大題精做10 圓錐曲線：定點(diǎn)、定值問題2019·甘肅聯(lián)考已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為，且原點(diǎn)到直線的距離為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且與圓相切試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題可知，則，直線的方程為，即，所以，解得，又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即設(shè)，聯(lián)立，得，所以，所以又，所以因?yàn)椋硭?，所以的周長是，則的周長為定值12019·安慶期末已知橢圓過點(diǎn)，焦距長，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)，求證：為定值22019·東莞期末已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右頂點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，（均異于點(diǎn)），求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)32019·漳州一模已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值1【答案】（1）；（2）【解析】（1）由條件焦距為，知，從而將代入方程，可得，故橢圓方程為（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線交橢圓于，由，可得，化簡得，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，即證為定值，且為2【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）直線斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去得，又，由，得，即，解得，且均滿足，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)由橢圓的對(duì)稱性所得，當(dāng)直線，的傾斜角分別為，易得直線，直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，此時(shí)直線斜率不存在，也過定點(diǎn)，綜上所述，直線恒過定點(diǎn)3【答案】（1）；（2）詳見解析【解析】解法一：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由拋物線的焦點(diǎn)為，得， 又，由及，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）依題意設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，得，所以，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的垂直平分線為，令，得，又，所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，所以；綜上所述，為定值解法二：（1）同解法一（2）依題意，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程，得，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的垂直平分線為，令，得，所以，所以；當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，所以；綜上所述，為定值8