專題21 兩角和與差的正、余弦和正切公式一、【知識(shí)精講】1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(±)sin_cos_±cos_sin_.cos()cos_cos_±sin_sin_.tan(±).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3.函數(shù)f()asin bcos (a，b為常數(shù))，可以化為f()sin()或f()·cos().微點(diǎn)提醒1.tan ±tan tan(±)(1tan tan ).2.cos2，sin2.3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.二、【典例精練】考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡【例1】 (1)化簡：sin()cos()cos()sin()_.(2)化簡：(0<<)_.【答案】(1)sin()(2)cos 【解析】(1)sin()cos()cos()sin()sin()cos ()cos()sin()sin()()sin().(2)原式.因?yàn)?<<，所以0<<，所以cos>0，所以原式cos .【解法小結(jié)】1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等.2.化簡三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等.考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值角度1給角(值)求值【例21】 (1) 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P.若角滿足sin()，則cos 的值為_【答案】或【解析】由角的終邊過點(diǎn)P，得sin ，cos .由sin()，得cos()±.由()，得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .(2)(2018·江蘇卷)已知，為銳角，tan ，cos().求cos 2的值；求tan()的值.【解析】因?yàn)閠an ，tan ，所以sin cos .因?yàn)閟in2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.因?yàn)椋瑸殇J角，所以(0，).又因?yàn)閏os()，所以sin()，因此tan()2.因?yàn)閠an ，所以tan 2，因此，tan()tan2().角度2給值求角例2-2（1）已知，為銳角，cos ，且sin()，則角_.(2)若·sin 2，則sin 2()A.B.C.D.【答案】（1），（2）【解析】 (1)為銳角，且cos ，sin .，0<<.又sin()<sin ，>，cos().cos cos()cos()cos sin()sin ××.(2)由題意知sin 2，2(cos sin )sin 2，則4(1sin 2)3sin22，因此sin 2或sin 22(舍).【解法小結(jié)】1.“給角求值”、“給值求值”問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.2.“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好.考點(diǎn)三三角恒等變換的簡單應(yīng)用例3.(2017·北京卷)已知函數(shù)f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求證：當(dāng)x時(shí)，f(x).【解析】(1)f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)證明由(1)知f(x)sin .x，2x，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最小值.f(x)成立.【解法小結(jié)】1.進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用.2.把形如yasin xbcos x化為ysin(x)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性.【思維升華】1.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”.(1)變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同角、特殊角；(2)變名：盡可能減少函數(shù)名稱；(3)變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.2.在解決求值、化簡、證明問題時(shí)，一般是觀察角、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?【易錯(cuò)注意點(diǎn)】1.運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通.2.在(0，)范圍內(nèi)，sin 所對(duì)應(yīng)的角不是唯一的.3.在三角求值時(shí)，往往要借助角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)或所求角的三角函數(shù)的名稱.三、【名校新題】1.(2019·南昌一模)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin 47°，cos 47°)，則sin(13°)()A.B.C.D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)定義，sin cos 47°，cos sin 47°，則sin(13°)sin cos 13°cos sin 13°cos 47°cos 13°sin 47°sin 13°cos(47°13°)cos 60°.2.(2019·合肥模擬)tan 70°·cos 10°(tan 20°1)等于()A.1 B.2 C.1 D.2【答案】C【解析】 tan 70°·cos 10°(tan 20°1)·cos 10°·1.3.(2019·廣東省際名校聯(lián)考)若cos，則cos()A.B.C.D.【答案】D【解析】cos，cossinsin，cos12sin2.4.(2019·信陽一模)函數(shù)f(x)3sin cos 4cos2(xR)的最大值等于()A.5 B.C.D.2【答案】【解析】由題意知f(x)sin x4×sin x2cos x2sin(x)2，又因?yàn)閤R，所以f(x)的最大值為.5.(2019·濟(jì)南模擬)若sin，A，則sin A的值為()A.B.C.或D.【答案】B【解析】A，A，cos<0，且cos，sin Asinsincos cossin .6.(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)若點(diǎn)(，0)是函數(shù)f(x)sin x2cos x圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則cos 2sin cos()A.B.C.1 D.1【答案】D【解析】點(diǎn)(，0)是函數(shù)f(x)sin x2cos x圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，sin 2cos 0，即tan 2.cos 2sin cos 1.7. (2019·河北百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知是第四象限角，且sin，則tan()A.B.C.D.【答案】B【解析】法一sin×(sin cos )，sin cos ，2sin cos .是第四象限角，sin <0，cos >0，sin cos ，由得sin ，cos ，tan ，tan.法二，sincos，又2k<<2k(kZ)，2k<<2k(kZ)，cos，sin，tan，tantan.8.(2018·濟(jì)南一模)若sin，A，則sin A的值為()A. B.C.或 D.【答案】B【解析】A，A，cos ，sin Asinsincoscossin.9.(2019屆江西九江高三第一次十校聯(lián)考)已知cos-12=35,計(jì)算sin53-2的值為()A.-725B.725C.2425D.-2425【答案】B【解析】由已知可得cos2-6=2cos2-12=-725,sin53-2=sin32-2-6=-cos2-6=725.10.(2019屆廣東深圳實(shí)驗(yàn),珠海一中等六校第一次聯(lián)考)已知A是函數(shù)f(x)=sin2018x+6+cos2018x-3的最大值,若存在實(shí)數(shù)x1,x2對(duì)任意實(shí)數(shù)x總有f(x1)f(x)f(x2)成立,則A·|x1-x2|的最小值為()A.2018B.1009C.21009D.4036【答案】B【解析】f(x)=sin2018x+6+cos2018x-3=3sin2018x,最小正周期T=1009，即為所求。11. (2019·河南六市聯(lián)考)已知cos ，cos()，若0<<<，則_.【答案】.【解析】由cos ，0<<，得sin .由0<<<，得0<<，又cos()，sin().由()得cos cos()cos cos()sin sin()××.，.12.(2019·湘東五校聯(lián)考)已知sin()，sin()，則_.【答案】5【解析】因?yàn)閟in()，sin()，所以sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，所以sin cos ，cos sin ，所以5.13.(2019·廣東五校聯(lián)考)若tan4cos(2)，|<，則tan 2_.【答案】【解析】tan4cos(2)，4cos ，又|<，sin ，0<<，cos ，tan ，從而tan 2.14.(2018河北、河南兩省重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考,8)已知atan +b=(a-btan )tan ,且+6與的終邊相同,則ba的值為()A.23B.33C.223D.34【答案】B【解析】由已知可得：atan-tan=-btantan+1,因?yàn)?=2k-6,kZ,tan-=tan-tantantan+1=-33,ba=-tan-=33.15. (2019·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值.【解析】(1)f(x)sin2x2sin x·cos xcos2xsin 2xcos 2x2sin.因?yàn)閳D象關(guān)于直線x對(duì)稱，所以2k(kZ)，所以(kZ)，又，令k1時(shí)，符合要求，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)因?yàn)閒0，所以2sin0，則.所以f(x)2sin.由0x，知x，當(dāng)x，即x0時(shí)，f(x)取最小值1.當(dāng)x，即x時(shí)，f(x)取最大值216.(2019·石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)sin，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f的值【解析】(1)fsinsin.(2)fsinsin(sin 2cos 2)因?yàn)閏os ，所以sin ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，所以f(sin 2cos 2)×17.(2018山東桓臺(tái)第二中學(xué)4月月考)已知函數(shù)f(x)=a+2cos2x2cos(x+)為奇函數(shù),且f2=0,其中aR,(0,).(1)求a,的值;(2)若2, f2+8+25cos+4cos 2=0,求cos -sin 的值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=a+2cos2x2cos(x+)是奇函數(shù),所以a+2cos2x2cos(x+)=-a+2cos2x2cos(-x+),化簡、整理得,cos xcos =0,則有cos =0,由(0,),得=2,所以f(x)=-sin x·a+2cos2x2.由f2=0,得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)知f(x)=-12sin 2x,f2+8+25cos+4cos 2=0sin+4=45cos+4cos 2,因?yàn)閏os 2=sin2+2=sin2+4=2sin+4cos+4,所以sin+4=85cos2+4sin+4.又2,所以sin+4=0或cos2+4=58.由sin+4=0=34,所以cos -sin =cos34-sin34=-2;由cos2+4=58,34<+4<54,得cos+4=-52212(cos -sin )=-522cos -sin =-52.綜上,cos -sin =-2或cos -sin =-52.12