第48講 直線與圓錐曲線的位置關系 1.已知a>0,b>0,則直線y=bax+3與雙曲線x2a2-y2b2=1的交點個數(shù)是()A.1B.2C.1或2D.02.已知圓M過定點(2,0),且圓心M在拋物線y2=4x上運動,若y軸被圓M所截得的弦為AB,則|AB|=()A.4B.3C.2D.與點M的位置有關3.已知點P是橢圓x25+y2=1上任意一點,F為橢圓的右焦點,Q(3,0),且|PQ|=2|PF|,則滿足條件的點 P的個數(shù)為()A.4B.3C.2D.04.直線l:y=k(x-2)與雙曲線x2-y2=1右支相交于A,B兩點,則直線l的傾斜角的取值范圍是.  5.與拋物線y2=x有且僅有一個公共點,并且過點(1,1)的直線方程為.  6.已知拋物線C:y2=4x,若過點P(-2,0)作直線與拋物線C交于A,B兩點,且直線的斜率為k,則k的取值范圍是()A.-22,00,22B.-22,22C.-32,32D.-32,00,327.2018·江西上饒模擬 已知直線l過點P(3,-2)且與橢圓C:x220+y216=1相交于A,B兩點,則使得P為弦AB中點的直線的斜率為()A.-35B.-65C.65D.358.2018·山東聊城一模 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F2到漸近線的距離為4,且在雙曲線C上到點F2的距離為2的點有且僅有1個,則這個點到雙曲線C的左焦點F1的距離為()A.2B.4C.6D.89.若AB是過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的一條弦,M是橢圓上任意一點,且直線AM,BM與兩坐標軸均不平行,kAM,kBM分別表示直線AM,BM的斜率,則kAM·kBM=()A.-c2a2B.-b2a2C.-c2b2D.-a2b210.2018·貴州黔東南州一聯(lián) 把離心率e=5+12的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)稱為黃金雙曲線.若以原點O為圓心,虛半軸長為半徑畫圓,則圓O與黃金雙曲線C()A.無交點B.有1個交點C.有2個交點D.有4個交點11.2018·江西六校聯(lián)考 若拋物線x2=2py(p>0)在點(1,2)處的切線也與圓x2+y2-2x+2y+2-a=0(a>0)相切,則實數(shù)a的值為. 12.2018·安徽皖南八校聯(lián)考 已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,E為其準線與x軸的交點,過F的直線l交拋物線C于A,B兩點,M為線段AB的中點,且|ME|=11,則|AB|=. 13.設xR,yR,i,j分別為平面直角坐標系xOy內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量,若向量a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj,且|a|+|b|=6.(1)求點M(x,y)的軌跡C的方程.(2)過點(0,1)作直線l與曲線C交于A,B兩點,若點P滿足OP=OA+OB,問是否存在直線l使得四邊形OAPB是矩形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.14.2018·黑龍江齊齊哈爾二模 設拋物線的頂點為坐標原點,焦點F在y軸的正半軸上,A是拋物線上的一點,以A為圓心,2為半徑的圓與y軸相切,切點為F.(1)求拋物線的標準方程;(2)設直線m在y軸上的截距為6,且與拋物線交于P,Q兩點,連接QF并延長交拋物線的準線于點R,當直線PR恰與拋物線相切時,求直線m的方程.15.2018·遼寧大連模擬 已知橢圓x23+y22=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l1與過F2的直線l2交于點P,設P點的坐標為(x0,y0),若l1l2,則下列結(jié)論中不正確的是()A.x023+y022>1B.x023+y022<1C.3x02+2y02>1D.x03+y02<116.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(b>a>0)的右焦點為F,O為坐標原點,若存在直線l過點F交雙曲線C的右支于A,B兩點,使OA·OB=0,則雙曲線的離心率的取值范圍是. 課時作業(yè)(四十八)1.A解析 因為直線y=bax+3與雙曲線的漸近線y=bax平行,所以它與雙曲線只有1個交點.2.A解析 設圓心坐標為a24,a,因為圓M過定點(2,0),所以其半徑r=(a24-2) 2+(a-0)2,可知圓M的方程為x-a242+(y-a)2=a24-22+(a-0)2,令x=0,可得y2-2ay+a2-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),可知y1+y2=2a,y1y2=a2-4,則|AB|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=4a2-4a2+16=4,故選A.3.C解析 設P(x,y),則-5<x<5,易知F(2,0),由|PQ|=2|PF|,得2(x-2)2+2y2=(x-3)2+y2,即x2+y2-2x-1=0.由x2+y2-2x-1=0,x25+y2=1,得2x2-5x=0,解得x=0或x=52(舍去),x=0,y=1或x=0,y=-1,即點P(0,±1).因此滿足條件的點P的個數(shù)為2.4.4,22,34解析 因為雙曲線x2-y2=1的漸近線方程為y=±x,所以若直線l:y=k(x-2)與雙曲線x2-y2=1右支相交于A,B兩點,則k<-1或k>1,而直線l的斜率存在,所以4,22,34.5.x-2y+1=0或y=1解析 易知所求直線的斜率存在,設過點(1,1)的直線方程為y=k(x-1)+1,與拋物線方程y2=x聯(lián)立,得k2x2+(2k-2k2-1)x+k2-2k+1=0.當k=0時,方程有一個解,此時所求直線方程為y=1;當k0時,由=(2k-2k2-1)2-4k2(k2-2k+1)=0,整理得4k2-4k+1=0,解得k=12,此時所求直線方程為x-2y+1=0. 故所求的直線方程為x-2y+1=0或y=1.6.A解析 易知直線的方程為y=k(x+2),與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,得k2x2+4(k2-1)x+4k2=0.當k=0時,不符合題意;當k0時,=16(k2-1)2-4k2·4k2>0,得k2<12,k-22,00,22.綜上可知,k的取值范圍是-22,00,22,故選A.7.C解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),則由題意知x1x2,可得x1220+y1216=1,x2220+y2216=1,兩式作差得x12-x2220+y12-y2216=0,即(x1+x2)(x1-x2)20+(y1+y2)(y1-y2)16=0.又因為x1+x2=6,y1+y2=-4,y1-y2x1-x2=kAB,所以620+-416·kAB=0,所以kAB=65,故選C.8.D解析 易知雙曲線的焦點到漸近線的距離為b,所以b=4.雙曲線C上到點F2的距離為2的點有且僅有1個,即雙曲線右頂點到右焦點的距離為2,故c-a=2,由c2=a2+b2=a2+16,解得c=5,a=3,所以右頂點到左焦點的距離為a+c=3+5=8,故選D.9.B解析 設A(x1,y1),M(x0,y0),則B(-x1,-y1),故kAM·kBM=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-b2a2x02+b2+b2a2x12-b2x02-x12=-b2a2.10.D解析 由題意知5+12=ca,所以ba2=ca2-1=6+254-1=5+12,因為ba2=5+12>1,所以ba>1,所以b>a,所以圓O與黃金雙曲線C的左、右兩支各有2個交點,即圓O與黃金雙曲線C有4個交點,故選D.11.917解析 由拋物線x2=2py(p>0)過點(1,2),可得p=14,拋物線方程為x2=12y,可化為y=2x2,從而由y'=4x知切線斜率k=4,切線方程為y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.圓的方程可化為(x-1)2+(y+1)2=a(a>0),且切線也與圓相切,|4-(-1)-2|17=a,得a=917.12.6解析 根據(jù)題意可知直線l的斜率存在,拋物線的焦點坐標是(1,0),設直線l:y=k(x-1),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消元后可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2k2+4k2,y1+y2=k(x1+x2)-2k=4k,從而可得Mk2+2k2,2k,易知E(-1,0),由|ME|=11,可得k2+2k2+12+4k2=11,解得k2=2,故|AB|=x1+x2+p=2+4k2+2=6.13.解:(1)由題意知,點M(x,y)到點F1(-1,0),F2(1,0)的距離之和為6,且6>|F1F2|=2,所以點M的軌跡是以F1,F2為焦點,長軸長為6的橢圓,其方程為x29+y28=1.(2)不存在滿足題意的直線l.理由如下:易知直線l的斜率存在.設直線l的方程為y=kx+1,與x29+y28=1聯(lián)立,得(9k2+8)x2+18kx-63=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-18k9k2+8,x1x2=-639k2+8.因為OP=OA+OB,所以四邊形OAPB為平行四邊形,若平行四邊形OAPB為矩形,則OAOB,所以OA·OB=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,即(k2+1)·-639k2+8-18k29k2+8+1=0,即-72k2=55,此方程無解,所以滿足條件的直線l不存在.14.解:(1)設拋物線的標準方程為x2=2py(p>0),以A為圓心,2為半徑的圓與y軸相切,切點為F,p=2,該拋物線的標準方程為x2=4y.(2)由題知直線m的斜率存在,設其方程為y=kx+6,由y=kx+6,x2=4y,消去y整理得x2-4kx-24=0,顯然=16k2+96>0.設Px1,x124,Qx2,x224,則x1+x2=4k,x1·x2=-24,拋物線在點Px1,x124處的切線方程為y-x124=x12(x-x1),令y=-1,得x=x12-42x1,則點Rx12-42x1,-1,由Q,F,R三點共線得kQF=kFR,x224-1x2=-1-1x12-42x1,即(x12-4)(x22-4)+16x1x2=0,整理得(x1x2)2-4(x1+x2)2-2x1x2+16+16x1x2=0,(-24)2-4(4k)2-2×(-24)+16+16×(-24)=0,解得k2=14,即k=±12,所求直線m的方程為y=12x+6或y=-12x+6.15.A解析 由題意可得橢圓的半焦距c=3-2=1,且由l1l2可知點P(x0,y0)(x0±1)在以線段F1F2為直徑的圓上,則x02+y02=1,x023+y022=2x02+3y0263x02+3y026=12,3x02+2y022x02+2y02=2>1,故A的結(jié)論不正確,B,C的結(jié)論正確.F1(-1,0),F2(1,0),|x0|<1,|y0|<1,x03+y02|x0|3+|y0|2|x0|+|y0|2<1,故D的結(jié)論正確.故選A.16.5+12,3解析當直線l的斜率不存在時,不妨取Ac,b2a,Bc,-b2a,OA·OB=0,c2-b4a2=0,e=1+52;當直線l的斜率存在時,焦點為F(c,0),設直線l:y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程,可得(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,則=4c2a4k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0,x1+x2=-2ca2k2b2-a2k2,x1x2=-a2k2c2-a2b2b2-a2k2,則y1y2=k2x1x2+c2-c(x1+x2)=k2·a2b2-b2c2a2k2-b2,OA·OB=0,x1x2+y1y2=0,即a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,即k2=a2b2b4-a4-a2b2,又直線l過點F交雙曲線C的右支于A,B兩點,a2b2b4-a4-a2b2>b2a2(b>a),b4-a4-a2b2>0,a4>b4-a4-a2b2,b>a,3>e>1+52.綜上,雙曲線的離心率的取值范圍是5+12,3.6