第八節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系A組基礎題組1.直線mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有交點,則過點(m,n)的直線與橢圓x29+y24=1的交點()A.至多有一個B.有2個C.有1個D.沒有答案B直線mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有交點,4m2+n2>2,m2+n2<4,m29+n24<m29+4-m24=1-536m2<1,點(m,n)在橢圓x29+y24=1的內部,過點(m,n)的直線與橢圓x29+y24=1的交點有2個.2.設直線y=kx與橢圓x24+y23=1相交于A,B兩點,分別過A,B向x軸作垂線,若垂足恰為橢圓的兩個焦點,則k等于()A.±32B.±23C.±12D.±2答案A將直線與橢圓方程聯(lián)立得y=kx,x24+y23=1,化簡整理得(3+4k2)x2=12,(*)因為分別過A,B向x軸作垂線,垂足恰為橢圓的兩個焦點,故方程的兩個根為±1,代入方程(*),得k=±32.故選A.3.過拋物線y2=2x的焦點作一條直線與拋物線交于A,B兩點,它們的橫坐標之和等于2,則這樣的直線()A.有且只有一條B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有且只有四條答案B2p=2,|AB|=x1+x2+p,|AB|=3>2p,故這樣的直線有且只有兩條.4.已知直線y=22(x-1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點,點M(-1,m),若MA·MB=0,則m等于()A.2B.22C.12D.0答案B由題意可得y2=4x,y=22(x-1),8x2-20x+8=0,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,則A(2,22),B12,-2.由MA·MB=0,M(-1,m),可得(3,22-m)·32,-2-m=0.化簡2m2-22m+1=0,解得m=22.故選B.5.拋物線C的頂點為原點,焦點在x軸上,直線x-y=0與拋物線C交于A,B兩點,若P(1,1)為線段AB的中點,則拋物線C的方程為()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x答案B設A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y2=2px(p>0),則y12=2px1,y22=2px2,兩式相減可得2p=y1-y2x1-x2×(y1+y2)=kAB×2=2,可得p=1,拋物線C的方程為y2=2x.6.經(jīng)過橢圓x22+y2=1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l,交橢圓于A,B兩點.設O為坐標原點,則OA·OB等于. 答案-13解析依題意,當直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1,0)時,其方程為y=x-1,代入橢圓方程x22+y2=1,并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以兩個交點的坐標分別為(0,-1),43,13,所以OA·OB=-13,同理,直線l經(jīng)過橢圓的左焦點時,也可得OA·OB=-13.7.若橢圓的中心在原點,一個焦點為(0,2),直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1,則這個橢圓的方程為. 答案y212+x28=1解析因為橢圓的中心在原點,一個焦點為(0,2),所以a2-b2=4,所以可設橢圓方程為y2b2+4+x2b2=1,聯(lián)立得y=3x+7,y2b2+4+x2b2=1,得(10b2+4)y2-14(b2+4)y-9b4+13b2+196=0,設直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點的坐標為(x1,y1),(x2,y2),由一元二次方程根與系數(shù)的關系及題意得y1+y2=14(b2+4)10b2+4=2,解得b2=8.所以a2=12.所以橢圓的方程為y212+x28=1.8.如圖,過拋物線y=14x2的焦點F的直線l與拋物線和圓x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四點,則AB·DC=. 答案-1解析不妨設直線AB的方程為y=1,聯(lián)立得y=1,y=14x2,解得x=±2,則A(-2,1),D(2,1),因為B(-1,1),C(1,1),所以AB=(1,0),DC=(-1,0),所以AB·DC=-1.9.(2018貴州貴陽質檢)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點1,32,離心率為12,左,右焦點分別為F1,F2,過F1的直線交橢圓于A,B兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)當F2AB的面積為1227時,求直線的方程.解析(1)因為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點1,32,所以1a2+94b2=1.又因為離心率為12,所以ca=12,所以b2a2=34.聯(lián)立解得a2=4,b2=3.所以橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)當直線的傾斜角為2時,A,B點的坐標為-1,32,-1,-32,則SABF2=12|AB|·|F1F2|=12×3×2=31227.當直線的傾斜角不為2時,設直線方程為y=k(x+1),代入x24+y23=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,所以SABF2=12|y1-y2|·|F1F2|=|k|(x1+x2)2-4x1x2=|k|-8k24k2+32-4·4k2-124k2+3=12|k|k2+14k2+3=1227,所以17k4+k2-18=0,解得k2=1k2=-1817舍去,所以k=±1,所以所求直線的方程為x-y+1=0或x+y+1=0.B組提升題組1.過拋物線y2=4x的焦點作兩條互相垂直的弦AB,CD,則1|AB|+1|CD|等于()A.2B.4C.12D.14答案D由拋物線y2=4x,可知2p=4,設弦AB所在直線l1的傾斜角為(為銳角),弦CD所在直線l2的傾斜角為2+,AB,CD為過焦點的弦,|AB|=2psin2,|CD|=2psin22+=2pcos2,所以1|AB|+1|CD|=sin22p+cos22p=12p=14.故選D.2.已知拋物線y2=2px(p>0)過點A12,2,其準線與x軸交于點B,直線AB與拋物線的另一個交點為M,若MB=AB,則實數(shù)=()A.13B.12C.2D.3答案C把12,2代入拋物線的方程,得2=2p×12,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,則B(-1,0),設MyM24,yM,則AB=-32,-2,MB=-1-yM24,-yM.由MB=AB,得-1-yM24=-32,-yM=-2,解得=2或=1(舍去),故選C.3.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,橢圓的短軸端點與雙曲線y22-x2=1的焦點重合,過點P(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A,B兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)求OA·OB的取值范圍.解析(1)由題意知e=ca=12,所以e2=c2a2=a2-b2a2=14,所以a2=43b2.因為雙曲線y22-x2=1的焦點坐標為(0,±3),所以b=3,所以a2=4,所以橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)當直線l的傾斜角為0°時,不妨令A(-2,0),B(2,0),則OA·OB=-4,當直線l的傾斜角不為0°時,設其方程為x=my+4,由x=my+4,3x2+4y2=12(3m2+4)y2+24my+36=0,由>0(24m)2-4×(3m2+4)×36>0m2>4,設A(my1+4,y1),B(my2+4,y2).因為y1+y2=-24m3m2+4,y1y2=363m2+4,所以OA·OB=(my1+4)(my2+4)+y1y2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16+y1y2=1163m2+4-4,因為m2>4,所以OA·OB-4,134.綜上所述,OA·OB的取值范圍為-4,134.4.已知拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點.(1)當l與x軸垂直時,求直線BM的方程;(2)證明:ABM=ABN.解析(1)當l與x軸垂直時,l的方程為x=2,可得M的坐標為(2,2)或(2,-2).所以直線BM的方程為y=12x+1或y=-12x-1.(2)證明:當l與x軸垂直時,AB為線段MN的垂直平分線,所以ABM=ABN.當l與x軸不垂直時,設l的方程為y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直線BM,BN的斜率之和為kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).將x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2=2k,y1y2=-4代入式,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補,所以ABM=ABN.綜上,ABM=ABN.8