第2講排列與組合一、選擇題1.從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個數(shù)是()A.9 B.10 C.18 D.20解析由于lg alg blg (a0，b0)，lg 有多少個不同的值，只需看不同值的個數(shù).從1，3，5，7，9中任取兩個作為有A種，又與相同，與相同，lg alg b的不同值的個數(shù)有A218.答案C2.(2016·四川卷)用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24 B.48 C.60 D.72解析由題意，可知個位可以從1，3，5中任選一個，有A種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個數(shù)字中任選，進行全排列，有A種方法，所以奇數(shù)的個數(shù)為AA3×4×3×2×172，故選D.答案D3.有A，B，C，D，E五位學(xué)生參加網(wǎng)頁設(shè)計比賽，決出了第一到第五的名次.A，B兩位學(xué)生去問成績，老師對A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說：你是第三名.請你分析一下，這五位學(xué)生的名次排列的種數(shù)為()A.6 B.18 C.20 D.24解析由題意知，名次排列的種數(shù)為CA18.答案B4.10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)為()A.CA B.CAC.CA D.CA解析首先從后排的7人中抽2人，有C種方法；再把2個人在5個位置中選2個位置進行排列有A種.由分步乘法計數(shù)原理知不同調(diào)整方法種數(shù)是CA.答案C5.某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位.該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有()A.36種 B.42種 C.48種 D.54種解析分兩類，第一類：甲排在第一位時，丙排在最后一位，中間4個節(jié)目無限制條件，有A種排法；第二類：甲排在第二位時，從甲、乙、丙之外的3個節(jié)目中選1個節(jié)目排在第一位有C種排法，其他3個節(jié)目有A種排法，故有CA種排法.依分類加法計數(shù)原理，知共有ACA42種編排方案.答案B6.(2016·東北三省四市聯(lián)考)甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則有多少種坐法()A.10 B.16 C.20 D.24解析一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座.要求每人左右均有空座，在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有A20種坐法.答案C7.(2017·本溪模擬)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168解析法一先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”.對于第一種情況，形式為“小品1歌舞1小品中2相聲”，有ACA36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個人，其形式為“小品1相聲小品2”.有AA48種安排方法，故共有363648120種安排方法.法二先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰，保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有A·A144(種)，再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況，共有A·A·A24(種)，于是符合題意的排法共有14424120(種).答案B8.(2017·青島模擬)將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.18種 B.24種C.36種 D.72種解析一個路口有3人的分配方法有CCA(種)；兩個路口各有2人的分配方法有CCA(種).由分類加法計數(shù)原理，甲、乙在同一路口的分配方案為CCACCA36(種).答案C二、填空題9.7位身高均不等的同學(xué)排成一排照相，要求中間最高，依次往兩端身高逐漸降低，共有_種排法(用數(shù)字作答).解析先排最中間位置有一種排法，再排左邊3個位置，由于順序一定，共有C種排法，再排剩下右邊三個位置，共一種排法，所以排法種數(shù)為C20(種).答案2010.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤方法共有_種(用數(shù)字作答).解析把g、o、o、d 4個字母排一列，可分兩步進行，第一步：排g和d，共有A種排法；第二步：排兩個o，共一種排法，所以總的排法種數(shù)為A12(種).其中正確的有一種，所以錯誤的共A112111(種).答案1111.(2016·呼和浩特二模)從5臺甲型和4臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有_種(用數(shù)字作答).解析甲型2臺乙型1臺或甲型1臺乙型2臺，故共有CCCC70種方法.答案7012.(2017·淮北一模)寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五個座位(一排共五個座位)，上車后五人在這五個座位上隨意坐，則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有_種(用數(shù)字作答).解析設(shè)5名同學(xué)也用A，B，C，D，E來表示，若恰有一人坐對與自己車票相符的坐法，設(shè)E同學(xué)坐在自己的座位上，則其他四位都不坐自己的座位，則有：BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA共9種坐法，則恰有一人坐對與自己車票相等座位的坐法有9×545種坐法.答案4513.甲、乙等5人在9月3號參加了紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭勝利閱兵慶典后，在天安門廣場排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有()A.12種 B.24種C.48種 D.120種解析甲乙相鄰，將甲乙捆綁在一起看作一個元素，共有AA種排法，甲乙相鄰且在兩端有CAA種排法，故甲乙相鄰且都不站在兩端的排法有AACAA24(種).答案B14.設(shè)集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個數(shù)為()A.60 B.90C.120 D.130解析因為xi1，0，1，i1，2，3，4，5，且1|x1|x2|x3|x4|x5|3，所以xi中至少兩個為0，至多四個為0.xi(i1，2，3，4，5)中4個0，1個為1或1，A有2C個元素；xi中3個0，2個為1或1，A有C×2×240個元素；xi中2個0，3個為1或1，A有C×2×2×280個元素；從而，集合A中共有2C4080130個元素.答案D15.(2017·黃岡模擬)在某班進行的演進比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析若第一個出場是男生，則第二個出場的是女生，以后的順序任意排，方法有CCA36種；若第一個出場的是女生(不是女生甲)，則剩余的2個女生排列好，2個男生插空，方法有CAA24種.故所有出場順序的排法種數(shù)為362460.答案6016.(1)現(xiàn)有10個保送上大學(xué)的名額，分配給7所學(xué)校，每校至少有1個名額，問名額分配的方法共有多少種？(2)已知集合A5，B1，2，C1，3，4，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，那么最多可確定多少個不同的點？解(1)法一每個學(xué)校至少一個名額，則分去7個，剩余3個名額分到7所學(xué)校的方法種數(shù)就是要求的分配方法種數(shù).分類：若3個名額分到一所學(xué)校有7種方法；若分配到2所學(xué)校有C×242(種)；若分配到3所學(xué)校有C35(種).共有7423584(種)方法. 法二10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，相當(dāng)于用6塊檔板插在9個間隔中，共有C84種不同方法.所以名額分配的方法共有84種.(2)從集合B中取元素2時，確定CA個點.當(dāng)從集合B中取元素1，且從C中取元素1，則確定的不同點有C×1C.當(dāng)從B中取元素1，且從C中取出元素3或4，則確定的不同點有CA個.由分類加法計數(shù)原理，共確定CACCA33(個)不同點.5