小題專題練(六)　新題型、新定義、圖表等 (建議用時(shí)：50分鐘) 1．非空數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)中，所有元素的算術(shù)平均數(shù)記為E(A)，即E(A)＝.若非空數(shù)集B滿足下列兩個(gè)條件：①B?A；②E(B)＝E(A)，則稱B為A的一個(gè)“保均值子集”．據(jù)此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有________個(gè)． 2．如果M是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點(diǎn)，N是函數(shù)y＝g(x)圖象上的點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)之間的距離|MN|能取到最小值d，那么將d稱為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)之間的距離．按這個(gè)定義，函數(shù)f(x)＝x和g(x)＝之間的距離是__________． 3.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個(gè)不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值范圍是________． 4．定義運(yùn)算：＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是________． 5．某校高三(1)班50個(gè)學(xué)生選擇選修模塊課程，他們?cè)贏，B，C三個(gè)模塊中進(jìn)行選擇，且至少需要選擇1個(gè)模塊，具體模塊選擇的情況如下表： 模塊 模塊選擇的學(xué)生人數(shù) 模塊 模塊選擇的學(xué)生人數(shù) A 28 A與B 11 B 26 A與C 12 C 26 B與C 13 則三個(gè)模塊都選擇的學(xué)生人數(shù)是________． 6．一個(gè)賽跑機(jī)器人有如下特性：(1)步長可以人為地設(shè)置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米或1.9米；(2)發(fā)令后，機(jī)器人第一步立刻邁出設(shè)置的步長，且每一步的行走過程都在瞬時(shí)完成；(3)當(dāng)設(shè)置的步長為a米時(shí)，機(jī)器人每相鄰兩個(gè)邁步動(dòng)作恰需間隔a秒．若設(shè)這個(gè)機(jī)器人以x(x∈{0.1，0.2，0.3，…，1.8，1.9})米的步長跑50米(允許超出50米)所需的時(shí)間為f(x)秒，則f(1.6)－f(0.5)＝________. 7．用min{a，b，c}表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值．設(shè)f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為________． 8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，點(diǎn)Q滿足＝(a＋b)．曲線C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，區(qū)域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}．若C∩Ω為兩段分離的曲線，則下列正確的序號(hào)是________． ①1<r<R<3；　　　　　 ②1<r<3≤R； ③r≤1<R<3; ④1<r<3<R. 9．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為＝n2＋.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式： 三角形數(shù)　N(n，3)＝n2＋n， 正方形數(shù)　N(n，4)＝n2， 五邊形數(shù)　N(n，5)＝n2－n， 六邊形數(shù)　N(n，6)＝2n2－n， … 可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10，24)＝________. 10．定義一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f：P(m，n)→P′(m，2|n|)．現(xiàn)有直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)A(－2，6)與點(diǎn)B(6，－2)，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，按定義的對(duì)應(yīng)法則f：M→M′，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上從點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′經(jīng)過的路線的長度為________. 11.在如圖所示的圓形圖案中有12片樹葉，構(gòu)成樹葉的圓弧均相同且所對(duì)的圓心角為，若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率是________． 12．設(shè)是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射f：→R滿足對(duì)任意向量a＝(x1，y1)∈，b＝(x2，y2)∈，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．則稱映射f具有性質(zhì)P. 現(xiàn)給出如下映射． ①f1：→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈； ②f2：→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈； ③f3：→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈. 其中，具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)為________． 13．已知數(shù)列{an}滿足：當(dāng)n∈(n，k∈N*)時(shí)，an＝(－1)k＋1·k，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，定義集合Am＝{n|Sn是an的整數(shù)倍，n，m∈N*，且1≤n≤m}，card(A)表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，則card(A15)＝________． 14．設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[π]＝3，[－4.3]＝－5.給出下列命題：①函數(shù)f(x)＝ln(x－[x])的值域?yàn)?－∞，0]；②若x1≤x2，則e[x1]≤e[x2]，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；③[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 100]＝90；④若函數(shù)f(x)＝－，則y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域?yàn)閧－1，0}．其中所有真命題的序號(hào)是________． 小題專題練(六) 1．解析：因?yàn)榧现兴性氐乃阈g(shù)平均數(shù)E(A)＝＝3，由新定義可知，只需找到其非空子集B滿足E(B)＝3即可，因此，集合，，，，，，都符合要求．故集合的“保均值子集”有7個(gè)． 答案：7 2．解析：y＝f(x)的圖象是直線， 函數(shù)y＝g(x)圖象是以A(2，0)為圓心半徑等于1的圓的上半圓，所以所求最小值就是圓心到直線的距離減去半徑：－1＝－1. 答案：－1 3．解析：＝＝…＝的幾何意義是指曲線上存在n個(gè)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率相等，即n為過原點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖可得n的取值為2，3，4. 答案：{2，3，4} 4．解析：f(x)＝sin－cos＝2sin，向左平移m個(gè)單位長度，則函數(shù)解析式為y＝2sin，因?yàn)樗鼮榕己瘮?shù)，所以－＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝2kπ＋(k∈Z)，又m>0，則m的最小值為. 答案： 5．解析：設(shè)三個(gè)模塊都選擇的學(xué)生人數(shù)是x，作出Venn圖，則依次可以求出圖中的數(shù)據(jù)(如圖)． 故(5＋x)＋(2＋x)＋(1＋x)＋(11－x)＋(12－x)＋(13－x)＋x＝50，化簡得x＋44＝50，解得x＝6.故三個(gè)模塊都選擇的學(xué)生人數(shù)是6. 答案：6 6．解析：f(1.6)＝31×1.6＝49.6，f(0.5)＝99×0.5＝49.5，所以f(1.6)－f(0.5)＝0.1. 答案：0.1 7．解析：f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的圖象如圖． 令x＋2＝10－x，得x＝4. 當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取最大值，f(4)＝6. 答案：6 8．解析：由已知可設(shè)＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，P(x，y)，則＝(，)，曲線C＝{P|＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C：x2＋y2＝1，區(qū)域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}表示圓P1：(x－)2＋(y－)2＝r2與圓P2：(x－)2＋(y－)2＝R2所形成的圓環(huán)，如圖所示，要使C∩Ω為兩段分離的曲線，只有1<r<R<3. 答案：① 9．解析：由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)＝n2－n，于是N(n，24)＝11n2－10n， 故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000. 答案：1 000 10．解析：由題知M滿足方程x＋y－4＝0(－2≤x≤6)，設(shè)M(t，4－t)(－2≤t≤6)，則M′(t，2|4－t|)，M′滿足方程y＝2|4－x|(－2≤x≤6)，則M′經(jīng)過的路線的長度為×|6－(－2)|＝8. 答案：8 11．解析：設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S＝24＝4πr2－6r2，圓的面積S′＝πr2，所以此點(diǎn)取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率為＝4－. 答案：4－ 12．解析：①f1(λa＋(1－λ)b)＝f1(λx1＋(1－λ)·x2，λy1＋(1－λ)y2) ＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2 ＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)． ②f2(λa＋(1－λ)b)＝f2(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2) ＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋[λy1＋(1－λ)y2] ≠λ(x＋y1)＋(1－λ)(x＋y2)． ③f3(λa＋(1－λ)b)＝f3(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2) ＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1 ＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1) ＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)． 答案：①③ 13．解析：由于當(dāng)n∈(n，k∈N*)時(shí)，an＝(－1)k＋1·k，則數(shù)列{an}滿足，a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，…，其前n項(xiàng)和Sn滿足當(dāng)n≥1時(shí)，若an是奇數(shù)，則Sn是an的整數(shù)倍，所以當(dāng)1≤n≤15時(shí)，an是奇數(shù)的項(xiàng)共有9項(xiàng)，故card(A15)＝9. 答案：9 14．解析：命題①中，顯然有0＜x－[x]＜1，所以函數(shù)f(x)＝ln (x－[x])的值域?yàn)?－∞，0)，錯(cuò)誤；命題②中，顯然有[x1]≤[x2]，所以e[x1]≤e[x2]，正確；命題③中，[lg 1]＝[lg 2]＝[lg 3]＝…＝[lg 9]＝0，[lg 10]＝[lg 11]＝[lg 12]＝…＝[lg 99]＝1，[lg 100]＝2，所以[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 100]＝90＋2＝92，錯(cuò)誤；命題④中，易證f(x)＝－為奇函數(shù)，其值域?yàn)?，所以函?shù)y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域?yàn)閧－1，0}，正確． 答案：②④ - 6 -