專題19 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、【知識精講】1.用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)正弦函數(shù)ysin x，x0，2的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函數(shù)ycos x，x0，2的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中kZ)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RRxxk值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間2k，2k遞減區(qū)間2k，2k無對稱中心(k，0)對稱軸方程xkxk無 微點提醒1.對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期.(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.2.要注意求函數(shù)yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時A和的符號，盡量化成0時情況，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆.3.對于ytan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個區(qū)間(kZ)內(nèi)為增函數(shù).二、【典例精練】考點一三角函數(shù)的定義域、值域(最值)【例1】 (1)函數(shù)ylg(sin x)的定義域為_.(2(2016·全國卷)函數(shù)f(x)cos 2x6cos的最大值為()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】(1)(2)B【解析】(1)函數(shù)有意義，則即解得所以2k<x2k(kZ)，所以函數(shù)的定義域為. (2)由f(x)cos 2x6cos12sin2x6sin x2，又sin x1，1，所以當(dāng)sin x1時，函數(shù)f(x)的最大值為5.【解法小結(jié)】1.求三角函數(shù)的定義域其實質(zhì)是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象求解.2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見三種類型：(1)形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).考點二三角函數(shù)的單調(diào)性角度1求三角函數(shù)的單調(diào)性【例21】 已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】(1)由sin ，cos ，f()22××，得f2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x，得f(x)cos 2xsin 2x2sin，所以f(x)的最小正周期是.由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ).所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ).角度2已知單調(diào)性求參數(shù)【例22】 (2018·全國卷)若f(x)cos xsin x在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】f(x)cos xsin xcos，由題意得a>0，故a<，因為f(x)cos在a，a是減函數(shù)，所以解得0<a，所以a的最大值是.【解法小結(jié)】1.求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成yAsin(x)形式，再求yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間，只需把x看作一個整體代入ysin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù).2.對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題利用特值驗證排除法求解更為簡捷.考點三三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性角度1三角函數(shù)奇偶性、周期性【例31】 (1)(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2，則()A.f(x)的最小正周期為，最大值為3B.f(x)的最小正周期為，最大值為4C.f(x)的最小正周期為2，最大值為3D.f(x)的最小正周期為2，最大值為4【答案】B【解析】(1)易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，則f(x)的最小正周期為，當(dāng)2x2k，即xk(kZ)時，f(x)取得最大值，最大值為4. (2018·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos(>0).若f(x)f對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為_.【答案】【解析】由于對任意的實數(shù)都有f(x)f成立，故當(dāng)x時，函數(shù)f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)，8k(kZ).又>0，min.【解法小結(jié)】1.若f(x)Asin(x)(A，0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是k(kZ)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ).2.函數(shù)yAsin(x)與yAcos(x)的最小正周期T，yAtan(x)的最小正周期T.角度2三角函數(shù)圖象的對稱性【例32】 (1)已知函數(shù)f(x)asin xcos x(a為常數(shù)，xR)的圖象關(guān)于直線x對稱，則函數(shù)g(x)sin xacos x的圖象()A.關(guān)于點對稱 B.關(guān)于點對稱C.關(guān)于直線x對稱 D.關(guān)于直線x對稱(2)(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)sin(x)，x為f(x)的零點，x為yf(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則的最大值為()A.11 B.9 C.7 D.5【答案】(1)C(2)B【解析】(1)因為函數(shù)f(x)asin xcos x(a為常數(shù)，xR)的圖象關(guān)于直線x對稱，所以f(0)f，所以1a，a，所以g(x)sin xcos xsin，函數(shù)g(x)的對稱軸方程為xk(kZ)，即xk(kZ)，當(dāng)k0時，對稱軸為直線x，所以g(x)sin xacos x的圖象關(guān)于直線x對稱.(2)因為x為f(x)的零點，x為f(x)的圖象的對稱軸，所以，即T·(kZ)，所以2k1(kZ).又因為f(x)在上單調(diào)，所以，即12，11驗證不成立(此時求得f(x)sin在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減)，9時滿足條件.由此得的最大值為9.【解法小結(jié)】1.對于可化為f(x)Asin(x)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令xk(kZ)，求x即可；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令xk(kZ)，求x即可.2.對于可化為f(x)Acos(x)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令xk(kZ)，求x；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令xk(kZ)，求x即可.【思維升華】1.討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成yAsin(x)(>0)的形式.2.對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令tx，將其轉(zhuǎn)化為研究ysin t(或ycos t)的性質(zhì).3.數(shù)形結(jié)合是本講的重要數(shù)學(xué)思想.【易錯注意點】1.閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性；含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響.2.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，當(dāng)單調(diào)區(qū)間有無窮多個時，別忘了注明kZ.三、【名校新題】1.(2019·武漢調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)sincos的圖象關(guān)于y軸對稱，則()A.B.C.D.【解析】A【解析】f(x)sincos2sin，由題意可得f(0)2sin±2，即sin±1，k(kZ)，k(kZ).|<，k1時，.2.(2018·石家莊檢測)若是函數(shù)f(x)sin xcos x圖象的一個對稱中心，則的一個取值是()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因為f(x)sin xcos xsin，由題意，知fsin0，所以k(kZ)，即8k2(kZ)，當(dāng)k1時，6.3.(2019·湖南十四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)2sin xcos x(>0)，若f(x)的兩個零點x1，x2滿足|x1x2|min2，則f(1)的值為()A.B.C.2 D.2【答案】C【解析】依題意可得函數(shù)的最小正周期為2|x1x2|min2×24，即，所以f(1)2sin cos 2.4.(2019·西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)cos(x)(0<<)在x時取得最小值，則f(x)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.【答案】A【解析】因為0<<，所以<<，又因為f(x)cos(x)在x時取得最小值，所以，所以f(x)cos.由0x，得x.由x，得x，所以f(x)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間是.5.(2019·廣西五市聯(lián)考)若函數(shù)f(x)2sin x(0<<1)在區(qū)間上的最大值為1，則()A. B.C. D.【答案】C【解析】因為0<<1,0x，所以0x<，所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則f(x)maxf2sin1，即sin.又因為0x<，所以，解得.6.(2018·日照一中模擬)下列函數(shù)中，周期為，且在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)是()Aysin BycosCycos Dysin【答案】C【解析】ysincos 2x為偶函數(shù)，排除A；ycossin 2x在上為減函數(shù)，排除B；ycossin 2x為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且周期為，符合題意；ysincos x為偶函數(shù)，排除D.故選C.7.（安徽定遠(yuǎn)重點中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第一次月考）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)滿足若函數(shù)（其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）是偶函數(shù)，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】fx=-3sin3x+,fx+fx=2cos3x+3,依題意，+3=k,kZ,-<<0,=-38.（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）函數(shù)y=sin（2x）的圖象與函數(shù)y=cos（x）的圖象（）A有相同的對稱軸但無相同的對稱中心B有相同的對稱中心但無相同的對稱軸C既有相同的對稱軸也有相同的對稱中心D既無相同的對稱中心也無相同的對稱軸【答案】A【解析】比較對稱軸與對稱中心即可9.（2019年皖北協(xié)作區(qū)高三年級聯(lián)考）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是 A B. C. D.【答案】B【解析】fx=2sinx+3,x6,4,x+36+3,x+3,由已知，x+32k+26+32k,kZ,由>0,可得。10.（2019年合肥二模）將函數(shù)的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)在上最大值是1【答案】C【解析】由題意，gx=2sin2x+6-1,當(dāng)x0,6時，2x+66，2，gx單調(diào)遞增。故選C.11.(2019·商丘質(zhì)檢)函數(shù)f(x)3sin，(0，)滿足f(|x|)f(x)，則的值為_.【答案】【解析】由題意知f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，f(0)3sin±3，k(kZ)，又0<<，.12.(2019·煙臺檢測)若函數(shù)f(x)cos(0<<)是奇函數(shù)，則_.【答案】【解析】因為f(x)為奇函數(shù)，所以k(kZ)，k，kZ.又因為0<<，故.13.（2019·貴陽檢測）已知函數(shù)f(x)sin(>0)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_【答案】【解析】由<x<，得<x<，由題意知，所以解得.14.(2018·四川雙流中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)sin(>0)，ff，且f(x)在上單調(diào)遞減，則_.【答案】1【解析】由ff，可知函數(shù)f(x) 的圖象關(guān)于直線x對稱，k，kZ，14k，kZ，又f(x)在上單調(diào)遞減，T，2，又14k，kZ，當(dāng)k0時，1.15.(2019·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)sin xcos x(>0)的最小正周期為.(1)求函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程；(2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性.【解析】(1)f(x)sin xcos xsin，且T，2，于是f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ).即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x(kZ).(2)令2k2x2k(kZ)，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).注意到x，所以令k0，得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；同理，其單調(diào)遞減區(qū)間為.16.（湖北省重點高中聯(lián)考協(xié)作體2019屆高三上學(xué)期期中考試） 已知函數(shù).（1）求的最小正周期與最大值；（2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性.【解析】（1）所以的最小正周期是當(dāng)即,的最大值為;(2)令,易知的單調(diào)遞增區(qū)間是由得設(shè),易知所以,當(dāng)時, 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減. 12