思想方法訓(xùn)練4轉(zhuǎn)化與化歸思想思想方法訓(xùn)練第8頁(yè) 一、能力突破訓(xùn)練1.已知M=(x,y)|y=x+a,N=(x,y)|x2+y2=2,且MN=,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a>2B.a<-2C.a>2或a<-2D.-2<a<2答案:C解析:MN=等價(jià)于方程組y=x+a,x2+y2=2無(wú)解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0.由題易知關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)根,即=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,由此解得a>2或a<-2.2.若直線y=x+b被圓x2+y2=1所截得的弦長(zhǎng)不小于1,則b的取值范圍是()A.-1,1B.-22,22C.-32,32D.-62,62答案:D解析:由弦長(zhǎng)不小于1可知圓心到直線的距離不大于32,即|b|232,解得-62b62.3.已知P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的取值范圍為0,4,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()A.-1,-12B.-1,0C.0,1D.12,1答案:A解析:設(shè)P(x0,y0),傾斜角為,則0tan1.設(shè)y=f(x)=x2+2x+3,則f'(x)=2x+2,02x0+21,-1x0-12,故選A.4.在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cos ,sin )到直線x-my-2=0的距離.當(dāng),m變化時(shí),d的最大值為()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:設(shè)P(x,y),則x=cos,y=sin,x2+y2=1.即點(diǎn)P在單位圓上,點(diǎn)P到直線x-my-2=0的距離可轉(zhuǎn)化為圓心(0,0)到直線x-my-2=0的距離加上(或減去)半徑,所以距離最大為d=1+|-2|1+m2=1+21+m2.當(dāng)m=0時(shí),dmax=3.5.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=3,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)在R上恒有f'(x)<2(xR),則不等式f(x)<2x+1的解集為()A.(1,+)B.(-,-1)C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+)答案:A解析:設(shè)F(x)=f(x)-2x-1,則F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是減函數(shù).又F(1)=f(1)-2-1=0,即當(dāng)x>1時(shí),F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集為(1,+),故選A.6.(2019天津3月九校聯(lián)考)已知f(x)=x2+1(x0),4xcosx-1(x<0),g(x)=kx-1(xR).若函數(shù)y=f(x)-g(x)在區(qū)間-2,3上有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(23,4)B.(23,4C.22,113D.22,113答案:D解析:很明顯x=0不是函數(shù)的零點(diǎn),令函數(shù)y=f(x)-g(x)=0,則k=x+2x,x>0,4cosx,x<0.令h(x)=x+2x,x>0,4cosx,x<0,則函數(shù)h(x)的圖象與直線y=k在區(qū)間-2,3上有4個(gè)交點(diǎn),函數(shù)h(x)的圖象如圖所示.由圖可得k22,113.故選D.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是. 答案:(-13,13)解析:若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0d<1.d=|c|122+52=|c|13,0|c|<13,即c(-13,13).8.已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案:(-2,6)解析:f(x)=2x-2-x為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),所以f(x2-ax+a)+f(3)>0f(x2-ax+a)>-f(3)f(x2-ax+a)>f(-3)x2-ax+a>-3對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,即=a2-4(a+3)<0-2<a<6,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,6).59.若對(duì)于任意t1,2,函數(shù)g(x)=x3+m2+2x2-2x在區(qū)間(t,3)內(nèi)總不為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:g(x)=x3+m2+2x2-2x在區(qū)間(t,3)內(nèi)總不為單調(diào)函數(shù),g'(x)=3x2+(m+4)x-2在區(qū)間(t,3)內(nèi)有零點(diǎn).由3x2+(m+4)x-2=0可知此方程兩根之和為負(fù)數(shù),即一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根.又y=3x2+(m+4)x-2圖象的開口向上,3t2+(m+4)t-2<0,且3×32+3(m+4)-2>0.由3×32+3(m+4)-2>0,可得m>-373.由關(guān)于t的不等式3t2+(m+4)t-2<0在區(qū)間1,2上恒成立,即m+4<2t-3t在區(qū)間1,2上恒成立,解得m+4<-5,即m<-9.故-373<m<-9.10.(2019天津南開區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax+a,g(x)=x-1ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)若f(x)0恒成立,證明:當(dāng)0<x1<x2時(shí),f(x1)-f(x2)x1-x2<1x1-1.(3)在(2)的條件下,證明:f(x)(g(x)-1)>g(x)-1e2.(1)解f'(x)=1-axx,x>0.若a0,f'(x)>0,f(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增;若a>0,當(dāng)x0,1a時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1a,+時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知,若a0,f(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,又f(1)=0,故f(x)0不恒成立.若a>1,當(dāng)x1a,1時(shí),f(x)單調(diào)遞減,f(x)>f(1)=0,不符合題意.若0<a<1,當(dāng)x1,1a時(shí),f(x)單調(diào)遞增,f(x)>f(1)=0.不符合題意.若a=1,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減,f(x)f(1)=0,符合題意.故a=1,且lnxx-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”).當(dāng)0<x1<x2時(shí),f(x2)-f(x1)=lnx2x1-(x2-x1)<x2x1-1-(x2-x1)=1x1-1(x2-x1),所以f(x1)-f(x2)x1-x2<1x1-1.(3)證明g'(x)=2-xex.當(dāng)x(-,2)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(2,+)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.g(x)g(2)=1e2.g(x)-11e2-1.由(2)知lnx-x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”).兩個(gè)不等式的等號(hào)不能同時(shí)取到,故×,得(lnx-x)(g(x)-1)>1-1e2.即(f(x)-1)(g(x)-1)>1-1e2,f(x)(g(x)-1)>g(x)-1e2.二、思維提升訓(xùn)練11.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(x,y)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)A(-1,0),則|PF|PA|的最小值是()A.12B.22C.32D.233答案: B解析:顯然點(diǎn)A為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),如圖,過(guò)點(diǎn)P作PB垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)B,則|PB|=|PF|.|PF|PA|=|PB|PA|=sinPAB.設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線AC與拋物線切于點(diǎn)C,則0<BACPAB2,sinBACsinPAB.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),不妨令y0>0,則y02=4x0,又y0x0+1=1x0,解得x0=1,y0=2,C(1,2),|AC|=22.sinBAC=222=22,|PF|PA|的最小值為22.故選B.12.設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P,使(OP+OF2)·F2P=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|PF1|=3|PF2|,則該雙曲線的離心率為()A.3+1B.3+12C.6+2D.6+22答案:A解析:如圖,取F2P的中點(diǎn)M,則OP+OF2=2OM.又由已知得2OM·F2P=0,即OM·F2P=0,OMF2P.又OM為F2F1P的中位線,F1PPF2.在PF1F2中,2a=|PF1|-|PF2|=(3-1)|PF2|.由勾股定理,得2c=2|PF2|.e=23-1=3+1.13.若函數(shù)f(x)=x2-ax+2在區(qū)間0,1上至少有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案:3,+)解析:由題意知關(guān)于x的方程x2-ax+2=0在區(qū)間0,1上有實(shí)數(shù)解.又易知x=0不是關(guān)于x的方程x2-ax+2=0的解,所以根據(jù)0<x1可將方程x2-ax+2=0變形為a=x2+2x=x+2x.從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=x+2x(0<x1)的值域.易知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞減,所以g(x)3,+).故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a3.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若xR,f(x)<0或g(x)<0,則m的取值范圍是. 答案:(-4,0)解析:將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)<0的解集的補(bǔ)集是f(x)<0的解集的子集求解.g(x)=2x-2<0,x<1.又xR,f(x)<0或g(x)<0,1,+)是f(x)<0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m<0.當(dāng)m<0時(shí),f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此時(shí)f(x)<0的解集為x|x-2,滿足題意;若2m>-m-3,即-1<m<0,此時(shí)f(x)<0的解集為x|x>2m或x<-m-3,依題意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此時(shí)f(x)<0的解集為x|x<2m或x>-m-3,依題意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.綜上可知,滿足條件的m的取值范圍是-4<m<0.15.已知函數(shù)f(x)=x+2x+aln x(a>0).(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間.(2)若g(x)=f(x)+2a2-2x,在區(qū)間(0,e上是否存在x0,使g(x0)<0?若存在,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x+2x+lnx.f'(x)=(x+2)(x-1)x2,且x(0,+),當(dāng)x(0,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x(1,+)時(shí),f'(x)>0,f(x)=x+2x+lnx有極小值f(1)=3.故函數(shù)f(x)=x+2x+lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+),極小值為3,無(wú)極大值.(2)g(x)=f(x)+2a2-2x=x+2a2x+alnx(a>0),g'(x)=(x+2a)(x-a)x2.a>0,當(dāng)x(0,a)時(shí),g'(x)<0,當(dāng)x(a,+)時(shí),g'(x)>0,x=a為函數(shù)的唯一極小值點(diǎn).又x(0,e,當(dāng)0<ae時(shí),g(x)min=g(a)=a+2a+alna=a(3+lna).在區(qū)間(0,e上若存在x0,使g(x0)<0,則g(x)min=a(3+lna)<0,解得0<a<1e3.當(dāng)a>e時(shí),g(x)=x+2a2x+alnx(a>0)在區(qū)間(0,e上單調(diào)遞減,g(x)min=g(e)=e+2a2e+a>0,所以不存在x0(0,e,使g(x0)<0.綜上所述,在區(qū)間(0,e上存在x0使g(x0)<0,此時(shí)0<a<1e3.8