第3講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例一、選擇題1.兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25解析相關(guān)指數(shù)R2越大，擬合效果越好，因此模型1擬合效果最好.答案A2.已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線(xiàn)性回歸方程可能是()A.0.4x2.3 B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4解析因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，則回歸直線(xiàn)的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線(xiàn)上，把點(diǎn)(3，3.5)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)，A滿(mǎn)足.答案A3.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為0.85x85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A.y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x，y)C.若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD.若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg解析0.85>0，y與x正相關(guān)，A正確；回歸直線(xiàn)經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)，B正確；y0.85(x1)85.71(0.85x85.71)0.85，C正確.答案D4.通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)110名性別不同的學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由K2算得，K27.8.附表：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”解析根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，由K27.8>6.635，可知我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”.答案A5.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬(wàn)元)8.28.610.011.311.9支出y(萬(wàn)元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線(xiàn)方程x，其中0.76，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶(hù)年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()A.11.4萬(wàn)元 B.11.8萬(wàn)元C.12.0萬(wàn)元 D.12.2萬(wàn)元解析由題意知，10，8，80.76×100.4，當(dāng)x15時(shí)，0.76×150.411.8(萬(wàn)元).答案B二、填空題6.若8名學(xué)生的身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表：編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg48575464614359第3名學(xué)生的體重漏填，但線(xiàn)性回歸方程是0.849x85.712，則第3名學(xué)生的體重估計(jì)為_(kāi).解析設(shè)第3名學(xué)生的體重為a，則(4857a5464614359)0.849×(165165157170175165155170)85.712.解之得a50.答案507.(2017·廣州模擬)為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文理科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到2×2列聯(lián)表如下：理科文科總計(jì)男131023女72027總計(jì)203050已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K24.844，則認(rèn)為選修文理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為_(kāi).解析由K24.8443.841.故認(rèn)為選修文理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為5%.答案5%8.某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫()1813101用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得回歸直線(xiàn)方程x中的2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為4 時(shí)，用電量約為_(kāi)度.解析根據(jù)題意知x10，y40，因?yàn)榛貧w直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以40(2)×1060，所以當(dāng)x4時(shí)，y(2)×(4)6068，所以用電量約為68度.答案68三、解答題9.(2017·鄭州調(diào)研)某地區(qū)2009年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2009201020112012201320142015年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.解(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得(1234567)4，×(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3， (ti)2941014928， (ti)(yi)(3)×(1.4)(2)×(1)(1)×(0.7)0×0.11×0.52×0.93×1.614，0.5，4.30.5×42.3，所求回歸方程為0.5t2.3.(2)由(1)知，0.5>0，故2009至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年約增加0.5千元.將2017年的年份代號(hào)t9代入(1)中的回歸方程，得0.5×92.36.8，故預(yù)測(cè)該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.10.(2017·西安質(zhì)檢)某省會(huì)城市地鐵將于2017年6月開(kāi)始運(yùn)營(yíng)，為此召開(kāi)了一個(gè)價(jià)格聽(tīng)證會(huì)，擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下：月收入(單位：百元)15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75贊成定價(jià)者人數(shù)123534認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù)4812521(1)若以區(qū)間的中點(diǎn)值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表分析是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”.月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者贊成定價(jià)者總計(jì)附：K2P(K2k0)0.050.01k03.8416.635解(1)“贊成定價(jià)者”的月平均收入為x150.56.“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為x238.75，“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是x1x250.5638.7511.81(百元).(2)根據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下：月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者32932贊成定價(jià)者71118總計(jì)104050K26.27<6.635，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”.11.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的市場(chǎng)部在對(duì)4家商場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研時(shí)，獲得該產(chǎn)品售價(jià)x(單位：元)和銷(xiāo)售量y(單位：件)之間的四組數(shù)據(jù)如下表：售價(jià)x44.55.56銷(xiāo)售量y1211109為決策產(chǎn)品的市場(chǎng)指導(dǎo)價(jià)，用最小二乘法求得銷(xiāo)售量y與售價(jià)x之間的線(xiàn)性回歸方程為1.4x，那么方程中的值為()A.17 B.17.5 C.18 D.18.5解析5，10.5，回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，10.51.4×517.5.答案B12.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為x，則()A.>0，>0 B.>0，<0C.<0，>0 D.<0，<0解析作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖象可知，回歸直線(xiàn)x的斜率<0，當(dāng)x0時(shí)，>0.故>0，<0.答案B13.(2017·贛中南五校聯(lián)考)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間想象能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表：(單位：人)幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050根據(jù)上述數(shù)據(jù)，推斷視覺(jué)和空間想象能力與性別有關(guān)系，則這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)_.附表：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析由列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測(cè)值k05.556>5.024.推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025.答案0.02514.(2015·全國(guó)卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i1，2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.表中wi，wwi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)?(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線(xiàn)vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycd適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型.(2)令w，先建立y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程，由于68，y56368×6.8100.6，所以y關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程為100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為100.668.(3)由(2)知，當(dāng)x49時(shí)，年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值100.668576.6，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值576.6×0.24966.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值0.2(100.668)xx13.620.12.所以當(dāng)6.8，即x46.24時(shí)，取得最大值.故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.9