xué)家用體現(xiàn)“外圓內(nèi)方”文化的錢幣(如圖1)做統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)將其抽象成如圖2所示的圖形，其中圓的半徑為2 cm，正方形的邊長(zhǎng)為1 cm，在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，若統(tǒng)計(jì)得到此點(diǎn)取自陰影部分的概率是p，則圓周率的近似值為()圖1 圖2A. B.C. D.A圓形錢幣的半徑為2 cm，面積為S圓·224；正方形邊長(zhǎng)為1 cm，面積為S正方形121.在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是p1，則.故選A.4(2019·岳麓區(qū)校級(jí)模擬)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于20的概率是()A. B.C. D.D在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中有2,3,5,7,11,13,17,19共8個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有28種，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于20有2種，故可得隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于20的概率P，故選D.5周髀算經(jīng)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85.5尺，則芒種日影長(zhǎng)為()A1.5尺 B2.5尺C3.5尺 D4.5尺B設(shè)此等差數(shù)列an的公差為d，則a1a4a73a19d31.5,9a1d85.5，解得d1，a113.5.則a1213.5112.5.故選B.6(2019·鄭州三模)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象的特征如函數(shù)f(x)的圖象大致是()A BC DD根據(jù)題意，函數(shù)f(x)，則f(x)，易得f(x)為非奇非偶函數(shù)，排除A、B，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，排除C；故選D.7(2019·濟(jì)南模擬)朱世杰是我國(guó)元代偉大的數(shù)學(xué)家，其傳世名著四元玉鑒中用詩(shī)歌的形式記載了下面這樣一個(gè)問(wèn)題：我有一壺酒，攜著游春走遇務(wù)添一倍，逢店飲斛九，店務(wù)經(jīng)四處，沒(méi)了這壺酒，借問(wèn)此壺中，當(dāng)原多少酒？“務(wù)”：舊指收稅的關(guān)卡所在地；“斛九”：1.9斛如圖是解決該問(wèn)題的算法程序框圖，若輸入的x值為0，則輸出的x值為()A. B.C. D.C由題意，模擬程序的運(yùn)行，x0，i0第一次執(zhí)行循環(huán)體后，x，i1，不滿足退出循環(huán)的條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，x，i2，不滿足退出循環(huán)的條件；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，x，i3，不滿足退出循環(huán)的條件；第四次執(zhí)行循環(huán)體后，x，i4，滿足退出循環(huán)的條件，輸出x的值為.故選C.8(2019·安徽二模)謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出，先作一個(gè)正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白色代表挖去的面積，那么黑三角形為剩下的面積(我們稱黑三角形為謝爾賓斯基三角形)在如圖第5個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，則落在白色區(qū)域的概率為()A. B.C. D.B不妨設(shè)第一個(gè)三角形的面積為1，則第二個(gè)圖中黑色部分面積為，第3個(gè)圖中黑色部分面積為2，第4個(gè)圖中黑色部分面積為3，第5個(gè)圖中黑色部分面積為4，則在第5個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，落在白色區(qū)域的概率為P14.故選B.9電子計(jì)算機(jī)誕生于20世紀(jì)中葉，是人類最偉大的技術(shù)發(fā)明之一計(jì)算機(jī)利用二進(jìn)制存儲(chǔ)信息，其中最基本單位是“位(bit)”，1位只能存放2種不同的信息：0或l，分別通過(guò)電路的斷或通實(shí)現(xiàn)“字節(jié)(Byte)”是更大的存儲(chǔ)單位，1Byte8bit，因此1字節(jié)可存放從00000000(2)至11111111(2)共256種不同的信息將這256個(gè)二進(jìn)制數(shù)中，所有恰有相鄰兩位數(shù)是1其余各位數(shù)均是0的所有數(shù)相加，則計(jì)算結(jié)果用十進(jìn)制表示為()A254 B381C510 D765B恰有相鄰兩位數(shù)是1其余各位數(shù)均是0的二進(jìn)制數(shù)為11000000,1100000,110000,11000,1100,110,11，共7個(gè)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制并相加得(2726 )(2625 )(2524 )(2423 )(2322 )(2221 )(2120 )381，故選B.10(2019·東湖區(qū)校級(jí)三模)“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的，但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為柯西­布尼亞科夫斯基­施瓦茨不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學(xué)選修教材45中給出了二維形式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2當(dāng)且僅當(dāng)adbc(即)時(shí)等號(hào)成立該不等式在數(shù)學(xué)中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)f(x)2的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為()A.， B.，C.， D.，A由柯西不等式可知：(2)2(2212)()2()25，所以2，當(dāng)且僅當(dāng)2，即x時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)f(x)2的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為，故選A.11(2019·馬鞍山一模)1642年，帕斯卡發(fā)明了一種可以進(jìn)行十進(jìn)制加減法的機(jī)械計(jì)算機(jī).1674年，萊布尼茨改進(jìn)了帕斯卡的計(jì)算機(jī)，但萊布尼茲認(rèn)為十進(jìn)制的運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來(lái)過(guò)于復(fù)雜，隨即提出了“二進(jìn)制”數(shù)的概念之后，人們對(duì)進(jìn)位制的效率問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究研究方法如下：對(duì)于正整數(shù)n，x(x2)，我們準(zhǔn)備nx張不同的卡片，其中寫有數(shù)字0,1，x1的卡片各有n張如果用這些卡片表示n位x進(jìn)制數(shù)，通過(guò)不同的卡片組合，這些卡片可以表示x個(gè)不同的整數(shù)(例如n3，x10時(shí)，我們可以表示出000999共103個(gè)不同的整數(shù))假設(shè)卡片的總數(shù)nx為一個(gè)定值，那么x進(jìn)制的效率最高則意味著nx張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)xn最大根據(jù)上述研究方法，幾進(jìn)制的效率最高？()A二進(jìn)制 B三進(jìn)制C十進(jìn)制 D十六進(jìn)制B設(shè)nxk為定值，則nx張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)yx，(x，kN*)，假設(shè)x，kR，則ln y ln x，即yeln x，求導(dǎo)可得：yeln x·(1ln x)，因?yàn)閑ln x·0，所以當(dāng)0<x<e，y>0，當(dāng)x>e，y<0，可得xe時(shí)，函數(shù)y取得最大值，比較2，3的大小即可，分別6次方可得：23k8k,32k9k，可得8k<9k，2<3.根據(jù)上述研究方法，3進(jìn)制的效率最高，故選B.12黃金分割起源于公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個(gè)系統(tǒng)研究了這一問(wèn)題，公元前300年前后歐幾里得撰寫幾何原本時(shí)吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數(shù)已知雙曲線1的實(shí)軸長(zhǎng)與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù)，則m的值為()A22 B.1C2 D2A由題意得，在雙曲線中a2(1)2，b2m，c2a2b2(1)2m.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與焦距的比值為黃金分割數(shù)，2，解得m2(1)故選A.13(2019·南昌二模)唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)古從軍行開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2y21，若將軍從點(diǎn)A(2,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為xy3，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為()A.1 B21C2 D.A設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線xy3的對(duì)稱點(diǎn)A(a，b)，AA的中點(diǎn)為，kAA，故解得，要使從點(diǎn)A到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)A到軍營(yíng)最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為11，故選A.- 8 -