第30講平面向量的數(shù)量積夯實(shí)基礎(chǔ)【p65】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角及判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；5會(huì)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題及力學(xué)問(wèn)題【基礎(chǔ)檢測(cè)】1向量a(1，1)，b(1，2)，則(2ab)·a()A1 B0 C1 D2【解析】法一：a(1，1)，b(1，2)，a22，a·b3，從而(2ab)·a2a2a·b431.法二：a(1，1)，b(1，2)，2ab(2，2)(1，2)(1，0)，從而(2ab)·a(1，0)·(1，1)1.【答案】C2已知向量a，b滿(mǎn)足|a|，|b|2，a與b的夾角為.若a(ab)，則實(shí)數(shù)()A1 B. C. D2【解析】a，a·0，即a2a·b0，3×2××cos0，解得.【答案】C3已知點(diǎn)A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為()A.B.CD【解析】由題意知(2，1)，(5，5)，則在方向上的投影為|·cos，.【答案】A4已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，則向量a與b的夾角是()A. B. C.D.【解析】(ab)a，a·(ab)0，即a2a·b0，|a|2|a|b|cos 0，22cos 0，cos ，所以.【答案】B5若等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足，則·_【解析】因?yàn)?#183;··×12×12×12×2.【答案】2【知識(shí)要點(diǎn)】1兩向量的夾角已知非零向量a，b，作a，b，則AOB叫做a與b的夾角a與b的夾角的取值范圍是_0，_當(dāng)a與b同向時(shí)，它們的夾角為_(kāi)0_；當(dāng)a與b反向時(shí)，它們的夾角為_(kāi)；當(dāng)夾角為90°時(shí)，我們說(shuō)a與b垂直，記作ab.2向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把_|a|b|cos_叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即0·a0.3向量數(shù)量積的幾何意義向量的投影：|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，_它是負(fù)值_；當(dāng)為直角時(shí)，它是零a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于_a的長(zhǎng)度|a|_與b在a方向上的投影|b|cos 的乘積4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|_數(shù)量積a·b|a|·|b|cos a·bx1x2y1y2夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|·|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|·5.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)(R)(3)(ab)·ca·cb·c.典例剖析【p65】考點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算(1)已知向量a(1，1)，b(2，x)，若a·b1，則x()A1 BC.D1【解析】a·b1×2(1)×x2x1，x1.【答案】D(2)已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)【解析】因?yàn)閍·b(e12e2)·(ke1e2)ke(12k)(e1·e2)2e，且|e1|e2|1，e1·e2，所以k(12k)·20，解得k.【答案】(3)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2，若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)【解析】向量與的夾角為120°，且|3，|2，·|·|cos 120°2×3×3.，且，···0，即··|2|20，33490，解得.【答案】(4)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，中心為O，直線l經(jīng)過(guò)中心O，交AB于M，交CD于N, P為平面上一點(diǎn)，且2(1)，則·的最小值是()AB1 CD2【解析】由題意可得：·(4242)22，設(shè)2，則(1)，(1)1，Q，B，C三點(diǎn)共線當(dāng)MN與BD重合時(shí)，最大，且max2，據(jù)此：(·)min2.【答案】C【點(diǎn)評(píng)】向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法方法運(yùn)用提示適用題型定義法當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b|a|·|b|cos適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題坐標(biāo)法當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題考點(diǎn)2平面向量的夾角與垂直問(wèn)題已知a(1，2)，b(3，4)，cab(R)(1)為何值時(shí)，|c|最??？此時(shí)c與b的位置關(guān)系如何？(2)為何值時(shí)，c與a的夾角最小？此時(shí)c與a的位置關(guān)系如何？【解析】(1)c(13，24)，|c|2(13)2(24)2510252254，當(dāng)時(shí)， |c|最小，此時(shí)c，b·c(3，4)·0，bc，當(dāng)時(shí)， |c|最小，此時(shí)bc.(2)設(shè)c與a的夾角為，則cos ，要c與a的夾角最小，則cos 最大，0，故cos 的最大值為1，此時(shí)0，cos 1，1，解之得0，c(1，2)0時(shí)，c與a的夾角最小，此時(shí)c與a平行【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算求解兩個(gè)向量之間的夾角的步驟：第一步，先計(jì)算出兩個(gè)向量的數(shù)量積；第二步，分別求出這兩個(gè)向量的模；第三步，根據(jù)公式cosa，b，求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值；第四步，根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍在0，內(nèi)及其余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角其中當(dāng)向量的夾角為銳角時(shí)a·b>0，且兩向量不共線，當(dāng)向量的夾角為鈍角時(shí)a·b<0，且兩向量不共線考點(diǎn)3平面向量的模及其應(yīng)用(1)已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿(mǎn)足(ac)·(bc)0，則|c|的最大值是()A1 B2 C.D.【解析】由(ac)·(bc)0，得a·b(ab)·cc20，因?yàn)閍與b垂直，所以a·b0，進(jìn)而可得c2(ab)·c，即|c|2|ab|c|cos ，又由a、b為互相垂直的兩個(gè)單位向量可知|ab|.所以|c|cos ，|c|，即|c|的最大值為.【答案】C(2)已知|a|4，e為單位向量，當(dāng)a、e的夾角為時(shí)，ae在ae上的投影為()A5 B.C.D.【解析】由題設(shè)，(ae)·(ae)421215，所以.【答案】D【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解向量在另一個(gè)向量上的投影的概念求解時(shí)先求兩個(gè)向量ae和ae的模及數(shù)量積的值，然后再運(yùn)用向量的射影的概念，運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，從而使得問(wèn)題獲解在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)(1)求向量，夾角的大小；(2)若動(dòng)點(diǎn)D滿(mǎn)足|1，求|的最大值【解析】(1)因?yàn)锳(1，0)，B(0，)，C(3，0)，所以(4，0)，(3，)，所以cos，所以向量，的夾角為30°.(2)因?yàn)镃的坐標(biāo)為(3，0)且|CD|1，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以C為圓心的單位圓，則D的坐標(biāo)滿(mǎn)足參數(shù)方程(為參數(shù)且0，2)，所以設(shè)D的坐標(biāo)為(3cos ，sin )(0，2)，則|.因?yàn)?cos sin 的最大值為，所以|的最大值為1.【點(diǎn)評(píng)】平面向量數(shù)量積求向量的模的策略a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，則|a|.方法總結(jié)【p66】1要準(zhǔn)確理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的五個(gè)重要性質(zhì)及三個(gè)運(yùn)算規(guī)律向量的數(shù)量積的運(yùn)算不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律：(a·b)·ca·(b·c)；消去律：a·ba·c/ bc；a·b0/ a0或b0，但滿(mǎn)足交換律和分配律2公式a·b|a|b|cos ；a·bx1x2y1y2；|a|2a2x2y2的關(guān)系非常密切，必須能夠靈活綜合運(yùn)用3通過(guò)向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度，平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，兩個(gè)向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩直線是否垂直4abx1y2x2y10與abx1x2y1y20要區(qū)分清楚走進(jìn)高考【p66】1(2018·全國(guó)卷)已知向量a，b滿(mǎn)足|a|1，a·b1，則a·(2ab)()A4 B3 C2 D0【解析】因?yàn)閍·(2ab)2a2a·b2|a|2(1)213.【答案】B2(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量若非零向量a與e的夾角為，向量b滿(mǎn)足b24e·b30，則|ab|的最小值是()A.1 B.1 C2 D2【解析】法一：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a，b(x，y)，e(1，0)，由b24e·b30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓因?yàn)閍與e的夾角為，所以不妨令點(diǎn)A在射線yx(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|ab|min|1.法二：由b24e·b30得b24e·b3e2(be)·(b3e)0.設(shè)b，e，3e，所以be，b3e，所以·0，取EF的中點(diǎn)為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖設(shè)a，作射線OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.【答案】A3(2017·山東)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1e2與e1e2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)的值是_【解析】(e1e2)·(e1e2)ee1·e2e1·e2e，|e1e2|2，|e1e2|，2××cos 60°，解得.【答案】考點(diǎn)集訓(xùn)【p210】A組題1在RtABC中，C90°，AC4，則·()A16 B8 C8 D16【解析】法一：因?yàn)閏os A，所以·|·cos AAC216.法二：在上的投影為|cos A|，故·|·|cos AAC216.【答案】D2已知向量a(cos 75°，sin 75°)，b(cos 15°，sin 15°)，則向量a與向量b的夾角為()A90° B0°C45° D60°【解析】cos cos 75°cos 15°sin 75°sin 15°cos 60°，所以60°.【答案】D3已知向量a(1，0)，|b|，a與b的夾角為45°，若cab，dab，則c在d方向上的投影為()A. B C1 D1【解析】a·b|a|·|b|cos 45°1××1，|d|ab|1，c·da2b21，|c|cos 1.【答案】D4若向量|a|，|b|1，|c|，且a·b0，則a·cb·c的最大值是()A1 B.C.D3【解析】a·cb·c(ab)·c·cosab，c3，選D.【答案】D5在ABC中，已知|4，|1，SABC，則·的值為_(kāi)【解析】SABC×4×1×sin A，sin A，cosA±，·4×1×±2.【答案】±26已知向量，的夾角是120°，且|2，|3，若，且，則實(shí)數(shù)的值是_【解析】，·0·0，即22·0，24，29，··cosBAC3，式變?yōu)椋?930，解得.【答案】7已知|a|4，|b|8，a與b的夾角是120°.(1)計(jì)算：|ab|，|4a2b|；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a2b)(kab)【解析】由已知得a·b4×8×16.(1)|ab|2a22a·bb2162×(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216a·b4b216×1616×(16)4×64768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)·(kab)0，ka2(2k1)a·b2b20，即16k16(2k1)2×640，k7.即k7時(shí)，a2b與kab垂直8已知平面上三點(diǎn)A，B，C，(2k，3)，(2，4)(1)若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿(mǎn)足的條件；(2)若ABC為直角三角形，求k的值【解析】(1)由A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，得A，B，C在同一直線上，即向量與平行，4(2k)2×30，解得k.(2)(2k，3)，(k2，3)，(k，1)若ABC為直角三角形，則當(dāng)A是直角時(shí)，即·0，2k40，解得k2；當(dāng)B是直角時(shí)，即·0，k22k30，解得k3或k1；當(dāng)C是直角時(shí)，即·0，162k0，解得k8.綜上得k的值為2，1，3，8.B組題1在等腰ABC中，BAC120°，ABAC2，2，3，則·的值為()ABC.D.【解析】在等腰ABC中，BAC120°，ABAC2，2，3，··|2|2·×4×4×2×2×.【答案】A2在RtABC中，CACB3，M，N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN，則·的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(3，0)，B(0，3)，AB所在直線的方程為1，則y3x.設(shè)M(a，3a)，N(b，3b)，且0a3，0b3，不妨設(shè)ab，MN，(ab)2(ba)22，ab1，ab1，0b2，·(a，3a)·(b，3b)2ab3(ab)92(b22b3)2(b1)24，又0b2，當(dāng)b0或b2時(shí)有最大值6；當(dāng)b1時(shí)有最小值4，·的取值范圍是4，6【答案】D3已知向量(6，1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x與y之間的關(guān)系式；(2)在(1)的條件下，若，求x，y的值及四邊形ABCD的面積【解析】(1)(x4，y2)，(x4，2y)，又且(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)，又，·0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.聯(lián)立，化簡(jiǎn)得y22y30.解得y3或y1.故當(dāng)y3時(shí)，x6，此時(shí)(0，4)，(8，0)，S四邊形ABCD|·|16；當(dāng)y1時(shí)，x2，此時(shí)(8，0)，(0，4)，S四邊形ABCD|·|16.4已知向量a，b夾角為，|b|2，且對(duì)任意xR，有|bxa|ab|.求|tba|tb|(tR)的最小值【解析】向量a，b夾角為，|b|2，對(duì)任意xR，有|bxa|ab|，兩邊平方整理可得x2a22xa·b(a22a·b)0，則4(a·b)24a2(a22a·b)0，即有(a2a·b)20，即a2a·b，則(ab)a，由向量a，b夾角為，|b|2，由a2a·b|a|·|b|·cos，即有|a|1，則|ab|，畫(huà)出a，b，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示則A(1，0)，B(0，)，a(1，0)，b(1，)|tba|2表示P(t，0)與M，N的距離之和的2倍，當(dāng)M，P，N共線時(shí)，取得最小值2|MN|.即有2|MN|2.備課札記17