《高等數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)數(shù)的概念》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)數(shù)的概念（27頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高等數(shù)學(xué)上冊(cè)高等數(shù)學(xué)上冊(cè) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 一、引例一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 第二章 第1頁(yè)/共27頁(yè)1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為)(tfs 0t則 到 的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落體運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返

2、回返回 結(jié)束結(jié)束 第2頁(yè)/共27頁(yè) xyo)(xfy C曲線)(:xfyCNT0 xM在 M 點(diǎn)處的切線x割線 M N 的極限位置 M T(當(dāng) 時(shí))割線 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共27頁(yè)so0t)(0tf)(tft瞬時(shí)速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類(lèi)似問(wèn)題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量

3、與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問(wèn)題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共27頁(yè)定義定義1.設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱(chēng)此極限為)(xfy 記作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱(chēng)函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)可導(dǎo),在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

4、下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)/共27頁(yè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù))(tfs so0t)(0tf)(tft在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線)(:xfyC在 M 點(diǎn)處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf 說(shuō)明說(shuō)明:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共27頁(yè)0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在,在點(diǎn) 不可導(dǎo).0 x若,lim0 xyx也稱(chēng))(xf在0 x若函數(shù)

5、在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱(chēng)為導(dǎo)函數(shù).記作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就說(shuō)函數(shù)就稱(chēng)函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共27頁(yè)Cxf)(C 為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2.求函數(shù))N()(nxxfn.處的導(dǎo)數(shù)在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共27頁(yè)對(duì)一般冪函數(shù)xy

6、(為常數(shù))1)(xx例如例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共27頁(yè)hxhxhsin)sin(lim0 xxfsin)(的導(dǎo)數(shù).解解:,xh令則)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin類(lèi)似可證得xxsin)(cosh機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)/共27頁(yè))1(lnxhxxfln)(的導(dǎo)數(shù).解解:)(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(

7、lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共27頁(yè)則令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:xxf)(在 x=0 不可導(dǎo).證證:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在,.0不可導(dǎo)在即xx例例6.設(shè))(0 xf 存在,求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解:原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)(0)(0 xf)(210 xf)(

8、210 xf)(0 xf)(2 )(0hhxf)(0 xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)/共27頁(yè)xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點(diǎn)),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過(guò)上升;若,0)(0 xf曲線過(guò)下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱(chēng)為駐點(diǎn)駐點(diǎn);),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直.曲線在點(diǎn)處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時(shí) xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

9、返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共27頁(yè)11113xy 哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線131xy平行?寫(xiě)出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對(duì)應(yīng),1y則在點(diǎn)(1,1),(1,1)處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(131xy)1(131xy即023 yx故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共27頁(yè)處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(定理定理1.處連續(xù)在點(diǎn)xxf)(證證:設(shè))(xfy 在點(diǎn) x 處可導(dǎo),)(lim0 xfxyx存在,因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數(shù))

10、(xfy 在點(diǎn) x 連續(xù).注意注意:函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo).反例反例:xy xyoxy 在 x=0 處連續(xù),但不可導(dǎo).即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)/共27頁(yè)在點(diǎn)0 x的某個(gè)右右 鄰域內(nèi))(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱(chēng)此極限值為)(xf在 處的右右 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0(x)0(x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x=0 處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2.設(shè)函數(shù)有定義,存在,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第16頁(yè)/共27

11、頁(yè)在點(diǎn)0 x)(xfy,)()(00存在與xfxf且)(0 xf.)(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡(jiǎn)寫(xiě)為在點(diǎn)處右右 導(dǎo)數(shù)存在0 x定理定理3.函數(shù))(xf)(xf在點(diǎn)0 x必 右右 連續(xù).(左左)(左左)若函數(shù))(xf)(af)(bf與都存在,則稱(chēng))(xf顯然:)(xf在閉區(qū)間 a,b 上可導(dǎo),)(baCxf在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),),(ba在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,ba可導(dǎo)的充分必要條件是且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第17頁(yè)/共27頁(yè)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看

12、左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.)(C)(x)(sin x)(cos xaxf)(02.axfxf)()(00)(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的極限;切線的斜率;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共27頁(yè)1.函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf)(xf 區(qū)別:)(xf 是函數(shù),)(0 xf 是數(shù)值;聯(lián)系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?)()(00 xfxf？與導(dǎo)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第19頁(yè)/共27頁(yè))(0 xf 存在,則._)()(lim000hxfhxfh3.已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0

13、xxfx)(0 xf 0k4.若),(x時(shí),恒有,)(2xxf問(wèn))(xf是否在0 x可導(dǎo)?解解:由題設(shè))0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準(zhǔn)則0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可導(dǎo),且0)0(f機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)/共27頁(yè)0,0,sin)(xxaxxxf,問(wèn) a 取何值時(shí),)(xf 在),(都存在,并求出.)(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時(shí),1)0(f此時(shí))(xf 在),(都存在,)(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在 x=0 連續(xù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第21頁(yè)/共27

14、頁(yè) P85 2,5,6,9,13,14(2),16,18 第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第22頁(yè)/共27頁(yè)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)一書(shū)(1736年出版).他還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等.第23頁(yè)/共27頁(yè)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在學(xué)藝雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái).第24

15、頁(yè)/共27頁(yè)解解:因?yàn)?.設(shè))(xf 存在,且,12)1()1(lim0 xxffx求).1(f xxffx2)1()1(lim0所以.2)1(fxfxfx2)1()1(lim0)()1()(1(lim210 xfxfx1)1(21f機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第25頁(yè)/共27頁(yè))(xf在 0 x處連續(xù),且xxfx)(lim0存在，證明:)(xf在0 x處可導(dǎo).證證：因?yàn)閤xfx)(lim0存在，則有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x處連續(xù),0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x處可導(dǎo).xfxfx)0()(lim0)0(f 故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第26頁(yè)/共27頁(yè)